lomakina-a

вой части этого выражения, т.е. равна частной производной от ri по координате q j :

∂ϑi

∂

.

=

ri

(26)

∂q j

∂q j

&

Кинетическая энергия механической системы, как известно, оп-

ределяется по формуле

n

2

n

T = ∑

mi ϑi

=

1

∑mi

i

i .

(27)

ϑ

ϑ

i=1

2

2 i=1

Из выражения (24) следует, что вектор скорости точки ϑi в слу-

чае голономных нестационарных связей является функцией обобщён-

ных координат, содержащихся в выражениях ∂ri , обобщённых ско-

∂q j

ростей и времени. Поэтому кинетическая энергия механической системы является функцией тех же переменных:

&

&

&

(28)

T = T (q1, q2 , ..., qs , q1, q2

, ..., qs , t ).

Найдём частные производные от кинетической энергии по обоб-

щённой координате

q j и обобщённой скорости

&

дифференцируя

q j ,

выражение (27) как сложную функцию:

∂T = ∑mi ϑi

∂ϑ

i ; ∂T

= ∑mi ϑi

∂ϑ

i .

n

n

∂q j

i=1

&

i=1

&

∂q j ∂q j

∂q j

Преобразуем последнее выражение на основании равенства (26):

∂T = ∑mi ϑi

∂ri .

n

&

i=1

∂q j

∂q j

Продифференцируем это выражение по времени:

∂T

d n

∂

n

d

∂

n

∂

d

ϑ

d

r

r

r

i

i

i

i

&

=

∑mi

ϑi

= ∑mi

dt ∂q j

+ ∑mi ϑi

. (29)

dt

∂q j

dt i=1

∂q j i=1

i=1

dt

∂q j

Рассмотрим две суммы, входящие в правую часть полученного равенства (29), учитывая, что для несвободной материальной точки miai = Fi + Ri .

n

n

n

dϑi

∂ri

∂ri

∂ri

∑mi

= ∑mi

= ∑(

+

)

= Q j + Q Rj .

i

Fi

Ri

a

dt

∂q

∂q

i=1

j

i=1

j

i=1

∂q

j

19

Для установления значения второй суммы рассмотрим выражение

d		∂
			r
			i		.
		∂q
dt
				j

	∂
Частная производная		ri		является функцией тех же переменных,
	∂q		j

от которых, согласно (23), зависит радиус-вектор точки ri . Дифферен-

∂

цируем

ri

как сложную функцию времени:

∂q

j

d

∂

∂2

∂2

∂2

∂2

r

r

r

r

r

i

i

&

i

&

i

&

i

dt

∂q

= ∂q

∂q

+ ∂q

∂q

∂q

∂q

∂t .

(30)

j

q1

2

q2 + ... + ∂q

qs +

j

1

j

j

s

j

Найдём частную производную

∂ϑ

i

,

дифференцируя по q j

вы-

∂q j

ражение (24):

∂2

∂2

∂2

∂2

∂ϑ

=

r

+

r

+ ... +

r

+

r

i

i

&

i

&

i

&

i

.

(31)

∂q j

∂q j ∂q1

∂q j∂q2

∂q j∂qs

∂q j

∂t

Правые части выражений (30) и (31) отличаются только последовательностью дифференцирования, которая при непрерывных функци-

ях не имеет значения; следовательно,
	d		∂
								∂ϑ
				r
				i			=			i	.
			∂q					∂q
	dt									j
					j

Пользуясь этой зависимостью, преобразуем вторую сумму в правой части равенства (29):

n

d

∂

n

∂T

∂ϑ

r

∑mi ϑi

= ∑mi ϑi

i

i

=

.

∂q

∂q

∂q

i=1

dt

i=1

j

j

j

Подставляем найденные значения обеих сумм в равенство (29) и рассматриваем механическую систему со стационарными идеальными

связями, для которых QR = 0 .

j

d

∂T

∂T

= Q j +

,

dt

&

∂q j

∂q j

или

d

∂T

∂T

( j = 1, 2, ..., s) .

&

−

∂q j

= Q j

(32)

dt

∂q j

20

Систему s дифференциальных уравнений (32) называют уравнениями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщённых координат системы q1, q2 , ..., qs . Интегрируя эти дифферен-

циальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщённых координатах, причём число уравнений равно числу степеней свободы:

q j = q j (t ) ( j = 1, 2, ..., s).

Если силы, действующие на материальную систему, потенциальные, то в соответствии с формулой (13) уравнения (32) можно перепи-

сать в виде

d

∂T

∂T

∂П

−

= −

( j = 1, 2, ..., s).

&

∂q j

∂q j

dt

∂q j

Если теперь ввести в рассмотрение функцию Лагранжа L = T – П

и учесть, что

∂П

≡ 0 , то получим

∂q j

d

∂L

∂L

−

= 0 ( j = 1, 2, ..., s).

(33)

dt

&

∂q j

∂q j

Уравнения (33) являются уравнениями Лагранжа второго рода для случая потенциальных сил.

Прежде чем рассмотреть пример на составление уравнений Лагранжа, сделаем несколько рекомендаций, вытекающих непосредственно из самой формы уравнений (32) и способа введения обобщённых координат.

