2.2.3. Визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі

Після вибору форми функціональної залежності рівняння регресії переходять до визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі. Для визначення найбільше застосування знайшов метод найменших квадра (МНК). Тому розглянемо цей метод докладніше.

2.2.3.1 Метод найменших квадратів (мнк)

Сутність методу полягає у виборі таких значень параметрів моделі коефіцієнтів), при яких сума квадратів відхилення експериментальних значень залежної змінної у_і(х_ji) від відповідних розрахункових значень , де m - число незалежних факторів, що включені в модель (х_j); N - число експериментальних значень кожного з цих фактор що беруть участь у побудові регресійної моделі.

Іншими словами, метод найменших квадратів забезпечує вибір так параметрів моделі, у(х_j); (j =;), при яких забезпечується мінімум наступного функціоналу:

(2.11)

В цьому випадку дисперсія похибки моделі визначається величиною:

(2.12)

і служить статистичною оцінкою точності отриманої моделі.

Особливістю регресійних моделей є те, що дослідник включає до розгляду лише найбільш значущі фактори. Фактори, що мають незначний вплив на величину функції відгуку (у) взагалі не розглядаються ( тобто їхнім впливом зневажають).

Тому загальну дисперсію коливань відгуку у відносно його середнього значення

(2.13)

розглядають як суму двох дисперсій:

• факторної дисперсії D , що викликана впливом факторів, включених до моделі. Ця дисперсія зазвичай визначається за допомогою формули:

(2.14)

що оцінює розсіювання розрахункових значень відносно;

- залишкової дисперсії D_ε, що оцінює розсіювання експериментальних даних відносно розрахункових даних моделі , яка характеризує, по суті, статистичну похибку моделі

(2.15)

З урахуванням сказаного можна записати:

(2.16)

Відношення

(2.17)

що характеризує долю дисперсії у, обумовлену впливом лише врахованих факторів, у загальній дисперсії , називаєтьсякоефіцієнтом детермінації (для нелінійних моделей - індексом детермінації).

Поділивши (2.16) на отримаємо вираз дляK_D у вигляді:

(2.18)

Величина

(2.19)

носить назву коефіцієнта кореляції (для нелінійних моделей – індекса кореляції). Ця величина характеризує щільність зв'язку між відгуком у і незалежними факторами, що включені до моделі. Практично приймається, що якщо R≥0,7, то така модель достатньо повно відображає вплив цих факторів (оскільки k_d = R²≥0,49, що свідчить про те, що більше 49% змінності у обумовлено саме включеними у модель змінними x_j.

При R<0,7 можна стверджувати, що модель є неповною недостатньо характеризує вплив збурень х_j(j=1..к), що мають місце, на відгук у. Це означає, що деякі важливі і значущі фактори не включені до моделі).

Визначення тісноти зв'язку в регресійному аналізі можливо також із застосуванням так званого критерію Фішера, який визначається за допомогою формули [16]:

(2.20)

де n - кількість даних, що використовується при одержанні рівняння регресії;

m - кількість статистичних характеристик даних експерименту, що застосовуються при визначенні рівняння регресії; а - характеристик рівня неістотності кореляційного зв'язку (зазвичай приймають а =0,05).

Після розрахунку F^е воно порівнюється з критичним значенням наводиться в таблицях значень F-критерію вбудь-якій літературі по статистиці (наприклад в [16]). Якщо , то вважається, що кореляційний зв'язок між змінними в рівнянні регресії є істотним.