UPpoTOEch_1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Северный (Арктический) федеральный университет имени М.В. Ломоносова»

филиал в г. Северодвинске Архангельской области

Институт судостроения и морской арктической техники

Кафедра судовой электроэнергетики и электротехники

УТВЕРЖДАЮ проректор-директор филиала САФУ имени М.В. Ломоносова в г. Северодвинске

_________________________ Н.Я. Калистратов «_________»_________________ 2013 г.

А.И. Черевко

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Часть I

Учебное пособие для выполнения курсовых и расчетно-графических работ по дисциплине

«Теоретические основы электротехники с применением ПЭВМ»

Северодвинск

2013

УДК 621.3.01

Черевко А.И. Линейные электрические цепи. Часть I. Расчеты различными методами цепей постоянного тока, цепей переменного тока символическим методом и цепей переменного тока со взаимоиндуктивными связями между катушками индуктивности. Учебное пособие для выполнения курсовых и расчетно-графических работ. – Северодвинск: САФУ, 2013. - 68 с.

Ответственный редактор доцент, зав. кафедрой судовой электроэргетики и электротехники В.Е. Гальперин

Рецензенты: к.т.н., профессор, зав. кафедрой «Автоматика и управление в технических системах» С.Н. Едемский;

главный инженер ОАО «СПО «АРКТИКА» П.И. Потего.

Учебное пособие предназначено для самостоятельного выполнения курсовых и расчетно-графических работ (РГР) по дисциплинам «Теоретические основы электротехники» (ТОЭ) и «Общая электротехника» (ОЭ) на персональных компьютерах с использованием пакета прикладных программ MathCAD. Пособие рекомендуется студентам 2 и 3 курсов по специальностям 180201.65 (140400) «Системы электроэнергетики и автоматизации судов» и 220201.65 «Управление и информатика в технических системах».

Учебное пособие содержит теорию, задания и требования к выполнению курсовых и РГР по расчету различными методами разветвленных цепей постоянного тока, расчету разветвленных цепей переменного тока символическим методом и расчету цепей переменного тока со взаимоиндуктивными связями между катушками индуктивности. По каждому заданию кроме теории приведены примеры выполнения на ПЭВМ.

ISBN 5-7723-0728-2

© САФУ, 2012 г.

2

ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ

Задачи в дисциплине ТОЭ и ОЭ весьма разнообразны, и не представляется возможным предложить единую методику их решения. Поэтому остановимся на основных подходах к их решению.

1.При решении любой задачи на первом этапе необходимо уяснить содержание задачи, изобразить ее электрическую схему, выписать заданные и искомые величины, наметить план решения задачи.

2.Каждый пункт плана решения задачи необходимо сопровождать пояснительным текстом, указывающим законы, на основании которых составлены уравнения, смысл преобразований в схемах и формулах, последовательность действий, и выводами по полученным результатам.

3.Для исключения ошибок при расчетах значения всех величин рекомендуется подставлять в формулы в единицах СИ. В случае громоздких преобразований допускается решение уравнений вести с подставленными числами. Количество значащих цифр после запятой должно быть не более двух.

4.После завершения расчетов необходимо удостовериться в правильности полученного решения, используя первый и второй законы Кирхгофа и уравнения баланса мощностей ,проверить размерность полученных величин.

5.Необходимо проанализировать, возможна ли физическая реализация расчетных режимов работы электрических цепей и источников энергии.

6.Каждую расчетно-графическую работу необходимо выполнять в виде отдельного отчета, на обложке которого должны быть указаны: наименование работы, название кафедры, номер группы, фамилия и инициалы студента, номер варианта задания, фамилия и инициалы преподавателя.

7.На каждой странице с правой стороны листа должны быть оставлены поля шириной не менее 30 мм.

8.Текст, формулы и числовые выкладки должны быть выполнены четко и аккуратно, без помарок.

9.Буквенные обозначения и единицы физических величин должны соответствовать ГОСТу, а именно:

сопротивления электрические, Ом: активное R; реактивное X; полное Z;

проводимости электрические, См (Сименс): активная G; реактивная B; полная Y;

емкость C, Ф (Фарада);

индуктивность L, Гн (Генри);

электродвижущая сила (ЭДС) E, В (Вольт); напряжение U, В; потенциал V, В;

ток I, А (ампер);

мощность: активная P, Вт (Ватт); реактивная Q, ВАр; полная S, В А;

магнитодвижущая сила (МДС) F, А;

магнитная индукция B, Тл (Тесла);

напряженность магнитного поля H, А/м;

3

магнитный поток Ф, Вб (Вебер);

потокосцепление , Вб;

частота f, Гц (Герц);

угловая частота , рад/с (радиан в секунду), с-1.

