UPpoTOEch_1

		g g			g	g			g	g
g		1 2		; g		2 3		; g		3 1		,
	g g g
12			3	23 g g g			3	31 g g g			3
	1	2		1		2		1		2

где g - проводимость соответствующей ветви (см. рис. 7 и рис. 8). Обратное преобразование звезды сопротивлений в треугольник

сопротивлений:

	R R						R R
R R R		1 2	; R R R				2 3	;
		R
12 1 2			23		2 3 R
		3			1
				R R
R		R R			3 1	.
31		3	1		R
					2

1.7 Метод эквивалентного генератора.

При помощи этого метода может быть решена задача отыскания тока в одной ветви. Сущность метода состоит в том, что по отношению к выделенной ветви «a-b» с сопротивлением Rab вся остальная часть сложной цепи, содержащая источники э.д.с., может быть заменена одним эквивалентным генератором э.д.с. Eг и внутренним сопротивлением Rг.

Рекомендуемая последовательность расчета этим методом : 1). Найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви Uab xx .

2). Определить входное сопротивление Rвх всей цепи по отношению к зажимам ab при закороченных источниках э.д.с. (ветви, содержащие источники тока, должны быть разомкнуты).

3). Подсчитать ток по формуле : I =		Uab xx		, при этом Uab xx и Rвх -
	R	R
			вх
		ab

соответственно э.д.с. и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора.

1.8 Метод замены нескольких соединенных параллельно источников э. д. с. одним эквивалентным.

Если имеется несколько источников с э.д.с. E1, E2, . . . ,En и внутренними сопротивлениями R1,R2, . . . ,Rn , работающих параллельно на общее сопротивление нагрузки R (рис. 9), то они могут быть заменены одним эквивалентным источником, э.д.с. которого Eэк , а внутреннее сопротивление Rэк (рис. 10). При этом :

n

			Ekgk							1
E	эк		k=1			;	g	k			.
				n
										Rk
			gk
			k=1
Ток в сопротивлении R:
		I		E	ЭК

R RЭК

11

Ток в каждой из ветвей:

Ik Ek U Rk

где U = Uab = I R.

рис. 9

рис. 10

1.9 Метод замены параллельно соединенных источников тока одним эквивалентным.

Если несколько источников тока с токами J1, J2, . . . , Jn и внутренними проводимостями g1, g2, . . . , gn соединены параллельно (рис. 11), то их можно заменить одним эквивалентным источником тока, ток которого Jэк равен алгебраической сумме токов, а его внутренняя проводимость gэк равна сумме внутренних проводимостей отдельных источников (рис. 12):

n	n
JЭК Jk ,	gЭК gk
k 1	k 1

рис. 11

рис. 12

1.10 Баланс мощностей.

Для любой замкнутой электрической цепи сумма мощностей Ри , развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей Рп , расходуемых в приемниках энергии :

Ри = Рп, или (EkIk + UkJk) = I2kRk ,

где EkIk - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых направления действия э.д.с. Ek и соответствующего тока Ik совпадают, в противном случае слагаемое отрицательно; UkJk - алгебраическая сумма; здесь положительны те из слагаемых, для которых напряжение на источнике тока (оно

12

определяется расчетом цепи внешней по отношению к зажимам источника тока) и его ток Jk совпадают по направлению, в противном случае слагаемое отрицательно; I2kRk - арифметическая сумма произведений; здесь должны быть учтены как внешние сопротивления, так и сопротивления самих источников энергии.

2 КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДОВ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Наиболее универсальным методом анализа и расчёта электрических цепей является метод, основанный на применении I и II – го законов Кирхгофа.

Первый закон применяют для описания баланса токов в узлах электрической цепи, согласно которому: “Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, должна быть равна нулю”:

n
IR 0.	(3)
K 1

Если бы условие (1.1) не выполнялось, то в узлах электрической цепи происходило бы накопление электрических зарядов, что экспериментально не подтверждается.

