Антонов - Прикладная механика - 2004

71

где коэффициентом пропорциональности является величина

G = 2(1E+ µ)

получившая название модуля упругости второго рода, иди модуля сдви-

га. Для стали модуль сдвига G = 2 105 /(2(1+0, 3)) МПа ≈ 80 ГПа=8 104

МПа.

5.4. Потенциальная энергия при сдвиге

Выполняя выкладки, аналогичные выводу формулы потенциальной энерги при растяжении-сжатии, получим выражение потенциальной энергии при сдвиге.

При действии сдвиговых касательных напряжений в деформируемом теле происходит накопление потенциальной энергии, которая в случае отсутствия потерь равна работе, совершаемой сдвигающими силами. Подсчитаем величину удельной (отнесенной к единице объема) потенциальной энергии, рассмотрев происходящее при сдвиге изменение формы прямоугольного элементарного объема с размерами dx, dy, dz

(рис. 5.6).

Рис. 5.6

72

При условно неподвижной нижней грани смещающая верхняя сила τdxdz: совершит работу на перемещении ∆S, paвнyю (τ/2)γdxdydz. Коэффициент 1/2 появляется вследствие того, что сила не является постоянной, а меняется пропорционально смещению от нулевого значения. Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе при отсутствии потерь будет равна dw =(I/2)τγdxdydz.

Удельная потенциальная энергия при сдвиге будет равна соответ-

ственно u = dw/dV= (1/2)τγ, где dV=dxdydz- объем элементарного параллелепипеда

Используя закон Гука при сдвиге, получим, что

u = τ² /(2G),

где τ - касательное напряжение, G— модуль сдвига, МПа.

Графическое представление о накоплении потенциальной энергии при сдвиге дает диаграмма сдвига, которая аналогичная диаграмме рас- тяжения-сжатия, но построенная в отличие от неё в координатах τ, γ, (рис. 7.7).

Рис.5.7

73

Удельная потенциальная энергия при сдвиге равна площади тре-

угольника, заключенного между диаграммой и горизонтальной осью γ, т.е. половине произведения τγ.

Размерность удельной потенциальной энергии

[τγ] = [Н/м2] = [Нм/м3] = [Дж/м3]

Размерность удельной потенциальной энергии совпадает с размерностью напряжения и характеризует величину энергии, запасенной в единице объема материала.

74

6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ФИГУР

6.1. Назначение геометрических характеристик

Деформации и напряжения в брусе при заданных нагрузках существенно зависят от размеров и формы его поперечных сечений. Поэтому во всех расчетных формулах для напряжений и деформаций обязательно присутствуют параметры, которые являются геометрическими характеристиками этих сечений.

Отметим, что при одноосном растяжении-сжатии такой геометрической характеристикой является площадь сечения. В соответствии с теорией изгиба и кручения, которые будут изложены далее, в них используются более сложные геометрические характеристики, учитывающие не только площадь, но и форму сечения.

Геометрические характеристики сечений, которые представляют собой плоские фигуры, находят важное применение в таких разделах сопротивления материалов, как изгиб, включая расчеты на прочность и определение перемещений различными методами, кручение (расчеты на прочность и определение углов поворота), продольный изгиб и др.

Рассмотрим некоторое плоское поперечное сечение бруса (рис.6.1) Введем систему координат хоу. Выделим в этом сечении элементарный прямоугольник площадью dA = dxdy, произвольное положение которого определяется текущими координатами х и у или координатами х1 и у1, смещенными параллельно на расстояния а и b., а также радиусом векто-

ром ρ, проведенным из начала координат. Для определения геометрических характеристик осесимметричных плоских фигур используют полярную систему координат.

y	y1
y
b

75

A

x1

x x

Рис. 6.1

Площадь этого сечения: А = ∫∫dxdy = ∫dA .

A

6.2. Статические моменты

Величины, определяемые нижеследующими интегралами, называются:

Sx = ∫ ydA – статическим моментом сечения относительно оси х;

A

Sy = ∫ ydA – статическим моментом сечения относительно оси у;

A

Аналогичным образом рассчитывают моменты инерции относительно осей х1 и у1.

Размерность статических моментов - [м³].

При параллельном переносе осей (x1 = x – a; у1 = y – b) статические моменты определяются следующими выражениями:

Sx = ∫ y1dA = ∫(y −b)dA = ∫ ydA −b∫dA = Sx −bA;

A A A A

76

Sx = ∫x1dA = ∫(x −a)dA = ∫xdA −a∫dA = Sy −aA.

