Лекции - Казанцев - 1998 / САУ - Гл. 6-6.1.1, с.33-40,отред

40

6. Математические модели базовых элементов САУ

Составление корректных ММ объектов управления является

важнейшим этапом задач синтеза и анализа любой САУ. Поскольку ОУ может быть сложным, многомерным целесообразно описывать его поэлементно, максимально унифицируя форму математического описания. В практике проектирования сложилось правило: не пытаться описывать весь объект автоматизации в целом, а составлять математические модели его подобъектов управления (его частей), предполагая, что вся САУ имеет только автономные каналы управления () - один вход и один выход.

При этом, учет взаимных (перекрестных) связей в ОУ следует осуществлять только на этапе анализа. Проблемы и методы структурной декомпозиции сложных ОУ рассмотрены в / 2, 3 /.

Ниже рассмотрены ММ ряда элементов САУ на основе применения операторных и временных методов описания систем, которые могут рассматриваться как простейшие элементы САПР.

6.1. Математические модели силовых электромеханических

модулей

Силовые электромеханические модули составляют основу современного силового электрооборудования, обеспечивающего преобразование электрической энергии силовой электросети в механическую энергию движения исполнительных механизмов объекта управления. К ним относятся электродвигатели постоянного и переменного тока, управляемые с помощью силовых тиристорных, симисторных, транзисторных, электромашинных преобразователей энергии. Ниже приведена методология составления ММ силовых электромеханических модулей на основе электроприводов постоянного тока.

6.1.1. Математические модели электродвигателей

Для описания любого объекта управления, прежде всего, необходимо технически грамотно (рационально) выделить его из окружающей среды. Электродвигатели как управляемые подсистемы достаточно хорошо изучены и проблемы выделения их из окружающей среды при наличии “жесткой” питающей электросети не существует.

Далее для составления ММ следует избрать математический аппарат.

Будем применять три наиболее распространенные формы математического описания динамических ОУ:

1. с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

или разностных уравнений и соответствующих схем замещения;

2. с помощью передаточных функций ( W(p) - для непрерывных

систем, D(z) – для дискретных систем) и соответствующих структурных схем;

3. с помощью векторно-матричных уравнений и схем пространства

состояний.

На рис. 6.1 приведены принципиальная схема (а) и схема замещения

двигателя постоянного тока (б), питаемого по цепи якоря от силового управляемого преобразователя.

Обозначения:

- ЭДС силового управляемого преобразователя энергии,

U_я - напряжение на якоре двигателя;

U_в - напряжение на обмотке возбуждения двигателя (U_в= const);

е_д - э.д.с. двигателя;

i_я - ток якоря;

- сопротивление якорной цепи, где 1,24 - коэффициент приведения к рабочей температуре ;

R_щк - сопротивление щеточного контакта;

R_СД - активное сопротивление сглаживающего дросселя, позволяющего снизить пульсации тока и напряжения и существенно уменьшить зону прерывистого тока;

- сопротивление уравнительных реакторов при питании двигателя либо от нереверсивного тиристорного преобразователя с бесконтактным коммутатором, либо от реверсивного при совместном управлении.

R_ко, R_ДП - активные сопротивления компенсационной обмотки и дополнительных полюсов;

L _яц - индуктивность якорной цепи;

где U_ян , i_ян , _н - номинальные параметры двигателя;

p - число пар полюсов;

 = 0,2 - 0,3 - для двигателей без компенсационной обмотки;  = 0,5 - 0,6 - для двигателей c компенсационной обмоткой.

Заметим, что питание электродвигателя целесообразно рассматривать относительно ЭДС силового преобразователя , а не напряжения на якоре, так как параметры силового преобразователя входят в состав одной и той же якорной цепи. Поэтому введем следующие эквивалентные величины:

.

