1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5. Пусть a — алгебраический над полем P элемент положительной степени n. Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1, a, ..., aⁿ^-1 с коэффициентами из Р.

Доказательство. Пусть — любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P(a) = P[a]; следовательно, существует в P[x] полином f такой, что

(1)  = f(a).

Пусть g — минимальный полином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P[x] полиномы h и r такие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или der r < der g = n , т. е. r=c₀+c₁x +…c_n-1x^n-1(c_iP). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3)  = c₀+c₁a +…c_n_-1aⁿ^-1

Покажем, что элемент  однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., aⁿ^-1. Пусть

(4)  = d₀+d₁a +…d_n_-1aⁿ^-1(d_i P)

—любое такое представление. Рассмотрим полином 

 = (с₀ – d₀) + (c₁ - d_i.)x + . . . + (с_n_-1 –d_n_-1)xⁿ^-1

Случай, когда степень  меньше n, невозможен, так как в силу (3) и (4) (a) = 0 и степень  меньше степени g. Возможен лишь случай, когда  = 0, т. е. с₀ = d₀, . . . , с_n_-1 = d_п-1. Следовательно, элемент  однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,aⁿ^-1.

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a — алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h — полиномы из кольца полиномов P [x]и h(a) 0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней элемента a, т. е. в виде (a),

где 0P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g — минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a)  0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g — взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v, что

uh+vg=1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u 0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби