08M028

МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра теоретической механики

Утверждаю Зав. кафедрой профессор

___________ В.Б.Борисевич ”___” ____________2007 г.

С.Г. БАБЕНКОВА, Б.Е. ЕРМАКОВ

Использование принципа Даламбера при расчете дорожно-строительных машин

методические указания для студентов, изучающих курс

“Теоретическая механика”

МОСКВА 2007

УДК 531

ББК 22.21

Б.Е. Ермаков, С.Г. Бабенкова. Использование принципа Даламбера при расчете дорожно-строительных машин: Методическое пособие/

МАДИ (ГТУ). – М., 2008.-27с.

Колесная или гусеничная машина движется без скольжения по гладкой горизонтальной или наклонной поверхности ускоренно. Пользуясь принципом Даламбера, определить:

1.Необходимый коэффициент трения сцепления между колесами или гусеницей и поверхностью.

2.В вариантах №19,20,21,22,27,28,29,30 ускорение транспортного средства; в остальных вариантахкрутящий момент

М.

Исходные данные приведены в таблице:

mi -масса I –го тела; M - крутящий момент; Mc - момент

сопротивления качению
	колеса; F		-	тяговая сила;	FР- сила
сопротивления резанию;	a - ускорение; r - радиус колеса;						α - угол
наклона поверхности	к горизонту;			f - коэффициент			трения

скольжения.

Курсовая работа предназначена для студентов специальности « Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование».

© Московский автомобильно-дорожный институт (государственный технический университет), 2008

КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Принцип Даламбера позволяет решать задачи динамики, используя уравнения равновесия статики. При этом дифференциальным уравнениям придается вид уравнений равновесия. Принцип Даламбера широко применяется во многих прикладных дисциплинах.

Материальная точка

Если рассмотреть движение несвободной материальной точки M под действием активных сил, равнодействующая которых равна F , реактивных сил, равнодействующая которых равна N , то основное уравнение динамики можно записать в виде

				a				(1)
или
				a	.	(2)

ФN

a

F

Рис.1
Введем вектор
Ф = −m a ,	(3)

имеющий размерность силы, равный произведению массы точки на её ускорение и направленный противоположно ускорению точки. Этот вектор называется даламберовой силой инерции, или просто

силой инерции материальной точки.
Тогда основное уравнение динамики примет вид:
.	(4)

3

Силы Ф , N , образуют сходящуюся систему сил, и полученное уравнение выражает условие равновесия этой системы, что и составляет принцип Даламбера для материальной точки.

Механическая система

Рассмотрим механическую систему, состоящую из к материальных точек. Представим равнодействующую сил, действующих на k - тую точку этой системы, в виде двух составляющих: равнодействующей внешних и внутренних сил, приложенных к точке М, т.е.

e + F

i

(5)

R

k

= F

k

+N

k

= F

k

k

Согласно принципу Даламбера для каждой точки М запишем

соотношения

e + F

i

= 0 , где

(к = 1, 2 … n) .

(6)

F

+Ф

k

k

k

Для каждой материальной точки сумма моментов этих уравновешенных сил относительно любого центра О также равна нулю, т.е.

(

)

(

)

(

)

, где (к = 1, 2 … n) .

(7)

Суммируя все уравнения системы (6)

и системы (7), получаем

n

n

n

∑Fke

+ ∑Fki + ∑Ф

k = 0

(8)

k =1

k =1

k =1

n

n

n

0

(Fke )+ ∑M

0

(Fki )+ ∑M

0 (Ф

k )= 0 .

(9)

∑M

k =1

k =1

k =1

n

Здесь ∑Fke = R

e

- главный вектор внешних сил;

k =1

n

∑Fki

i

- главный вектор внутренних сил;

= R

k =1

n

Ф

- главный вектор сил инерции;

∑Ф

k

= R

k =1

n

(Fke )= M

0e - главный момент внешних сил;

∑M

0

k =1

4

n

∑M0 (Fki ) k =1

n

∑M0 (Фk ) k =1

=M0i - главный момент внутренних сил;

=M0Ф - главный момент сил инерций.

Но по свойству внутренних сил их								главный вектор и главный
момент равны нулю:
		i = 0 , M		0i = 0 ,		и поэтому
R
		e + R	Ф = 0 , M		e + M		i = 0 .	(10)
R
0						0

Т.е. главный вектор и главный момент относительно любого центра приложенных к системе внешних внешних сил и сил инерции всех ее точек равны нулю. Это и есть следствия из принципа Даламбера, которыми пользуются при решении задач. На практике не прикладывают силы инерции к каждой точке системы с тем, чтобы найти главный вектор и главный момент, а используют готовые выражения для главного вектора и главного момента сил инерции механической системы.

