1.4. Понятие поверхности
Поверхность опишем при помощи радиус-вектора
соединяющего произвольный фиксированный центр и точку, принадлежащую поверхности.
Поверхность задается в областинекоторойчисловойплоскости, на которой выбраны декартовы координаты
Поверхность называется простой, если каждой точке заданной области соответствует особая точка поверхности.
Поверхность называется регулярной, если у каждой ее точки есть окрестность, являющаяся простой поверхностью, и в этой точке векторная функция
непрерывнодифференцируема и
Т. к. между точками заданной областии точками регулярной поверхности имеется взаимно однозначное соответствие, то пару чисел
можно также рассматривать, как координаты точки на регулярной поверхности.
Кривые
называются координатными линиями на регулярной поверхности, которые образуют два семейства регулярных кривых.
Векторы
определяют касательные к соответствующим координатным линиям, а условие
означает, что касательные всегда существуют и пересекаются под углом, отличным от 0 и 180.
Плоскостью, касательной к регулярной поверхности в заданной точке, называется плоскость, касательная ко всем регулярным кривым, лежащим на поверхности и проходящим через точку.
Теорема: в каждой точке регулярной поверхности существует касательная плоскость, совпадающая с плоскостью, проходящей через векторы
Доказательство.
Пусть произвольная регулярная кривая, проходящая через фиксированную точку поверхности, задана уравнением
Продифференцируемэтовекторноеравенство:
Вектор
определяет касательную к регулярной кривой, и он раскладывается по двум направлениям
Поэтому касательная к регулярной кривой лежит в плоскости, проходящей через векторы
Теорема доказана.
1.5. Квадратичные формырегулярнойповерхности
Положение касательной плоскости удобно характеризовать с помощью единичного вектора
перпендикулярного к этой плоскости.
При этом вектор
называют нормалью регулярной поверхности.
Первой квадратичной формой регулярной поверхности называют квадрат полного дифференциала векторной функции, определяющей поверхность:
Первая квадратичная форма регулярной поверхности определяется особыми коэффициентами:
Если регулярная поверхность задана графиком
то
Определим длину регулярной кривой
на регулярной поверхности:
Говорят, что первая квадратичная форма задает метрику регулярной поверхности.
Направлением
в заданной точке регулярной поверхности
называется направление вектора
Угол между направлениями
называется угол между соответствующими векторами
Определим этот угол:
Направление регулярной кривой на регулярной поверхности в заданной точке – это направление вектора, касательного к кривой в точке.
Угол между регулярными кривыми на регулярной поверхности в заданной точке – это угол между направлениями кривых в точке.
Угол между координатными линиями регулярной поверхности
Координатная сеть на регулярной поверхности будет ортогональна, если
Площадьрегулярнойповерхности
Второй квадратичной формой регулярной поверхности называется взятое со знаком «-» скалярное произведение полного дифференциала векторной функции, определяющей поверхность, на полный дифференциал нормали поверхности:
Вторая квадратичная форма регулярной поверхности определяется своими коэффициентами:
Другой способ определения коэффициентов второй квадратичной формы:
Если регулярная поверхность задана графиком
то