Второй закон применяют для описания замкнутых (условно или, безусловно) контуров, согласно которому: “Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, должна уравновешиваться алгебраической суммой падений напряжений на элементах замкнутого контура”:

n	n	n
EK	ui	IiRi.	(4)
K 1	i 1	i 1

Оба закона Кирхгофа являются следствиями закона сохранения энергии применительно к электрическим цепям.

Метод наложения (суперпозиции) применяют для анализа и расчёта только линейных электрических цепей, содержащих несколько источников энергии. Здесь токи в ветвях определяются путем алгебраического суммирования “частичных” токов, получающихся в ветвях под воздействием каждой частичной ЭДС схемы в отдельности.

Наиболее эффективен метод наложения тогда, когда в цепи содержатся источники тока (с RВН ) и источники ЭДС (с RВН 0), так как при рассмотрении “частичных” режимов работы схемы (только с каким – то одним источником) – идеальные источники ЭДС закорачиваются (из-за RВН 0), а ветви с источником тока обрываются (из-за RВН ), что вызывает максимальное упрощение схемы в конкретном “частичном” режиме.

2.1 Потенциальная диаграмма.

Второй закон Кирхгофа наглядно иллюстрируется с помощью потенциальной диаграммы. Если по оси абсцисс прямоугольной системы координат отложить сопротивления участков в той последовательности, в которой они включены в цепь, а по оси ординат - потенциалы соответствующих

13

точек, то получится график распределения потенциала вдоль неразветвленной цепи. Пользуясь этим графиком, можно определить напряжение между двумя любыми точками цепи. Порядок построения потенциальной диаграммы (предварительно необходимо выполнить расчет электрической цепи) состоит в следующем:

1). Выбираем опорный узел и принимаем его потенциал равным нулю; 2). Задаем положительное направление обхода контура;

3). Если направление обхода контура и направление тока совпадают на участке цепи, то потенциал при прохождении через сопротивление уменьшается (иначе - возрастает); 4). Идеальный источник э.д.с. вызывает скачкообразное изменение потенциала.

Скачок потенциала положительный, если направление э.д.с. совпадает по направлению с обходом контура (иначе - отрицательный).

При построении ПД необходимо соблюдать следующие правила:

1.Если направление обхода выбранного замкнутого контура и направление тока на участке цепи совпадают, то потенциал будет уменьшаться при прохождении через сопротивление, на величину падения в нём напряжения.

2. Если направление обхода выбранного замкнутого контура и направление тока на участке цепи противоположны, то потенциал будет увеличиваться при прохождении через сопротивление, на величину падения в нём напряжения.

3.Идеальный источник ЭДС вызывает скачок потенциала на величину ЭДС источника (т.к. его RВН =0).

4.Скачок потенциала после источника ЭДС положительный, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода и отрицательный, если направление ЭДС и направление обхода противоположны.

5.Источник ЭДС повышает потенциал в той точке, в которую направлена его стрелка.

Для примера построим потенциальную диаграмму для контура a-b-c-d-a в схеме представленной на рис. 13.

Примем потенциал точки “а” равным нулю ( a) и найдём последовательно потенциалы точек b, c, d:

b = a + E1 – I1r01s ,

c = b - I1r1 = a + E1 – I1r01 - I1r1 ,

d = c + I2r2 = a + E1 – I1r01 - I1r1 + I2r2 ,

a = d – E2 = 0.

а затем построим потенциальную диаграмму (рис. 13).

14

Рис. 13 Замечание. При построении ПД один из узлов схемы принимается за

опорный и заземляется, т.е. его потенциал обнуляется. При этом токи в ветвях не изменяются, т.к. их величина зависит от разности потенциалов, а не от абсолютной величины потенциала одного отдельно взятого узла схемы.

15

3ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

3.1Мгновенное значение величины, синусоидально изменяющейся с течением времени.

a (t) = Am sin ( t + ) = Am sin (t + ) ,

где Am - максимальное значение, или амплитуда ; t + - фаза (фазовый угол); - начальная фаза (начальный фазовый угол); - начальный фазовый сдвиг; - угловая частота.

Период Т, угловая частота и частота f связаны соотношением

f ; f

3.2 Действующие значения синусоидально изменяющихся э.д.с., напряжения и тока.