Из теоремы о движении центра масс m ac = Re находим

		Ф = -R	e , R	Ф = −m a .	(11)
R
				c

Главный вектор сил инерции механической системы равен массе системы, умноженной на ускорение ее центра масс, приложен к центру масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению.

Из теоремы об изменении кинетического момента

механической системы следует
			e =	dK		0		, поэтому
M
				dt
0
		Ф = −M					e = − dK			0 .	(12)
M
0				0				dt

5

Приведение сил инерции к простейшему виду при различных движениях твердого тела

1. Поступательное движение твердого тела.

При поступательном движении твёрдого тела ускорения всех точек тела геометрически равны ускорению его центра масс. В этом случае силы инерции точек твердого тела приводятся к равнодействующей, приложенной в центре масс тела, равной по модулю произведению массы тела на модуль ускорения и направленной противоположно этому ускорению.

RФ = -m ac

RФ C

ac

Рис.2

2. Вращение вокруг неподвижной оси.

Если ось вращения проходит через центр масс, то ac = 0 , RФ = 0 .

В этом случае система сил приводится к равнодействующей паре сил. Вектор момента этой пары равен главному моменту сил инерции относительно оси вращения. На основании (12)

MzФ = dKdtz , но Kz = Iz ωz ,

тогда при Iz = const получим MzФ = Izε ,

где Iz - момент инерции тела. Момент сил инерции направлен в сторону противоположную угловому ускорению тела ε.

6

Z

ε

С .•

MZФ

Рис.3

3. Плоское движение твердого тела.

Плоское движение можно разложить на поступательное движение с центром масс тела (точка С) и вращение вокруг подвижной оси, проходящей через центр масс тела перпендикулярно к плоскости тела.

Силы инерции при поступательном движении тела приводятся к силе, приложенной в центре масс и равной RФ = m ac .

Вектор RФ направлен в сторону, противоположную ac .

Силы инерции вращательного движения тела в этом случае приводятся к паре сил, лежащей в плоскости симметрии и имеющей

момент MzФ = Iz ε, который направлен в сторону, противоположную

c

ε.

RФ

M zC

С •

ε

ac

Рис.4

7

Приведение сил инерций твердых тел к простейшему виду

1. Тонкий однородный стержень.

Рассмотрим случай, когда стержень вращается относительно неподвижной оси с постоянной угловой скоростью ω, а его концы А и В отстоят от оси вращения (рис.5).

Рис.5

Заданы следующие величины: АВ = l - длина стержня 1; α - угол наклона стержня к вертикали; ОА = r - расстояние от точки А стержня до оси Oz; m - масса стержня.

Следует определить величину главного вектора сил инерций RФ и точку его приложения.

Решение В первую очередь, вычисляем модуль главного вектора через

массу стержня и ускорение его центра масс

RФ = m acn .

Приacn = 12 ω2 (2r + l sinα) окончательно запишем:

RФ = 1	2	m ω2	(2r + l sinα), Н.	(13)

8

За центр приведения выбираем точку А и в этой точке показываем главный вектор RФ . Теперь будем вычислять главный момент от сил инерций относительно точки А.

На расстоянии x от точки А выделяем элементарную массу

dm = γdx , где [γ]= кг		- погонная масса стержня, которая
	м

определится по формуле γ = m l .

				.
	В точке К показываем элементарную силу инерции dФ
При	an = ω2	(r + x sinα) - нормальное ускорение элементарной
	k

массы, можно записать

dФ= γ ω2 (r + x sinα)dx .

Элементарный главный момент от сил инерций относительно центра приведения точки А запишется в виде

dMФА = dФ z .

При z = x cosα будем иметь

dMФА = γ ω2 (r + x sinα) xcosαdx .

Модуль главного момента

l	l
MАФ = ∫dMАФ = γ ω2 cosα∫(r + xsinα)xdx .
0	0

Окончательно получим формулу для вычисления главного момента от сил инерций:

MФ = 1	6	mω2l (3r + 2lsinα)cosα.	(14)
А

За центр приведения была выбрана точка А, и все силы инерции стержня 1 приведены в эту точку: к главному вектору RФ и главному моменту MФА , но это - еще не простейшая система сил инерций.

9

Приведем главный вектор RФ и главный момент M АФ к простейшей системе:

МФА = M (R1Ф; RФ ); МФA = RФ d ; RФ = R1Ф.

Тогда в точке А (рис.6) MФА не будет, и R1Ф + RФ = 0 .

Рис.6 В этом случае систему сил инерций привели только к главному

вектору RФ , который будет расположен горизонтально и приложен в точке Д.

Расстояние по вертикали от точки А до точки Д определится по формуле

d =	MФ	=	(3r + 2lsinα)lcosα	(15)
	A		3 (2r + lsinα)
	RФ

Формулы (13) и (15) - более общие формулы, на базе которых можно получить различные частные случаи, которые рассмотрим ниже.

10