Для составления уравнений Лагранжа второго рода нужно:

1)изобразить на чертеже все активные силы, действующие на систему; реакции идеальных связей изображать не следует; если имеются силы трения, то их следует присоединить к активным силам;

2)определить число степеней свободы и ввести обобщённые координаты;

3)вычислить кинетическую энергию системы, выразив её через обобщённые координаты и скорости;

4)определить потенциальную энергию системы, если силы потенциальные;

5)найти обобщённые силы системы;

6)выполнить указанные в уравнениях Лагранжа (29) или (30) действия.

Уравнения Лагранжа второго рода сыграли решающую роль в развитии динамики системы и широко используются для решения многих задач механики.

21

Пример.

Тонкий однородный стержень длиной l имеет на концах ползуны A и B, которые скользят под действием силы тяжести стержня по направляющим OD и OE. Направляющие образуют прямой угол DOE, расположенный в вертикальной плоскости (рис. 10). Пренебрегая массой ползунов и силами трения, составить дифференциальное уравнение движения стержня и найти его угло-

вую скорость, если направляющая OE горизон- Рис. 10 тальна.

Решение.

Стержень имеет одну степень свободы, его положение будем определять одной обобщённой координатой – углом ϕ . На рис. 9 изображе-

на только активная сила – сила тяжести mg ; реакции опор N А, NB изо-

бражать не следует, так как они не войдут в уравнение Лагранжа. Кинетическую энергию T стержня вычислим по теореме Кенига

1

2

1

&

2

T =

2 mϑC

+

2 IC

ϕ

,

где m – масса стержня; ϑ –

скорость его центра масс C; I

=

1

ml2

–

C

C

2

момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку C перпендикулярно к плоскости движения.

Для вычисления скорости центра масс C найдём его координаты:

x =	1	l sin ϕ , y		=	1	l cos ϕ .
			C
C	2			2

Дифференцируя по времени, получим

&	=	1	&	&	=	1	&
xC		2	lϕcos ϕ ,	yC		2	lϕsin ϕ .

Отсюда

ϑC2 = x&C2 + y&C2 = 1 l 2ϕ& 2 . 4

Внося значения для ϑC2 и IC в выражение для кинетической энергии стержня, найдём

T =	1	m	l 2	& 2	+	1 1			ml	2 &	2	или T =	1	ml	2 & 2	.
	2		4	ϕ		2 12				ϕ			6		ϕ

Перейдем к вычислению обобщённой силы. Для этого найдем выражение потенциальной энергии системы, считая, что при горизонтальном положении стержня она принимает нулевое значение:

П= 1 mgl cos ϕ . 2

22

Пользуясь формулой (13), определим обобщённую силу, соответствующую обобщённой координате ϕ :

Q = − ∂П = 1 mgl sin ϕ . ∂ϕ 2

Уравнения Лагранжа имеют вид

d∂T − ∂T =

Q . dt ∂ϕ& ∂ϕ

Имеем

∂T

=

1

2 &

d

∂T

=

d 1

2

&

=

1

2&&

ml

ml

ml

ϕ ,

ϕ

ϕ .

&

3

&

dt

3

3

∂ϕ

dt

∂ϕ

Так как кинетическая энергия T от угла ϕ не зависит, то

Внося полученные выражения в уравнение Лагранжа, получим

1		2&&	1	&&	3g
	ml					sin ϕ .
3		ϕ =	3	mgl sin ϕ или ϕ =
					2l

∂T = 0 .

∂ϕ

(34)

Это есть дифференциальное уравнение движения стержня, полученное вторым методом Лагранжа.

Найдём обобщённую скорость ϕ& . Для этого умножим обе части

уравнения (34) на dϕ :

&&

3g

sin ϕdϕ .

ϕdϕ =

2l

Имеем

&

dϕ

& 2

&&

dϕ

&

& &

ϕ

ϕdϕ =

dϕ = dϕ

= ϕdϕ = d

2

.

dt

dt

Теперь дифференциальное уравнение принимает вид

& 2

3g

d

ϕ

= −

d cos

ϕ .

2

2l

Интегрируя и умножая обе части уравнения на 2, найдём

&

2

g

= −3

cos ϕ + C .

ϕ

l

Пусть стержень начинает движение из состояния покоя, составляя с

вертикалью в начальный момент угол ϕ0 .

&

и,

Тогда при ϕ = ϕ0 ϕ = 0

следовательно, C = 3 g cos ϕ0 . Подставляя это значение для C в послед- l

нее равенство, найдём угловую скорость стержня в функции от угла ϕ :

ϕ& 2 = 3 g (cos ϕ0 − cos ϕ). l

23

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики / С.М. Тарг. –

М. : Наука, 1995.

2.Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – М. : Наука, 1985. – Т. 2.

3.Гернет, М.М. Курс теоретической механики / М.М. Гернет. – М. : Высшая школа, 1987.

4.Голубев, Ю.Ф. Основы теоретической механики / Ю.Ф. Голубев. – М. : Изд-во МГУ, 2000.

24