Комплексы токов и напряжений обозначаются точкой над прописной латинской буквой: , . Сопряженные комплексы обозначаются звездочкой: ,

. Комплексные сопротивления и проводимости обозначаются чертой под латинскими буквами: Z, Y. Комплексная мощность обозначается следующим образом: S=P+jQ.

10. Графики вычерчивают аккуратно с помощью чертежных инструментов, желательно на миллиметровой бумаге. Оси координат изображают сплошными линиями со стрелками на конце, масштабы шкал по всем осям выбирают равномерными, начиная с нуля, с использованием по всей площади графика. Цифры шкал наносят слева от оси ординат и под осью абсцисс. Буквенное обозначение шкалы и единицу измерения пишут над числами шкалы ординат и под осью абсцисс справа (вместо последнего числа шкалы).

11.Векторные диаграммы строят в масштабе, который указывается таким образом: mU=.....В/мм; mI=.....А/мм.

12.В конце работы студент ставит дату выполнения работы и свою подпись. 13.Если работа не зачтена или зачтена при условии внесения исправлений, то все необходимые поправки делают в конце работы в разделе “Работа над ошибками”. Нельзя вносить какие-либо исправления в текст, расчеты и графики,

просмотренные преподавателем.

4

1ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО РАСЧЕТУ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА

1.1Элементы электрической цепи.

Пассивный линейный элемент - резистор, имеющий электрическое сопротивление R .

Ток I и напряжение Uab электрического сопротивления связаны законом Ома: Uab = RI.

Величина, обратная сопротивлению, есть электрическая проводимость: g = 1/R.

Активные линейные элементы - источники электромагнитной энергии. Идеальный источник электродвижущей силы. Напряжение Uab идеального

источника э.д.с. не зависит он величины его тока I и характеризуется его электродвижущей силой E (обозначения положительных направлений напряжения и тока показаны на рис. 1): Uab = E.

Внутреннее сопротивление идеального источника э.д.с. равно нулю. Источник электродвижущей силы (реальный, с внутренним

сопротивлением). Он может быть изображен в виде последовательной схемы, содержащей э.д.с. E и внутреннее сопротивление R (на рис. 2 показаны положительные направления E и Uab).

Идеальный источник тока. Ток J источника тока не зависит от напряжения Uab (внутренняя проводимость источника тока равна нулю, напряжение источника тока бесконечно велико). Обозначения положительных направлений тока и напряжения показаны на рис. 3.

Источник тока (реальный, с внутренней проводимостью g = 1/R). Он может быть изображен в виде параллельной схемы, содержащей источник тока J численно равный току короткого замыкания источника тока, и проводимости g (рис. 4).

Переход от схемы источника электродвижущей силы к эквивалентной схеме источника тока осуществляется по формулам :

J = E/R, E = J/g, R = 1/g.

рис. 1

рис. 2

рис. 3

рис. 4

1.2 Закон Ома.

Этот закон применяется для ветви или для одноконтурной замкнутой цепи (не имеющей разветвлений).

5

При написании закона Ома следует прежде всего выбрать (произвольно) некоторое положительное направление тока.

Для ветви, не содержащей источников э.д.с. и состоящей только из пассивных элементов (сопротивлений),

I = Iab =		,

где Uab = a - b - разность потенциалов между зажимами рассматриваемого участка, взятая по выбранному направлению тока ; Rab - суммарное сопротивление участка схемы.

Для участка цепи с э.д.с закон Ома имеет вид :

I = Iab =		= (Uab +		) gab ,

b

где E - алгебраическая сумма э.д.с., действующих на участке ab, причем

a

каждая э.д.с., совпадающая по направлению с положительным направлением тока, записывается с положительным знаком, а несовпадающая - с отрицательным.

Замечание: если в результате расчета для тока получается отрицательная величина, то это значит, что действительное направление тока обратно произвольно выбранному направлению.

1.3 Законы Кирхгофа.

Для написания законов Кирхгофа необходимо задаться положительными направлениями токов каждой ветви.

Первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю :

n

Ik 0

k 1

Токи, направленные от узла, условно принимаются положительными, а направленные к нему - отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа - алгебраическая сумма э.д.с. замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нем :

n n

Ek Ik Rk

k 1 k 1

Направление обхода контура выбирается произвольно. При записи левой части равенства э.д.с., направления которых совпадают с выбранным направлением обхода (независимо от направления тока, протекающего через них), принимаются положительными, а э.д.с., направленные против выбранного направления обхода, -отрицательными. При записи правой части равенства со знаком плюс берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых выбранное положительное направление тока совпадает с направление обхода (независимо

6

от направления э.д.с. в этих ветвях), а со знаком минус - падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода.

1.4 Методика расчета цепей постоянного тока.

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через m, число ветвей, содержащих источники тока, - через mит и число узлов - через n. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется m - mит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:

а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления их обхода выбирать одинаковыми, например все по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т. е. n - 1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (m - mит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е.:

(m - mит) - (n - 1) = m - mит - n + 1.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, надо охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называются независимыми.

Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

При использовании этого метода выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Известно, что общее число контурных токов k = m - mит - n + 1. Для определения контурных токов по второму закону Кирхгофа составляют “ k ” уравнений в виде:

7

R11I11 R12I22 R1kIkk JnRn	E11
1
R21I11 R22I22 R2kIkk JnRn	E22		,	(1)
2
..............................................................
Rk1I11 Rk2I22 RkkIkk JnRn
	Ekk
n

где Rnn - собственное сопротивление n - го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n); Rnl - общее сопротивление смежных контуров n и l, причем Rnl = Rln ; если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то Rnl положительно (Rnl 0), в противном случае Rnl отрицательно (Rnl 0); Enn - алгебраическая сумма э.д.с., включенных в ветви, образующие контур n ; Rn - общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока Jn.

Метод узловых потенциалов. Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа t, равного количеству узлов схемы без одного :

t = n - 1.

Сущность метода заключается в том, что вначале составляются уравнения по первому закону Кирхгофа для n - 1 узлов схемы, а затем токи в ветвях выражаются через потенциалы узлов и проводимости соответствующих ветвей.

1g11 2g12 sgs ng1n Eg J
1	1
1g21 2g22 sg2s ng2n Eg J			,	(2)
2	2
.......................................................................
ngn1 2gn2 sgns ngnn Eg J
n	n

Здесь gss - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; gsq - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q ;

Eg - алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу s,

s

на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении узла s, и со знаком минус - в направлении от узла s;

J - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s;

s

при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком минус - в направлении от узла s.

Решая систему (2), находят потенциалы (n – 1) узлов, а затем токи в ветвях по закону Ома.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

8

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число t уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается:

t = n - mи - 1,

где mи- число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с.

Метод двух узлов. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы «a» и «b», узловое напряжение Uab определяется формулой:

Engn Jn

Uab	n	n	,
		gm
		m

где Engn - алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей (э.д.с. считаются положительными, если они направлены к узлу «a», и отрицательными, если направлены от узла «a» к узлу «b») на проводимости этих ветвей; Jn - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу «a», и

отрицательны, если направлены от узла а к узлу «b»); gm - сумма

m

проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы «a» и «b».

Метод наложения. Если в электрической цепи заданными величинами являются э.д.с. источников и токи источников тока, то расчет токов по методу наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней э.д.с. каждого источника э.д.с. в отдельности и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником э.д.с. или тока, то остальные источники э.д.с. в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).

Методы преобразования. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1.5 Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным.

Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (рис 5). Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений:

n

RЭК Rk

k 1

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:

U1 : U2 : . . . : Un = R1 : R2 : . . . : Rn .

В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений:

9

U1/U2 = R1/R2 ; U1 = UR1/(R1 + R2) ; U2 = UR2/(R1 + R2),

где U - общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления R1 и R2 .

1.6 Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным.

Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены к одной паре узлов (рис. 6).

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, определяется из формулы:

	1	n	1						n
					, или g				g .
	Rэк
		k=1Rk					эк		k=1 k
В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R1 и R2
эквивалентное сопротивление:						R R
							2
		R	ЭК			1		.
						R R
						1	2

рис. 5 рис. 6 Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 7) в

эквивалентную звезду сопротивлений (рис.8):

рис. 7 рис. 8

	R	R			R	R				R	R
R		12	31	; R		23	12	; R		31	23
										R R R
1 R R R				2 R R R				3				31
12		23	31	12		23	31			12	23

10