- •1. Загальні принципи побудови систем
- •1.1 Поняття системи, її властивості та їх співвідношення. Прості та ієрархічні системи
- •1.3. Класифікації систем
- •Відкриті і закриті системи.
- •Цілеспрямовані системи.
- •Класифікації систем по складності.
- •1.4 Визначення й основні принципи системного підходу
- •1. Принцип пріоритету глобальної мети і послідовного просування
- •2. Принцип модульності систем
- •3. Принцип узгодження зв'язків
- •4. Усталеність систем
- •5. Принцип відсутності конфліктів між цілями окремих елементів чи підсистем і цілями всієї системи
- •1.5 Порівняльна характеристика класичного та системного підходів до формування системи
- •1.6 Основні задачі створення і дослідження систем
- •1.7. Основні етапи розробки систем
- •2. Термінологія і класифікація моделей об'єктів та систем
- •2.1 Закон і модель, їх співвідношення. Види моделей.
- •2.2 Побудова і аналіз статистичних моделей
- •2.2.1. Проведення експерименту відсіювання (вибір значущих факторів)
- •2.2.2. Вибір форми функціональної залежності
- •2.2.3. Визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі
- •2.2.3.1 Метод найменших квадратів (мнк)
- •3. Регресійні моделі з однією змінною
- •3.1. Оцінка надійності коефіцієнтів моделі лінійної регресії
- •3.2 Приклад побудови моделі лінійної регресії
- •4. Моделі множинної лінійної регресії
- •4.1 Матрична форма моделі множинної регресії
- •4.2 Приклад побудови рівняння множинної регресії
- •4.3 Аналіз моделі множинної регресії
- •4.4 Визначення довірчих інтервалів коефіцієнтів множинної регресії
- •5. Композиція і декомпозиція складних об'єктів і систем
- •5.1 Еквівалентні перетворення моделей систем
- •1.Модель без додаткових зв’язків
- •2. Послідовне підключення моделей підсистем
- •7. Синтез оптимальних систем на основі динамічного
- •7.1 Визначення методу дп
- •7.2 Знаходження най коротшої відстані між двома вузлами на мережі доріг
- •7.3 Задачі розподілу ресурсів
- •Рішення
- •Рішення
- •9. Аналіз і синтез систем на основі імітаційного моделювання
- •9.1 Загальні питання імітаційного моделювання
- •9.2. Метод Монте-Карло
- •9.3 Види випадкових потоків
- •9.5 Імітаційне моделювання транспортних систем масового обслуговування
- •9.6 Алгоритм імітаційного моделювання смо
- •Підпрограма "Моделювання вхідного потоку"
- •Підпрограма "Моделювання вихідного потоку"
- •Підпрограма "Сортування каналів"
- •Підпрограма " Побудова діаграми №2 розподілу часових інтервалів вихідного потоку"
- •9.7. Приклад застосування програми імітаційного моделювання
- •10. Управління в організаційних системах. Принцип зворотного зв'язку
- •10.1 Основні принципи управління
- •10.1.1. Принцип управління по збуренню
- •10.1.2. Принцип управління по відхиленню (принцип зворотного зв'язку)
- •10.1.3. Принцип комбінованого управління
- •10.2 Приклад аналізу систем управління об'єктами економічного характеру
3. Регресійні моделі з однією змінною
Ці моделі встановлюють лінійну функціональну залежність відгуку у лише від однієї незалежної змінної (одного аргументу) х у вигляді:
= а0+а1х, (3.1)
де a0 - початкове значення у при х = 0; - коефіцієнт впливу варіацій х на варіації у, який частіше називається коефіцієнтом парної лінійної регресії.
Відмітимо, що розрахункові значення у за тих же самих значень хі, де хі - експериментально отримані значення незалежної змінної, тобто функція , частіше не співпадають з експериментально отриманими значеннямипри тих же значенняххі. Але можна обрати такі значення a0 та а1, щоб задовольнити умови МНК, що були викладені в попередньому розділі:
(3.2)
Для забезпечення цієї умови, очевидно, необхідно забезпечити виконання наступних двох умов:
(3.3)
Виконаємо ці умови:
що дає наступні дві умови для визначення а0 та а1:
або у розгорнутій формі:
Вирішення цієї системи рівнянь відносно а0 та a1 дає наступні вирази для розрахунку оптимальних значень коефіцієнтів моделі:
(3.4)
Таким чином, знаючи експериментально отриману множину величин
хі (і є N) та уі (і є N), можна розрахувати за допомогою (3.4) чисел значення параметрів лінійної кореляційної моделі а0 та а1 що забезпечать мінімальну дисперсію похибки моделі , викликану неврахований факторами, що також збурюють систему.
Потрібно не забувати, що отримана таким чином модель (3.1) забезпечує мінімум лише в області значеньхтin ≤ х ≤ хтaх. Поза цим інтервалом (тобто при екстраполяції моделі поза даним інтервалом) досить можливо, що мінімум не буде забезпечений в області значень х, що екстраполюється.
Якщо помножити в першому рівнянні системи (3.4) значення а1 на (-1) і розділити в цьому виразі чисельник і знаменник на N, то можна отримати іншу форму запису системи рівнянь (3.4), більш зручну для практичних розрахунків:
(3.5)
де - середні значення по
При використанні формули (3.5) експериментальні дані хі та уі можуть бути зведені до таблиці 3.1 по якій розраховуються проміжні величини, що входять до формули (3.5)
Таблиця 3.1 Дані для розрахунку коефіцієнтів лінійної регресії
|
yi |
xi |
xi2 |
xi yi | ||
|
y1
y2 … yN |
x1
x1 … xN |
x12
x22 ... xN2 |
x1 y1
x1 y2 … xN yN |
… |
… |
Всього |
| |||||
Сер.знач |
|
|
|
Після заповнення першої та другої колонок експериментально отриманими даними хi та уi проводять розрахунки значень двох наступних колонок. Потім сумують отримані значення по кожній колонці в рядку "Всього", після чого розраховують середні значення ташляхом ділення відповідних сум на число експериментальних значень. Отримані дані використовуємо в (3.5) для розрахунку значеньа0 та а1.
Після розрахунку значень а0 та а1 визначають значення з використанням формули (3.1) для значень xi таблиці 3.1. Отримані значення заносяться в таблицю 3.1 (5-й стовпчик). Потім розраховуються значення квадратів відхиленьвід уі для кожного рядка таблиці 3.1, отримані значення додаються в рядок "Всього". Після Ділення отриманої суми на N на перетині 6-го стовпчика і рядка "Всього" отримаємо значення мінімально можливої дисперсії похибки моделі лінійної регресії, що найбільш точно описує взаємозв'язок експериментальних данихуi та хi (і =).
Ступінь впливу незалежного фактору х, що є застосованим в моделі, на змінну у оцінюється при цьому коефіцієнтом детермінації за формулою (2.18), де:
(3.6)
є загальною дисперсією фактору у. Значення ж залишкової дисперсій D визначається як це було показано в таблиці 3.1.
Величина коефіцієнту кореляції R при цьому може бути визначено за допомогою (2.19). Відмітимо, що для лінійної регресії значення R характеризує, поряд зі ступенем зв'язку у та х, також близькість залежності у(х) до лінійної форми (3.1). Вважається, що при |R|≥0,7 лінійна форма є досить адекватною для оцінки форми зв'язку.
Разом з коефіцієнтом кореляції R, який характеризує близькість до лінійної залежності, у лінійних моделях, як і в загальному випадку застосовується також коефіцієнт детермінації КD = R2, який показує, яку частку до варіацій змінної у вносить незалежний аргумент моделі х.
Наприклад, при R =0,8; КD = 0,64, що означає, що 64% змінності у викликано впливом х та інші 36% викликані іншими незалежними факторами, не врахованими в моделі.
Відмітимо також можливість розрахунку коефіцієнту кореляції R безпосередньо по отриманим експериментальним даним уi та хi (і =). Це буває необхідним, якщо не ставиться задача визначення саме значень коефіцієнтів моделіа0 та a1 а лише перевіряється гіпотеза про лінійності зв'язку у та х. В цьому випадку величина R розраховується безпосередньо по експериментальним даним yі та хі за допомогою формули:
(3.7)
Серед чисельних комп'ютерних програм ЕОМ, призначених вивчення парної лінійної регресії, можна рекомендувати програму, працює у середовищі "MATHCAD-2000, і яку наведено нижче.