3. Теорема умножения и следствия из нее

Теорема умножения. Вероятность произведения двух случайных событий равна произведению вероятности одного из этих событий, на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло

.

Доказательство.

m l о о о о о о о о о о о о о о о k n

Следствие 1. Если событие не зависит от события, то и событиене зависит от события, т. е. понятия зависимости и независимости двух событий являются взаимными.

Доказательство.

Из доказанного следствия следует следующее определение независимых событий.

Определение. Два события иназываютсянезависимыми, если появление или непоявление одного из них не изменяет вероятности наступления другого

.

В противном случае события и называются зависимыми.

Следствие 2. Если события инезависимы, то независимы и события

(и), (и), (и).

Доказательство.

Следствие 3. Если события инезависимы, то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей

.

Доказательство.

Обобщим полученные результаты на случай конечного числа событий .

Определение. События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из этих событий не изменяется в зависимости от наступления других событий в любой их совокупности. В противном случае события называются зависимыми.

Отметим, что

1) из попарной независимости событий (т.е. независимости двух любых событий, взятых из данных) не следует независимость этих событий в совокупности;

2) из независимости событий в совокупности следует попарная независимость этих событий.

С помощью метода математической индукции теорему умножения можно распространить на случай событий.

Теорема 2. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности остальных событий, вычисленные при условии, что все предшествующие события произошли, т.е.

.

Следствие 1. Если события независимы в совокупности, то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей.

.

Следствие 2. Если события независимы в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий находится по формуле

,

где .

Доказательство.

Рассмотрим понятия зависимости и независимости событий на примере схемы „возвращенных” шаров и схемы „невозвращенных” шаров.

Пример. В урне с шарами находится 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно извлекаются два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется белым.

Решение.

„Схема возвращенных шаров”.

Вывод. Если испытания проводятся по схеме возвращенных шаров, то события инезависимы, так как вероятность событияне изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событиев предшествующем испытании

.

„Схема невозвращенных шаров”.

Вывод. Если испытания проводятся по схеме невозвращенных шаров, то событие зависит от события, так как вероятность событияизменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событиев предшествующем испытании

, .

Пример. На шести одинаковых карточках написаны буквы . Карточки перемешены и лежат буквами вниз. Найти вероятность того, что, извлекая все карточки по одной, получим в порядке их появления, слово.

Решение. Введем обозначения:

событие состоит в том, что появилась буква;

событие состоит в том, что появилась буква;

событие состоит в том, что появилась буква;

событие состоит в том, что появилась буква;

событие состоит в том, что появилась буква.

Пример. Три стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9; для второго – 0,8 и для третьего – 0,5. Найти вероятность того, что:

а) три стрелка попадут в цель;

б) ни один стрелок не попадет в цель;

в) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Запишем условие задачи, введя соответствующие обозначения.

Дано: событие состоит в том, что в цель попадет первый стрелок,;

событие состоит в том, что в цель попадет второй стрелок,;

событие состоит в том, что в цель попадет третий стрелок,.

Найти: а) событие – три стрелка попадут в цель,;

б) событие – ни один стрелок не попадет в цель,;

в) событие – хотя бы один стрелок попадет в цель,.

Решение. а)

б)

в)