E = Em /2 = 0,707Em, U = Um /2 , I = Im /2 .

3.3 Средние значения синусоидально изменяющихся э.д.с., напряжения и тока за положительную полуволну.

Еср= 2 m/ = 0,637 Еm, Uср = 2Um/ , Iср= 2Im/ .

Среднее значение синусоидально изменяющейся величины а ( t ) = Am sin( t + ) за целый период равно нулю.

3.4 Изображение синусоидальной функции вращающимся вектором.

Проекция вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой

скоростью вектора Am на вертикальную ось изменяется во времени по синусоидальному закону :

a (t) = Am sin ( t

Поэтому любая синусоидальная функция (ток, напряжение, э.д.с.) может быть изображена вектором.

3.5 Изображение синусоидальной функции комплексным числом. Символический метод расчета цепей синусоидального тока.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется символическим методом. Сущность символического метода состоит в том, чтобы, используя комплексные числа, перейти от составления и решения интегро-дифференциальных уравнений для м г нове нных значений токов и напряжений к составлению и решению алгебраических уравнений для функций опе ра тора ком пле кс ной плоскости.

В курсе ТОЭ используются следующие формы записи комплексного числа:

.

алгебраическая Am = A m + jA m ;

.

показательная Am= Amej ;

16

.

тригонометрическая Am = Am cos + jAm sin .

.

.

Здесь

A m=Amcos =Re Am - действительная

часть

комплексного

числа

; A m

=

Amsin =

.

комплексного

числа;

Am

Im Am - мнимая часть

A

m

2

2

Am=

Am Am

- модуль

комплексного числа;

=arctg

- аргумент

A

m

комплексного числа; j =-1= е j - мнимая единица или оператор поворота на

угол = 900 (умножение на j cводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол 900, а умножение на -j = e-j - к повороту вектора на угол 900 по часовой стрелке).

Комплексное число изображается в системе координат (+1; + j) следующим образом (рис. 14) :

рис. 14 Действия над комплексными числами .

а). С использованием алгебраической формы записи комплексного числа:

.

.

.

сложение: A+B = (a1 + jb1) + (a2 + jb2) = (a1 + a2) + j(b1+ b2) =C;

. .

.

умножение: A B= (a1 + jb1) (a2 + jb2)=(a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1) =D;

	.		.			(a1 jb1) (a2			jb2)
деление:	A		AB
	.		.
						(a	jb	) (a	jb	)
	B		BB		1		2	2		2

a a b b

1 2 1 2 + j a22 b22

	a	b	a b	.
	2	1	1 2	F,
	a2		b2
		2	2

.

где числоB- комплексно-сопряженное числу B( отличаются знаком

мнимой части). Произведение комплексно - сопряженных чисел - действительное

.

число, равное квадрату их модуля : B B= B2

б). С использованием показательной формы комплексного числа : в этом случае удобнее производить операции умножения, деления, возведения в степень, чем в случае использования алгебраической формы.

. .

Умножение: A B = Aej a Bej b = ABej( a + b) ;

.

деление : A. Aej a /Bej b AB ej( a - b) ;

B

.

возведение в степень: (A)n = (Aej a)n = Anej a n = An cos a n +

17

+ jAn sin a n ;

	.
извлечение квадратного корня: A = A ej a =					A ej a/2 .

Различные формы записи комплексного числа объединяются между собой при помощи ф о р м у л ы Э й л е р а:

e+ j = cos + jsin

Мгновенное значение синусоидальной функции есть мнимая часть изображающей ее комплексной амплитуды, умноженной на e+j t :

.

a ( t ) = Im Amej t Im Amej( t Amsin( t +

3.6 Комплексные выражения синусоидальной функции времени, ее производной и интеграла см. в табл. 1.

Таблица 1.

Временная и

Функция

Производная

Интеграл от функции

комплексная записи

функции

Запись во временной

)

da

A

a =Am sin( t +

Amcos( t + )

t

области

adt =-

m

cos( t+ )

dt

0

Комплексная

Amej ( t + )

Amej ( t + + / 2)

1

Amej ( t + - /2)

функция времени

Комплексная

.

