- •Тема 6. Законы распределения случайных величин
- •Свойства биномиального закона распределения
- •2. Закон распределения Пуассона.
- •Свойства закона распределения Пуассона.
- •3. Равномерное распределение
- •Свойства равномерного распределения
- •4. Показательное (экспоненциальное) распределение
- •Свойства показательного распределения
- •5. Нормальный закон распределения.
- •Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.
- •Зависимость нормальной кривой от значений параметров закона и.
4. Показательное (экспоненциальное) распределение
Определение. Непрерывная случайная величина , плотность распределения которой задается формулой
называется показательной или экспоненциальной с параметром .
График плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины изображен на рисунке 1
Рис. 1.
В большом числе случаев показательное распределение описывает время безотказной работы прибора, при этом число интерпретируется как интенсивность отказа. Это распределение находит также широкое применение в демографии.
Свойства показательного распределения
Свойство 1. Интегральная функция распределения показательной случайной величины записывается в виде
.
Доказательство. Для того, что бы найти интегральную функцию распределения показательной случайной величины, воспользуемся свойством 3 дифференциальной функции распределения
.
Рассмотрим следующие два случая:
Если , топри. Поэтому
.
Если , то из свойства аддитивности определенного интеграла получаем
.
Из рассмотренных случаев следует, что интегральная функция показательно распределенной случайной величины записывается в виде
График интегральной функции показательно распределенной случайной величины изображен на рисунке 2
1
|
Рис. 2.
Свойство 2. Математическое ожидание случайной показательной случайной величины определяется по формуле
.
Доказательство.
.
Свойство 3. Дисперсия случайной величины показательной случайной величины определяется по формуле
.
Доказательство. Воспользовавшись формулой для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины
,
находим
Свойство 4. Среднее квадратическое отклонение случайной величины показательной случайной величины вычисляется по формуле
.
Доказательство. Так как среднее квадратическое отклонение
,
то среднее квадратическое отклонение для равномерно распределенной случайной величины находим
Пример.
5. Нормальный закон распределения.
Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике, Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.
Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения или закон распределения Гаусса с параметрами и, если ее плотность распределения вероятности имеет вид
.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой.
Выясним прежде всего теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона распределения.
Теорема. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то
1) математическое ожидание случайной величины равно параметруэтого закона, т.е.
,
2) средне квадратическое отклонение случайной величины равно параметруэтого закона, т.е.
.
Доказательство.
Для того чтобы определить вид нормальной кривой, проведем исследование дифференциальной функции распределения.