4. Непрерывное вероятностное пространство

До сих пор мы рассматривали дискретное вероятностное пространство, для краткого описания которого применяют пару символов , где -пространство элементарных событий, вероятность события.

Однако возможны ситуации, в которых пространство элементарных событий может оказаться более, чем конечным или счетным, а именно, континуальным.

Например, в задаче о встрече, приведенной в теме 1, возможно бесконечное несчетное множество элементарных исходов – точек квадрата, координаты которых равны моментам прихода к месту встречи каждого из двух партнеров. Таким образом, в рассматриваемой задаче пространство элементарных событийявляется континуальным.

Континуальные пространства символически определяются тройкой символов

, где, как и раньше, -пространство элементарных событий, вероятность события.

Рассмотрим вторую компоненту вероятностного пространства . Отметим, что особенность общего непрерывного случая состоит в том, что в континуальном пространстве элементарных событийсуществуют как измеримые подмножества, так и неизмеримые. (Понятия измеримых и неизмеримых подмножеств рассмотрены в приложении 2)

Определение. Событиями называются измеримые подмножества пространства элементарных событий .

Систему всех измеримых подмножеств пространства элементарных событий обозначают буквойи называюталгеброй событий.

Аксиома. Каждому подмножеству – событию из системысоответствует неотрицательное число, не превосходящее единицы, которое называется вероятностью события, обозначаетсяи обладает следующими свойствами:

1)

2) .

Вероятность события является функцией соответствующего подмножества, пространства элементарных событийиназывается вероятностной мерой, определенной на системе подмножеств .

В определенном таким образом вероятностном пространстве сохраняются все доказанные ранее теоремы.

41