Лабораторные работы 8-12

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 Тема: Дифференцирование функций нескольких переменных.

Экстремум функции двух переменных

Цели работы:

1.Научиться вычислять производные первого и высших порядков для функций нескольких переменных.

2.Научиться находить экстремум функции двух переменных.

8.1. Вычисление частных производных

Производные для функций нескольких переменных, так же как и для функций одной переменной, можно вычислять символьно и численно.

Последовательность действий при вычислении производных первого порядка функции нескольких переменных точно такая же, как и при вычислении производных для функции одной переменной, с тем лишь отличием, что функция теперь содержит не одну, а несколько переменных, и производная по каждому аргументу находится отдельно.

	Пример 1.	Вычислим	значение частных производных от функции
	z = 3x2 y + xy 2 в точке (-1; 2).
	Решение.
	x := −1	y := 2
	d (3 x2 y + x y2) = −8		d	(3 x2 y + x y2) = −1
	dx		dy
					x	z
	Пример 2. Вычислим значение частных производных функции u =						в
					y

точке (1; 2; -3).

4

Решение.

x := 1 y := 2 z := −3

u(x,y ,z) :=	x z
	y
d u(x,y ,z) = −24				d	u(x,y ,z) = 12	d u(x,y ,z) = −5.545
dx				dy		dz

Пример 3. Найдем частные производные для функции z = x2 + xy .

Решение.

z(x,y) := x2 + 2 x y

	d z(x,y) →		1								(2 x + 2 y)
							1
	dx
			2 (x2 + 2 x y)					2
	d	z(x,y) →	1				x
				1
	dy
				(x2 + 2 x y)	2

Рассмотрим теперь вычисление производных высших порядков для функции нескольких переменных. Функции нескольких переменных можно дифференцировать несколько раз по одной и той же переменной или по различным переменным. Напомним, что в последнем случае результат дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Если необходимо найти производную порядка п по одной и той же переменной, то поступают также, как при нахождении производной порядка п для функции одной переменной.

Если необходимо найти «смешанную» производную, то дифференцирование производят последовательно. При этом шаблоны для производных можно «вкладывать» один в другой (каждый последующий шаблон вызывается в том поле, где должна вводиться функция).

Пример 4. Найдем значения производных второго порядка от функции z = ln(2 y 2 − x2 ) в точке (1; -2).

5

Решение.

x := 1 y := −2

		(	y	2	−	2)
z(x,y) := ln 2						x
d2							d2
	z(x,y)	= −0.367							z(x,y)	= −0.735
2							dy	2
dx

d d z(x,y) = −0.327 dxdy

Пример 5. Найдем производные второго порядка для функции:

z = x3 y + xy3 +3xy .

Решение.

z(x,y) := x3 y + x y3 + 3 x y

d2

d2

z(x,y) →

6 x y

z(x,y) → 6

x y

2

dy

2

dx

d

d

z(x,y) → 3 x2 + 3 y2 + 3

dxdy

d

d z(x,y) → 3 x2 + 3 y2 + 3

dy dx

Пример 6. Для функции z = xy sin xy убедиться, что

∂3 z

=

∂3 z

=

∂3 z

.

∂x2 ∂y

∂x∂y∂x

∂y∂x2

Решение.

z(x,y) := x y sin(x y)

d2 d

z(x,y)

→ 4 cos (x y) y − 5 x

sin(x y) y

2

−

2

y

3

cos (x y)

x

dx2 dy

d

d

d z(x,y)

→ 4 cos (x y) y − 5 x sin(x y) y2 − x2 y3 cos (x y)

dxdy dx

d d2

2

2

3

z(x,y)

→ 4 cos (x y) y − 5 x

sin(x y) y

−

x

y

cos (x y)

dy

dx2

Совпадение результатов дифференцирования позволяет убедиться в справедливости записанного равенства.

