4. Формула полной вероятности.

Определение. Если событие может происходить только с одним из событий

, которые образуют полную группу событий, то события называются гипотезами.

Поскольку события образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице

,

Согласно следствию 3 из теоремы сложения. Это равенство следует применять при проверке правильности составления системы гипотез.

Теорема (формула полной вероятности). Если событие может произойти только с одной из гипотез , то вероятность события равна сумме произведений вероятностей гипотез на условные вероятности события, вычисленные при условии, что соответствующая гипотеза имела место

.

Доказательство.

Пример. В трех одинаковых урнах находятся шары. В первой урне находятся только белые шары, во второй только черные, а в третьей урне два черных и три белых шара.

Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар из случайно выбранной урны является белым.

Запишем, прежде всего, условие задачи, вводя соответствующие обозначения.

Дано: событие состоит в том, что будет выбран белый шар.

Гипотеза состоит в том, что выбрана первая урна (состав урны: все белые шары).

Гипотеза состоит в том, что выбрана вторая урна (состав урны: все черные шары).

Гипотеза состоит в том, что выбрана третья урна (состав урны: 2 черных и 3 белых шара).

Найти:

Решение.

Дерево вероятностей

Для решения задач, в которых решения принимаются в условиях стохастической неопределенности, удобно использовать так называемое «дерево вероятностей».

Определение. Деревом вероятностей называется графический метод, который показывает последовательность стратегических решений и предполагаемые последовательности действий при каждом возмож­ном блоке случайных обстоятельств.

Построение дерева решения начинается с первого решения и продвигается вперед через ряд последовательных событий и решений, при этом вероятностные события обозначаются кружками, а принимаемые решения квадратиками. Ответвления из квадратиков представляют стратегии, а ответвления из кружков - внешние условия. При каждом решении или событии у дерева вероятностей появляются ответвления, которые пока­зывают соответственно возможное направление действий до тех пор, пока, наконец, все логиче­ские последовательности решений и вытекающие из них события не будут вычерчены. Отметим, что ответвления из кружков имеют вероятности, причем сумма вероятностей для всех ответвлений, вытека­ющих из любого кружка, должна равняться единице.

Из формулы полной вероят­ности следует, что для вычисления вероятности события необ­ходимо осуществить перебор всех путей, ведущих к результиру­ющему событию ; вычислить и расставить на соответствующих путях вероятности того, что движение будет происходить поданному пути, и вероятности того, что на данном пути бу­дет достигнуто конечное событие . Затем вероятности, стоящие на одном пути, перемножаются, а результаты, полученные для раз­личных путей, складываются.

Каждое из условий может, в свою очередь, делиться на несколько дополнительных условий или гипотез, т.е. на каждом этапе оно допускает неограниченное число ветвлений схемы, поэтому при решении задач более удобно пользоваться не самой формулой полной вероятности, а графической схемой полной вероятности или соответствующим деревом вероятностей.

Пример. Трое преподавателей принимают экзамен в группе из 30 человек, причем первый опрашивает 6 студентов, второй — 3, а третий — 21 студента (выбор студентов производится случай­ным образом из списка). Отношение трех экзаменаторов к слабо подготовившимся различное: шансы таких студентов сдать эк­замен у первого преподавателя равны 40 %, у второго — только 10 %, зато у третьего — 70 %. Найти вероятность того, что слабо подготовившийся студент сдаст экзамен. Решение. Обозначим через ,— гипотезы, состоящие в том, что слабо подготовившийся студент отвечал первому, второму и третьему экзаменатору соответственно. По условию задачи

Пусть событие состоит в том, что слабо подготовившийся студент сдал эк­замен. Тогда по условию задачи

.

По формуле полной вероятности получаем

.

Построим для рассматриваемой задачи дерево решений