1.6. Обчислення шляху, якщо відома швидкість

Щоб визначити пройдений матеріальною точкою шлях при нерівномірному русі роблять наступне.

1) Розбивають траєкторію на N ділянок (частин) (див. рис. 1.7), кожна з яких має довжину s_i . Якщо N – досить велике, то можна вважати кожну таку частину траєкторії відрізком прямої. Припускають, що швидкість v_i матеріальної точки в межах однієї ділянки незмінна й дорівнює, наприклад, швидкості на початку ділянки.

2) Обчислюють довжину кожної ділянки s_i за формулою для шляху при рівномірному русі:

s_i = v_i  t_i ,

де  t_i . – час, за який матеріальна точка проходить ділянку s_i .

3) Підсумовують по усім ділянкам і отримують весь шлях

.

Рис. 1.7

Щоб збільшити точність розрахунку, виконують ці всі дії при більшому N. У граничному випадку, коли N, сума переходить у інтеграл:

.

Межі інтегрування – початковий t₁ та кінцевий t₂ моменти часу.

Приклад обчислення шляху.

Швидкість точки, яка рухається вздовж прямої задана рівнянням v = At³+Bt²+ Ct + D, де A=4 м/с⁴; B=3 м/с³; C=2 м/с²; D=1 м/с.

Знайти шлях, який проходить точка від моменту часу t₁=0 с до t₂=2 с.

Розв’язок. Шлях знайдемо інтегруванням:

=16+8+4+2=30 м.

1.7. Нормальне та тангенціальне прискорення

Розглядаючи рух матеріальної точки по криволінійній траєкторії, зручно вектор повного прискорення розкласти на два взаємно перпендикулярних компоненти:– тангенціальне і– нормальне прискорення (див. рис. 1.8).

Рис. 1.8

Вектор тангенціального прискорення має напрямок вздовж дотичної, а нормальне прискорення – вдовж нормалі до траєкторії. Модуль тангенціального прискорення є першою похідною за часом від модуля швидкості:

.

Модуль нормального прискорення залежить від радіусу кривизни траєкторії у даній точці траєкторії та модуля швидкості:

.

Вектор повного прискорення є векторною сумою тангенціального й нормального прискорень:

.

Модуль повного прискорення знаходять за теоремою Піфагора:

.

Рух точки називається прискореним, якщо чисельне значення її швидкості збільшується з часом, тобто а_ > 0. Рух точки називається сповільненим, якщо чисельне значення її швидкості зменшується з часом, тобто а_ < 0. Якщо a_τ=0, то матеріальна точка здійснює рівномірний рух , а якщо a_n=0 – рух по прямій (прямолінійний рух). Величини а_ і a_n характиризують швидкість зміни відповідно чисального значення та напрямку швидкості матеріальної точки, що рухається.

ПРИКЛАДИ

1. Матеріальна точка рухається по колу радіусом R=13 м. Шлях змінюється за законом , деА=1 м/с, В=0,5 м/с², С=1/3 м/с³. Знайти для моменту часу t=3 с 1) нормальне, 2) тангенціальне, 3) повне прискорення.

Розв’язок.

1) Знайдемо залежність швидкості від часу диференціюванням:

, для моменту часу t=3 с швидкість . Нормальне прискорення

2) Знайдемо залежність тангенціального прискорення від часу диференціюванням виразу для швидкості: , для моменту часуt=3 с .

3) За теоремою Піфагора визначимо повне прискорення: .

Відповідь: ,,

2. Тіло кинули під кутом  до горизонту. Для моменту часу, коли вектор швидкості складатиме кут =30 з горизонтальною лінією, Знайти: 1) нормальне, 2) тангенціальне, 3) повне прискорення.

Рис. 1.9

Розв’язок.

Повне прискорення – це прискорення вільного падіння . З рис. 1.9 одержимо

, ,

Відповідь: ,,