6

8.2. Экстремум функции двух переменных

Функция z = f (x, y) имеет максимум (минимум) в точке P0 (x0 , y0 ) , если существует такая окрестность точки Р0 , для всех точек Р(х, у) которой, отличных от точки Р0 , выполняется неравенство f (P0 ) > f (P) (соответственно

f (P0 ) < f (P)). Точки минимума и максимума функции					z = f (x, y)	называются
точками экстремума этой функции.
Необходимое		условие экстремума.		Если дифференцируемая функция
z = f (x, y)	имеет	экстремум в	точке	P0 (x0 , y0 ) ,	то в	этой	точке
f x| (x0 y0 )= 0, f y| (x0 y0 )= 0.
Т.е.	если P0 (x0 , y0 ) - точка		экстремума функции z = f (x, y) , то				либо

частные производные в этой точке равны нулю (в этом случае точку P0 (x0 , y0 )

называют стационарной точкой), либо функция z = f (x, y) в этой точке не является дифференцируемой.

Достаточное условие экстремума. Пусть P0 (x0 , y0 ) - стационарная точка функции z = f (x, y) , причем эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки Р0 и все ее вторые производные непрерывны в точке Р0. Вычислим

		f ''	(P )	f ''	(P )		.
	=	xx	0	xy	0
		f ''	(P )	f ''	(P )
		xy	0	yy	0
Тогда:
- если	> 0 , то функция z = f (x, y)	имеет в точке P0 (x0 , y0 ) экстремум: максимум
при f xx''	(P0 )< 0 (или при f yy'' (P0 )< 0 ), минимум при f xx'' (P0 )> 0 (или при f yy'' (P0 )> 0 );

-если < 0 , то в точке P0 (x0 , y0 ) экстремума нет;

-если = 0 , то требуется дополнительное исследование.

Пример 7. Исследуем на экстремум функцию z = x3 + y3 −3xy .

Решение. Найдем частные производные первого порядка:

7

z(x,y) := x3 + y3 − 3 x y

d z(x,y) → 3 x2 − 3 y

d

z(x,y) → 3 y2 − 3 x

dx

dy

Решив систему уравнений

2

−3y = 0,

3x

2

−3x = 0,

3y

найдем две стационарные точки P1 (0;0), P2 (1;1).

Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим

в

точке P1 (0;0):

x := 0

y := 0

d2

z(x,y) = 0

d2

z(x,y) = 0

d d

z(x,y) = −3

dx2

dy2

dxdy

:=

0

−3

= −9

−3

0

Т.к. в точке P1 (0;0)

< 0 , то экстремума в этой точке нет.

Найдем значения частных производных второго порядка и вычислим

в

точке P2 (1;1):

x := 1

y := 1

d2

z(x,y) = 6

d2

z(x,y) = 6

d d

z(x,y) → −3

dx2

dy2

dxdy

:=

6

−3

= 27

−3

6

Т.к. в точке P2 (1;1)

> 0 и

f xx'' = 6 > 0 , то в точке P2 (1;1) функция имеет минимум,

равный

z(1,1) = −1

8

8.3. Условный экстремум функции двух переменных

Кроме экстремума в точке, для функции двух переменных рассматривается условный экстремум, т. е. экстремум функции z = f (x, y) ,

найденный в предположении, что переменные х и у связаны соотношением ϕ(x, y)= 0 , которое называется уравнением связи.

Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции Лагранжа L(x, y, λ)= f (x, y)+ λ ϕ(x, y).

Необходимое условие условного экстремума выражается системой

∂∂Lx =0,

∂∂Ly =0,

ϕ(x, y)=0.

Пусть P0 (x0 , y0 ) , λ0 - некоторое решение этой системы.

Достаточное условие условного экстремума. Вычислим определитель

0

=−ϕx' (P0 )

ϕy' (P0 )

ϕx' (P0 ) L'xx' (P0 , λ0 ) L'xy' (P0 , λ0 )

ϕy' (P0 ) L'xy' (P0 , λ0 ). L'yy' (P0 , λ0 )

Если > 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) условный минимум; если < 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) условный максимум.

Пример 8. Найдем условный экстремум функции z = x + 2 y при условии

x2 + y 2 = 5 .

Решение. Составим функцию Лагранжа и найдем частные производные первого порядка:

9

L(x,y ,λ) := x + 2 y + λ (x2 + y2 − 5)		φ(x,y) := x2 + y2 − 5
d L(x,y ,λ) → 1 + 2 λ x
dx
d	L(x,y ,λ) → 2 + 2 λ y
dy

Система уравнений

1 + 2λx = 0,1 + 2λy = 0,

x2 + y 2 −5 = 0

имеет два решения: P1 (−1;−2), λ1 = 12 и P2 (1;2), λ1 = − 12 .

