Антонов - Прикладная механика - 2004

41

способность материала к поперечным деформациям, µ - упругая константа материала; 0 ≤ µ ≤0,5 .

Для сталей разных марок µ = 0,25 - 0,33; для меди и ее сплавов µ = 0,31 - 0,34; для каучука и резины µ = 0,47 .

В некоторых книгах коэффициент Пуассона обозначают через ν.

3. 3. Напряжения в наклонных сечениях

Напряженное состояние в точке - это совокупность напряжений для всего множества площадок, проходящих через рассматриваемую

точку. Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня σ = ΝΑ

считаем известным.

Рассмотрим наклонное сечение ВС (рис.3.З,а): n BC; α=σn,n .

Рис. 3.3

За положительное направление отсчетов угла α примем направ-

ление, противоположное ходу вращения часовой стрелки. Применяем метод сечений (рис.3.3,б). Проецируем силы на направление σα:

						42
		σα Aα −σ Acosα = 0 ,
	используя соотношение	Aα =	A	, получим σα	A	−σ Acosα = 0,
			cosα
					cosα

откуда

σα =σ cos2 α .

Проецируя силы на направление τα:получим

τα = 0,5 σsinα

Знак τ. Из полученных зависимостей видно, что при 0 ≤ α ≤ 90 σ и τ положительны. Из этого следует правило знаков для касательных напряжений τ: если нормаль (n) поворачивать по ходу часовой стрелки до совпадения с τ, то τ берется со знаком плюс.

Значения σ и τ при различных углах наклона α:

α = 0	σα = σmах = σ τα = 0
α = 90˚ σα = 0		τα = 0
α = 45°	σα = σ/2	τα = τmax = σ/2

Главные площадки и напряжения. Площадки, на которых каса-

тельное напряжение τ отсутствует (τ = 0), называются главными, а нор-

мальные напряжения главными напряжениями.

Нормальное напряжение при одноосном растяжении, действующее в поперечном сечении бруса, является главным напряжением.

43

Закон парности касательных напряжений. Рассмотрим касатель-

ные напряжения τ, действующие на двух взаимно перпендикулярных площадках (рис. 3.4).

Рис. 3.4

τα + π/2 = (σ/2) · sin2(α + π/2) = – (σ/2)sin2α,

следовательно, τα = – τα + π/2 На двух взаимно перпендикулярных площадках - гранях элемен-

тарного объема действуют равные по величине и обратные по знаку касательные напряжения. Такое равенство называют законом парности касательных напряжений. Следует отметить, что нормальные напряжения на противоположных гранях всегда равны между собой по условию равновесия элементарного объема.

3.4. Определение деформаций и перемещений

при растяжении-сжатии

44

Пусть стержень нагружен продольной силой Р (рис.3.5). Применяем метод сечений, и из условия равновесия любой отсеченной части стержня вытекает:

N1=N2=P.

Рис. 3.5

Построим график изменения силы N вдоль оси стержня, называемый эпюрой N , которая показана на рис.3.5.первой сверху.

Для того чтобы получить эпюру напряжений σ (рис.3.5), надо ординаты эпюры N поделить на площадь поперечного сечения бруса

σ1 = P A1 ; σ2 = P A2 σ1 = P A1 ; σ2 = P A2 .

Перемещение ∆ в точке А (в заделке) равно нулю. Перемещение Z2-го сечения равно удлинению отрезка длиной Z2. Тогда для участка 2

45

∆

=

Ν2 z2

( 0 ≤ z

≤l

) ;

2

Ε A

2

2

2

при z2 = 0, ∆2 = 0,

при z2 = l2

∆2 =

σ2l2

;

Ε

для участка 1

∆1 = ∆2 +

Ν1 Z = ∆

2 +σ1 (Z1 −l2 )

l2 ≤ Z1 ≤ (l2 +l1 ) ;

Ε A

Ε

1

при z1 =l2

∆1 = ∆2 ,

при z = (l

2

+ l )

∆ = ∆

2

+

σ1 l1

.

1

1

1

Ε

Зависимость перемещения (эпюра) от z будет линейной (рис.3.5). Наибольшее перемещение имеет торцевое сечение (точка С).

∆ = ∆ + ∆		=	Ν1 l1	+	Ν2 l2
1	2		Ε Α		Ε Α	2
			1

и в общем случае

∆ = ∑∆li = ∑ΕΝi i Αlii ..

Определив напряжение в опасном сечении z1 (рис.3.5) растянутого стержня, можно произвести оценку прочности стержня. Для этого необходимо фактическое напряжение σ в опасном сечении стержня сопоставить с допускаемым [σ].

