1.4. Швидкість матеріальної точки

Вектором миттєвої швидкості називається перша похідна від радіус-вектора за часом:

. (1.2)

У шкільному курсі “Вступ до математичного аналізу” вивчалося диференціювання звичайної скалярної функції f(t), для якої похідну f΄(t)

знаходять за певними правилами. Наприклад, для функцій ln x та Cxⁿ похідними є 1/x та Cnx^n–1 відповідно. Похідну за часом ще позначають крапкою над символом:

.

Операція диференціювання у формулі (1.2) складніша за диференціювання скалярної функції у тому розумінні, що потрібно диференціювати три скалярні функції x(t), y(t), z(t):

,

(тут вираз (1.1) підставили у (1.2)). Проекції вектора швидкості на координатні осі являють собою похідні за часом від відповідних компонент радіус-вектора.

Модуль швидкості

.

Середньою шляховою швидкістю називають відношення пройденого тілом шляху s до часу t, за який тіло пройшло цей шлях:

.

Середня шляхова швидкість – скалярна величина.

Середньою швидкістю називається відношення вектора переміщення , яке здійснила матеріальна точка за час Δt, до величини часу Δt:

.

На рис. 1.6 показано фрагмент АВ траєкторії матеріальної точки. Довжина криволінійної дуги АВ дорівнює s. У момент часу, коли тіло знаходиться у т. А, вектор миттєвої швидкості – . Вектор середньої швидкостінаправлений уздовж вектора переміщення .

Рис. 1.6

Одиницею вимірювання швидкості у системі СІ є метр, поділений на секунду – м/с.

Фізичний зміст швидкості. Швидкість – це фізична величина, яка вказує, як з часом змінюється положення (координата) тіла.

Приклад обчислення швидкості

Координати матеріальної точки, яка рухається у площині xy, визначаються формулами: x = At⁴+Bt², y = Ct³– t, де A=0,25 м/с⁴; B=0,5 м/с²; C=1/3 м/с³; D=1 м/с. Знайти вектор швидкості, модуль вектора швидкості у момент часу 1 с.

Розв’язок.

Продиференцюємо вирази для координат за часом і отримаємо проекції швидкості (координати вектора швидкості) на осі системи координат: v_x = ;

v_y = .

Підставимо значення часу t=1 c.

v_x =  м/с; v_y =   м/с.

Через орти координатних осей запишемо вираз для вектора швидкості:  м/с.

Модуль вектора швидкості  м/с.

Відповідь:  м/с,  м/с.

1.5. Прискорення. Класифікація поступальних рухів

Прискорення для швидкості є тим же самим, що швидкість для радіус-вектора: похідною за часом.

Миттєвим прискоренням називається перша похідна за часом від миттєвої швидкості:

.

Середнім прискоренням називається відношення вектора зміни швидкості матеріальної точки, яка відбулася за час Δt, до величини часу Δt:

.

Одиницею вимірювання прискорення у системі СІ є метр, поділений на секунду в квадраті – м/с².

Фізичний зміст прискорення. Прискорення – це фізична величина, яка вказує, як з часом змінюється швидкість тіла.

Поступальні рухи можна класифікувати по двом критеріям:

а) прямолінійний, непрямолінійний;

б) рівномірний, рівноприскорений, нерівномірний.

Рівномірним прямолінійним називається рух матеріальної точки вздовж прямої, якщо за рівні проміжки часу тіло проходить однакові шляхи. Тобто це рух з постійною швидкістю.

Рівноприскорений прямолінійний – рух вздовж прямої, при якому матеріальна точка за рівні проміжки часу змінює свою швидкість на одну й ту ж величину. Тобто це рух з постійним прискоренням.

Приклад обчислення прискорення

Зайти вектор прискорення та його модуль у прикладі з пункту 1.4.

Розв’язок.

Продиференцюємо вирази для проекцій швидкості за часом і отримаємо проекції координати вектора прискорення у потрібний момент часу: а_x =  м/с²;

а_y =   м/с².

Вектор швидкості:  м/с².

Його модуль:  м/с.