Вычислим

для каждого решения.

P1 (−1;−2), λ1 =

1

.

2

x := −1

y := −2

λ :=

1

2

d φ(x,y) = −2

d

φ(x,y) = −4

dx

dy

d2

L(x,y ,λ) = 1

d2

L(x,y ,λ) = 1

d

d

L(x,y ,λ) = 0

dy2

dx2

dxdy

0

−2 −4

:= −

−2

1

0

= 20

−4

0

1

Т.к. > 0 , то в точке P1 (−1;−2) функция имеет условный минимум, равный z(−1;−2)= −1 + 2 (− 2)= −5 .

P2 (1;2),λ1 = −			1	.
			2
	x := 1			y := 2	λ :=			−1
								2
	d φ(x,y) = 2				d	φ(x,y) = 4
	dx				dy
	d2	L(x,y ,λ) = −1			d2			L(x,y ,λ) = −1	d	d	L(x,y ,λ) = 0
					dy2
	dx2								dxdy

10

		0	2	4
:= −		2	−1	0		= −20
		4	0	−1

Т.к. < 0 , то в точке P2 (1;2) функция имеет условный минимум, равный z(1;2)=1 + 2 2 = 5 .

8.4.Задания для самостоятельного решения

1.Найти частные производные первого и второго порядков:

1.

а)

z = arcsin(3xy)

11.

а)

z = xу2 y − ye2 x

б)

u =

x2

+ y 2 + z 2

б) u =

x +

y +

z + xyz

а)

z = ln tg

x

а)

z = arctg

x2 − y 2

2.

2 y

12.

б) u = sin(x2

+ z 2 )

u = sin 2 (2x + y)−sin 2 z

+ y 2

б)

а)

z =

2xy −8

а) z = xy ln(x + y)

3.

x2

13.

б) u = xy −

z

б) u = xy + xz + yz + xyz

xy + z

а)

z =

sin(x2 + y 2 )

а)

z =

1

1

4.

б) u = ln(x + y 2 + z 3 )

14.

x +

y

б) u = arcsin(xyz +1)

а)

z = arcsin

x

а)

z =

xy

5.

y

15.

x2 + y 2

б) u = x2 y 2 − xz 4 − yz3

б) u = x + 2 y 2 +3z3

6.

а)

z = arcsin

x2 − y

16.

а)

z =

x + y +

x − y

б) u = ln(x + y + e xyz )

б) u = xyz sin(x + y + z)

7.

а) z = ln(x + ln y)

17.

а)

z =

x −

y

б) u = e

x

z

б) u = x y + y z + z x

y

+ e

y

11

а)

z = sin

x

+ y

а) z =

1 − x2

− y 2

2

+ y

2

8.

x

18.

б) u = xyz ln(x + y + z)

б) u = x yz

+ y xz

+ z xy

а)

z = arctg

y −1

а) z = (x + y)e−xy

9.

x

19.

б)

u =

ex

(y − z)

б) u = z tg

xy

z

x2

10.

а)

z = (1 + x + y)2

20.

а) z = e x ln y +sin y ln x

б) u =

x2 + xy3 + yz 2

б) u = x2 y 2 z 2

−ln(xyz)

2. Найти указанные производные:

1.

z = arctg

xy ,

∂3 z

,

∂5 z

11.

z = sin(2x −3y),

∂3 z

,

∂4 z

∂x∂y∂x

∂x∂y

4

∂x

2

∂y

∂x

2

∂y

2

2.

z = e

y

ln x

+sin x ln y,

∂3 z

,

∂4 z

12.

z =

x + e

y

,

∂3 z

,

∂5 z

∂x∂y

2

∂x

3

∂y

∂y

3

∂x∂y

4

3.

z =

xy

,

∂3 z

,

∂4 z

13.

z = ln(y

2

− 4x),

∂3 z

,

∂5 z

x

+ y

∂x3

∂x

2 ∂y 2

∂y

3

∂x

3

∂y

2

4.

z = sin

2

x + cos

2

y,

∂3 z

,

∂5 z

14.

z =

x2

,

∂3 z

,

∂4 z

∂x

2

∂y

∂x

3

∂y

2

1

− xy

∂x∂y

2

∂x

3

∂y

5.