.

1 .

A m = A m ej

j A m

амплитуда

j A m

.

.

Комплексное

1 .

A = A m ej

j A

действующее

j

A

значение

Например, для тока i, падения напряжения на активном сопротивлении uR, индуктивности uL и емкости uC соответствующие комплексные амплитуды запишем так :

					.
i = Im sin( t Im = Imej ;							.
					.
uR = iR = RIm sin ( t URm = RIm ;								.
		di					.
uL = L				LIm cos( t + )			ULm = j LIm
		dt							1 .
	1 t				1		.
uC =			idt = -			Im cos( t + ) UCm = - j				Im
	C								C
			0		C

Здесь стрелка означает знак соответствия.

3.7 Элементы электрической цепи переменного тока: пассивные и активные.

В табл. 2. приведены пассивные элементы, их изображения и обозначения, формы записи сопротивления и проводимости.

Таблица 2.

Наименование	Свойства	Изображение	Сопротив-	Запись	Проводи-	Запись про-
элемента	элемента	и буквенное	ление при	сопротивле-	мость при	водимости

18

	обозначение	синусоид.	ния в компсинусоид.		в комплекс-
		токе	лексной	токе	ной форме
			форме
Резистор	Эл.

	сопротив-	R	R	R		g = 1/R			g = 1/R
	ление
Индуктивная	Индуктив-	L	xL= L	ZL= j L		1			YL=1/ZL=
катушка	ность					bL= L			= - jbL
Конденсатор	Емкость			1					YC=1/ZC=
				ZC=- j					= jb	C
		C	xC =1/ C	C		bC = C

3.8 Законы Ома и Кирхгофа для цепей переменного тока.

Закон Ома:

I. U. ,

Z

где Z - комплексное сопротивление участка цепи.

Например, для изображенной ниже цепи (рис. 15), Z = R+j(xL-xC) и закон

. E.

Ома: I (считаем источник э.д.с. идеальным ).

Z

		рис. 15
Первый закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных токов
соответственно :	n	n .
	i k = 0 ; Ik = 0 .
	k=1	k=1
Второй закон Кирхгофа для мгновенных и комплексных напряжений и
э.д.с. соответственно :		n .	n .
n	n
ek = (Rkik+uLk+uCk) ; Ek = IZk
k=1	k=1	k=1	k=1

3.9 Последовательное и параллельное соединение сопротивлений и проводимостей.

На рисунках 16 и 17 изображены соответственно последовательная и параллельная электрические цепи :

19

n

При последовательном соединении: Z = Zk

k=1

n

При параллельном соединении: Y = Yk

k=1

рис. 16

рис. 17

Формулы для преобразования последовательной цепи в параллельную и для выполнения обратного преобразования имеют вид :

Y =

1

=

R

j

X

= g - jb ;

g =

R

; b =

X

;

Z R

2 X2

R

2 X2

Z2

Z2

Z =

1

1

g

j

b

= R + jX ;

R =

g

; X =

b

2 b2

g2 b2

y2

y2

Y g- jb g

(здесь g и b - соответственно активная и реактивная проводимости; R и X - активное и реактивное сопротивления).

Замечание : необходимо помнить, что взаимообратными являются лишь комплексы Z и Y , а их составляющие R и g, x и b не являются таковыми.

3.10 О применимости методов расчета цепей постоянного тока к расчетам цепей синусоидального тока.

Структура формул законов Ома и Кирхгофа для цепей постоянного и синусоидального тока идентичны, поэтому методы расчета цепей постоянного тока, базирующиеся на законах Кирхгофа, могут быть использованы при расчете цепей переменного тока в случае применения комплексов.

3.11 Мощность в цепи синусоидального тока.

Комплексная полная мощность цепи переменного тока определяется как:

. .

S U I U I cos + jU I sin = P + jQ = Sej ,

где S = U I - модуль полной мощности ;

.

.

P =Re [S] =Re [U I] = U I cos - активная мощность ;

.

.

Q =Im [S] = Im [U I] = U I sin - реактивная мощность.

20