Свойства дифференциальной функции распределения нормального закона.

Свойство 1. Областью определения дифференциальной функции нормального закона распределения является все множество действительных чисел

Доказательство.

Свойство 2. Областью изменения дифференциальной функции нормального закона распределения является промежуток

Доказательство.

Свойство 3. Нормальная кривая симметрична относительно прямой

Доказательство.

Свойство 4. Нормальная кривая является непрерывной на всей числовой прямой.

Доказательство.

Свойство 5. Нормальная кривая имеет максимум в точке , причем.

Доказательство.

Свойство 6. Нормальная кривая имеет две точки перегиба с абсцисами , ордината точки перегиба.

Доказательство.

Свойство 7. Нормальная кривая имеет одну горизонтальную асимптоту, которой является ось .

Доказательство.

На основании проведенного исследования строим график дифференциальной функции распределения нормального закона.

Зависимость нормальной кривой от значений параметров закона и.

Вывод. Параметр характеризует положение нормальной кривой на координатной плоскости, а параметр определяет форму нормальной кривой.

Определение. Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами и называется стандартным или нормированным и обозначается , соответствующая ему нормальная кривая называется стандартной или нормированной нормальной кривой.

Функция Лапласа и ее свойства.

Определение. Функцией Лапласа называется функция вида

.

Графически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке . Для значений функции Лапласа составлены специальные таблицы, которые, обычно, приведены во всех источниках по теории вероятностей.

Свойства функции Лапласа

1.

2.

3.

Теорема. Интегральная функция распределения случайной величины , распределенной по нормальному закону, имеет вид

.

Теорема. Вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону, в промежутокопределяется по формуле

,

где

, .

Теорема. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по модулю на величину, не превышающую, определяется по формуле

где

.

Теорема (правило трех сигма). Если случайная величина распределена по нормальному закону, то вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания по модулю на величину, не превышающую, определяется по формуле

Доказательство.

Пример. Полагая, что рост мужчин определенной возрастной группы есть нормально распределенная случайная величина с параметрамии, найти

1. выражение плотности вероятности и функции распределения случайной величины ;

2. доли костюмов четвертого роста (176-182 см.) и третьего роста (170-176 см), которые нужно предусмотреть в общем объеме производства для данной возрастной группы.

96