z = xy sin(x + y),

∂4 z

,

∂4 z

15.

z = arctg

x + y ,

∂3 z

,

∂4 z

∂x∂y

3

∂x

2

∂y

2

∂x

3

∂x

2

∂y

2

∂

3

z

∂

4

∂

3

∂

5

6.

z = ln(e x + e y ),

,

z

16.

z = e

x

+

y ,

z3 ,

4 z

∂y∂x∂y

∂x

3

∂y

∂y

∂x

∂y

7.

z = x

y

,

∂3 z

,

∂5 z

17.

z = arctg

y

,

∂3 z

,

∂4 z

∂y

3

∂x∂y

4

x

∂x∂y

2

∂x∂y

3

8.

∂3 z

∂4 z

18.

z = x2 y3 +

y

∂4

∂5

z = arcsin

xy ,

∂x∂y

2

,

∂x

2

∂y

2

x

,

∂x

3 z

,

z

4

∂y

∂x∂y

9.

z =

x + y ,

∂4 z

,

∂5 z

19.

z = arcsin

x + y ,

∂3 z

,

∂4 z

∂x

2

∂y

2

∂x

4

∂y

∂x∂y

2

∂x

2

∂y

2

∂

3

z

∂

4

z

∂

3

∂

4

10.

z = x2 sin

2

y,

,

20.

z = xe y

+ yex ,

z3 ,

z

∂x∂y

2

∂x∂y

3

3

∂y

∂x

∂y

12

3. Исследовать функцию на экстремум:

1.

z = 2x4

+ y 4

− x2

− 2 y 2

11.

z = e2 x+3 y (8x2

−6xy +3y 2 )

2.

z = xy ln(x2

+ y 2 )

12.

z = e x2 −y (5 − 2x + y)

3.

z = x2 + xy + y 2 + x − y +1

13.

z = (5x + 7 y − 25)e−(x2 +xy+y2 )

4.

z = x4 + y 4 − 2x2 − 4xy − 2 y 2

14.

z = x + y + 4sin x sin y

5.

z = x3 + y 2

−6xy −39x +18y + 20

15.

z = (x2

+ y 2 )e−(x2 +y2 )

6.

z =1 −

x

2

+ y

2

16.

z =

x + y +1

x 2 + y 2 +1

7.

z = x2 y3 (6 − x − y)

17.

z = xy

1 − x2

− y 2

8.

z = x4

+ y 4

− x2 − 2xy − y 2

18.

z = (x − y +1)2

9.

z = x2 − xy + y 2 − 2x + y

19.

z = x2 −(y −1)2

10.

z = x2

+ xy + y 2 − 4 ln x −10 ln y

20.

z = 2xy −3x2

− 2 y 2

+10

4. Найти условный экстремум:

1.

z = cos2 x + cos2

y,

x − y = π

2.

z = x 2

+ y 2 ,

х

−

y

=1

3

4

2

3.

z =

x

+

y

,

x2 + y 2

=1

12.

z = x4

+ y 4 ,

x + y = 2

2

3

4.

z = x2

+12xy + 2 y 2 ,

4x2 + y 2 = 25

13.

z = −x2 + 4xy +3y 2 ,

x2

+ y 2 =1

5.

z = x2

+ y 2 ,

x +

y

=1

14.

z = x 2

+ y 2 ,

x

+

y

=1

2

2

3

1

1

1

1

1

x

y

2

2

6.

z =

+

,

+

=

15.

z =

+

,

x

+ y

=1

x

y

x2

y 2

4

4

6

7.

z = x3 + y3 ,

x + y = 2

16.

z = xy,

x + y =1

8.

z = xy,

x2

+ y 2 = 2

17.

z = x2

− y 2 ,

x2 + y 2

= 4

9.

z = 2x2

+ 6xy + 4 y 2 ,

x2 + y 2 =1

18.

z = x5 + y5 ,

x + y = 2

10.

x

y

2

2

19.

1

1

1

1

1

z =

−

,

x

+ y

=1

z =

+

,

+

=

x

y

x2

y 2

9

5

2

11.

1

1

1

1

20.

π

z =

+

,

+

=1

z = cos2 x + 2 cos2

y,

y −

х =

x

y

x2

y 2

4

13