Перейдем от схемы замещения к дифференциальным и алгебраическим уравнениям:

,

,

,

,

,

где - коэффициент передачи двигателя,

J_дв , J_мех , J_пр - моменты инерции двигателя, механизма и момент инерции электропривода, приведенный к валу двигателя,

I_р - коэффициент передачи редуктора электропривода;

- эквивалентная электромагнитная постоянная времени.

Преобразуем эти уравнения к форме Коши:

Таким образом, ММ электродвигателя постоянного тока, управляемого по цепи якоря, представляет собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка.

Для перехода к операторной форме описания электродвигателя и

соответствующей структурной схеме сделаем замену: .

Структурная схема ДПТ, регулируемого по цепи якоря, приведена на рис. 6.2.

Модуль (1) определяет динамические процессы в цепи якоря двигателя.

Модуль (2) определяет динамические процессы в механической части электропривода. Этот модуль иногда представляют иначе с использованием выражения для электромеханической постоянной времени: .

В торой модуль с учетом будет иметь вид, представленный на рис. 6.3.

Рассмотрим ММ электродвигателя с двухзонным регулированием, т.е. регулируемого по цепям якоря и возбуждения.

Приведем схему замещения цепи возбуждения (рис. 6.4). В качестве источника энергии используется чаще всего тиристорный возбудитель, реже - электромашинный преобразователь.

Эквивалентные параметры цепи возбуждения:

,

,

;

.

Тогда динамика контура тока возбуждения будет описываться уравнением

.

Заметим, что в цепи возбуждения может иметь место насыщение магнитной цепи, т.к. магнитный поток является нелинейной функцией тока возбуждения или намагничивающей силы (рис. 6.5).

Поток Ф_в нельзя увеличивать свыше номинального значения, т.к. происходит насыщение магнитной цепи. Во второй зоне регулирования поток ослабляют в 1,5 – 3 раза, но не более, т.к. при этом электромагнитный момент существенно уменьшается. С учетом приведенных выше соотношений структурная схема электродвигателя постоянного тока с двухзонным регулированием показана на рис. 6.6.

Как видим, структурная схема двигателя содержит два блока произведения - (6) и (7), а следовательно, даже при условии пренебрежения насыщением стали двигателя ММ электродвигателя является нелинейной.

Часто эту нелинейную модель ДПТ линеаризуют в некоторой рабочей точке или вдоль некоторой траектории. В частности, для т. А (см. рис. 6.5) процедура линеаризации будет следующей.

1

Рис. 6.6. Структурная схема электродвигателя постоянного тока,

регулируемого по цепям якоря и возуждения

. Линеаризация блока (5) постоянным коэффициентом передачи:

где - тангенс угла наклона касательной в точке А.

Можно выразить еще проще:

.

2. Линеаризация блока (7) через приращения координат:

,

,

.

3.Линеаризация блока (6) через приращения координат: .

Для более детального изучения вопроса линеаризации см. /3/.

Математическая модель ДПТ в векторно-матричной форме может

быть представлена в виде:

где (1) - описывает изменение переменных состояния при изменении управляющих и возмущающих воздействий, а также в зависимости от начальных значений вектора сотояния;

(2) - это уравнение выхода, связывает выходные технологические

координаты Y(t) с переменными состояния X(t).

Во-первых, составляем векторы:

;

;

принимаем const.

Во-вторых, используя ММ электропривода постоянного тока в форме Коши, составляем матрицы:

- матрица состояния,

- матрица управления,

- матрица возмущения.

В-третьих, зададимся, что в данном случае является выходной технологической координатой (пусть это будет линейная скорость перемещения рабочего органа):

; - линейная скорость.

, , где - радиус приведения.

Тогда

- матрица выхода.

Все вышеизложенное относится к линейным моделям ОУ. Если модель ОУ содержит нелинейности, т. е. система обыкновенных дифференциальных уравнений является нелинейной, то применение векторно-матричного метода предполагает использование специальных приемов для описания соответствующих нелинейностей (применение двух матриц, применение фиксированных векторов и т.п., см. /4.5/).