A A A A

Ось, относительно которой статический момент равен нулю, на-

зывается центральной.

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения (ц. т.):

Sx1 = 0: Sx – bA = 0 → yс = b = Sx/A;

координаты ц. т. сече-

ния

Sy1 = 0: Sy – aA = 0 → xс = a = Sy/A .

Основные свойства статических моментов.

1.Если сечение имеет ось симметрии, то статический момент сечения относительно оси симметрии равен нулю и ось симметрии всегда проходит через ц.т. сечения.

2.Если сечение можно представить совокупностью простых фигур (например, прямоугольников), для которых известны площади Аi и положения ц.т. (xi, yi) то:

Sx = ∑yiAi ; Sy = ∑xiAi

i i

(рис. 6.2), и координаты центра тяжести всего сечения определяются формулами:

xc = Sy/A = ∑xi A/∑Ai

77

Рис. 6.2

и

yc = Sx/A = ∑yiAi/∑Ai

где х1 и у1 – координаты центров тяжести отдельных фигур (точки С1, С2

и С3).

6.3. Моменты инерции сечения

Величины, определяемые нижеследующими интегралами, называются:

Ιx = ∫ y2d Α – осевым моментом инерции сечения относительно оси х;

A

Ιx = ∫ y2d Α – осевым моментом инерции сечения относительно оси у;

A

Ixy = ∫xydA – центробежным моментом инерции сечения относительно

A

осей х и у;

78

Ip = ∫ p2d Α – полярным моментом инерции сеченияотносительно центра О

A

Размерность моментов инерции равна [м4].

При параллельном переносе осей (х1=х - а; y1 = y - b) моменты инерции определяются следующими выражениями:

Ix 1 = ∫ y1 2 d Α = ∫(y − b)2 d Α = ∫ y 2 d Α − 2b∫ yd Α+ b2 ∫d Α = Ix − 2bSx + b2 A

A A A A A

аналогично

Iy1 = Iy −2aSy +a2 A;

Ix1 y1 = ∫x1 y1dA = ∫(x −a)(y −b)dA = ∫(xy −ay −by +ab)dA = Ixy −aSx −bSy +abA

A A A

Если оси х и у - центральные, то Sx = 0 и Sу=0, и тогда:

Ix1=Ix+b2A, Iy1=Iy+a2A, Ix1y1=Ixy+abA.

6.4.Основные свойства моментов инерции

1.Осевые и полярный моменты инерции являются величинами всегда положительными (Iх>0 Iу>0, Iρ>0 ), центробежный момент инерции - величина знакопеременная ( Ixy> <0 ).

2.Так как

ρ² = х² + у²,

то

Ip = ∫(x2 + y2 )dA = Ix + Iy .

A

3. Сумма осевых моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте:

79

так как ρ = const, то

Iρ = Ix + Iy = const.

Если при повороте осей один из осевых моментов инерции достигает своего максимального значения, то другой момент инерции принимает минимальное значение;

4. Если одна из осей х или у или обе одновременно являются осями симметрии, то относительно этих осей центробежный момент инерции равен нулю.

5. Если сечение можно представить совокупностью простых фи-

гур: A = ∑Ai (рис 6.2), то моменты инерции сечения равны сумме мо-

i

ментов инерции ее составных фигур.c учетом смещения их осей относительно центральных осей сечения в целом:

Ix c =∑[Ixi + Ai (yi – yc)2];

Iy c = ∑[Iyi + Ai (xi - xc)2].

6.5. Главные оси инерции и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют-

ся главными центральными осями.

Осевые моменты инерции относительно главных осей называются

главными моментами инерции.

80

Расчетная величина ix=(Ix/A)1/2 - называется радиусом инерции сечения относительно оси х, и соответственно iy = (Iy/A)1/2 - радиусом инерции сечения относительно оси у.

6.6 Геометрические характеристики простейших фигур

Вычислим далее моменты инерции простейших фигур, которые наиболее часто встречаются в расчетах на прочность.

1. Прямоугольное сечение (рис. 6.3). Введем центральные оси х и у, которые являются осями симметрии.

Рис. 6.3

Для этой фигуры

dA = bdy; A = bh;

h / 2	y2bdy = bh	3		Iy = h b	3	h		b
Ix = ∫			;		; ix =		; iy =		.
						2 1.732		2 1.732
−h / 2	12			12