σ = ΝΑ ≤[σ];

[σ]= σnП ,

где σп – предельное напряжение материала, при котором появляются остаточные деформация или возникает разрушение, n – коэффициент запа-

46

са прочности (нормативный коэффициент запаса прочности, т.е. предписываемый нормами проектирования конструкции).

Пользуясь вышепредставленным неравенством, можно решать следующие задачи:

1.Проверить прочность стержня: σmax ≤ [σ].

2.Определить размеры поперечного сечения стержня из условия

−

RB l3

−

RB l2

−

RB l1

+

F l1

+

F l2

= 0 , Α ≥

Ν

;

Ε Α3

Ε Α2

Ε Α1

Ε Α1

Ε Α2

[σ]

3. Определить допускаемую продольную силу

[Ν]≤ Α [σ].

3.5.Статически неопределимые системы

Вранее рассмотренных задачах опорные реакции или нормальные силы в поперечных сечениях были определены с помощью уравнений статики, т.е. число уравнений статики равнялось числу неизвестных сил. Такие системы называются статически определимыми.

Однако на практике встречаются системы, в которых число неизвестных реакций превышает число независимых уравнений статики. Такие системы называются статически неопределимыми. Разность между числом неизвестных реакций связей и числом независимых уравнений равновесия (статики) называют степенью статической неопределимости.

47

Рис. 3.6

На рис.3.6. для определения двух реакций, возникающих в заделках, можно использовать только одно уравнение равновесия: равенство нулю суммы проекций всех сил на ось Z.

-Rc + F – RB = 0; Rc + RB= F.

Такая задача является один раз статически неопределимой. Для нее требуется составление одного дополнительного уравнения совместности деформаций для эквивалентной системы, показанной на рис. 3.6. Эквивалентная система получается из заданной в результате отбрасывания одной из двух заделок. Также один раз статически неопределимой является стержневая система, показанная на рис. 3.7. Она является статически определимой системой. Для раскрытия статической неопределимости требуется составление двух дополнительных уравнений совместности деформаций.

48

Рис. 3.7

На рис. 3.8. приведен другой пример дважды статически неопределимой стержневой системы.

Рис. 3.8.

Для решения задачи, изображенной на рис. 3.6, отбросим правую заделку, заменив ее действие на стержень неизвестной реакцией. В полученной системе (ее называют эквивалентной ) приравняем к нулю перемещение сечения В, так как это сечение по условию закрепления пе-

49

ремещаться не может. Применяя принцип независимости действия сил, можно записать

−

RB l3

−

RB l2

−

RB l1

+

F l1

+

F l2

= 0 .

Ε Α

Ε Α

3

2

Ε Α Ε Α Ε Α

2

1

1

Из этого уравнения находим RB, а затем из уравнения равновесия

— Rc. Таким образом, для раскрытия статической неопределимости необходимы дополнительные уравнения, отражающие особенности геометрических связей, которые называют уравнениями совместности деформаций. Рассмотренный метод решения, когда за неизвестные принимают усилия в отброшенных связях, называют методом с ил.

3.6.Температурные и монтажные напряжения

Встатически определимых системах при изменении температуры возникают деформации без внутренних усилий (рис.3.9,а).

Рис. 3.9

50

В статически неопределимых системах изменение температуры вызывает внутренние усилия и напряжения (рис.3.9, б, в), которые назы-

вают температурными напряжениями.

Поскольку перемещение крайнего правого сечения В равно нулю

			∆в = f (R, ∆T) = 0,
	тогда
	−	RB l	+α l ∆T = 0 RB = E·A·α·∆T
		EA

В общем случае для ступенчатого стержня, состоящего из "n" уча-

стков

	n	L	n
	N1 = N2 cos2 α R = ∑	i	= ∑(αL∆T )i
		EAi
	i=1		i=1

(где R – неизвестная реакция в одной из заделок), т.е. удлинение стержня от температуры должно быть равно его укорочению от силы R (при охлаждении стержня – наоборот). Температурные напряжения могут быть весьма велики. Для их уменьшения в конструкциях предусматривают температурные зазоры либо специальные компенсаторы.

Кроме температурных напряжений в статически неопределимых системах возникают напряжения при монтаже конструкции из-за неточности изготовления деталей (монтажные напряжения). Пусть, например, ступенчатый стержень поступил на сборку с некоторым зазором ∆ из-за неточности изготовления (рис. 3.10). Тогда придется растянуть этот стержень и прикрепить его к заделке. Растягивающая сила, необходимая для ликвидации зазора, определится из соотношения:

Pl1	+	Pl2	= ∆ ; P =	2EA∆			.
2EA		EA		l	+ 2l	2
				1