1. Формула Тейлора и ее остаточный член

Поставим задачу: приблизить ф-ю многочленом в заданной т-ке. Пусть ф-я f имеет в т. x₀ n производных. выясним,  ли многочлен P_n(x) степени n, т.ч. . ЗдесьБудем искать мн-н в виде:. Коэф. А_i наход. однозначно: , тогдаи т.д. Получаем

Получаем. что алг. мн-н м. записать с пом. его производных в некот. т-ке:

естественно рассм-ть мн-н такого типа для ф-й . Будем наз. этот мн-н полиномом Тейлораn-ого порядка для f в т. Для его-я необх. 

Разность наз. n-ымостатком Тейлора для f в т. .

Теорема1: Пусть ф-я f(x) опред. на (a,b) производные до порядка n включит., тогда при ,.-остаточный членn-ого пор. ф-лы Тейлора в форме Пеано.

Док-во: Применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности получим:

, т.е. что и т.д.

Теорема 2. Пусть f  Сⁿ [ x₀, х ] имеем n непрер. производных и  f^(n-1) на (х₀,х), тогда

остаток вформе Лагранжа.

Следствие:(Локальная форма остаточного члена): Если функции определены в окрестности т.и,то:при.

Док-во: Применим Th1 заменив n на n+1, тогда гдепри.

, где при.Ч.т.д.

Теорема2:(Глобальная форма остаточного члена): Если функция раз дифференцируема на отрезке [a,x], а функциядифференцируема на (a,x), то(3)

Док-во:Будем искать остаточный член в виде гдене известна. Зафиксируем a и x >a, и введем вспомогательную функцию:Эта функция непрер. на [a,x] и дифференцируема на (a,x). Найдем По Th Ролля для

/по Th Ролля/Т.к., то (3). Ч.т.д.

Замечание: При разных значениях параметра p из (3) получаются часто встречающееся форма остаточного члена:

(а)- Лагранжа (б)- Коши

2. Определение траектории материальной точки в ньютоновом поле тяготения. Искусственные спутники Земли

Точка массой m движется под действием силы, притягивающей ее к неподвижному центру и обратно пропорциональной расстоянию, т.е. , где ,- постоянная Гаусса. Определим траекторию точки, для чего воспользуемся формулой Бине:, общее решение этого неоднородного д. у. с учетом выражения:, где, а- константы интегрирования. Это уравнение конического сечения. Полная начальная энергия точки:,- начальная скорость,- расстояние до притягивающего центра. Если, то траектория эллипс,– парабола,- гипербола.

Искусственные спутники Земли. Космические объекты, описывающие замкнутую траекторию вокруг небесного тела, называют его спутником. Тело, движущееся в поле земного притяжения будет спутником Земли, если в любой точке траектории : , а приэто возможно лишь для, иP и M совпадают (т.е. перигей искусственного спутника совпадает с его начальным положением). Рассмотрим условия запуска спутника. Земля считается неподвижной, движущееся тело будет рассматривать как точку, имеющую массу, сопротивлением воздуха пренебречь.– радиус Земли. Определяем величину Гауссовой постоянной для Земли. Выражение для эксцентриситета и преобразованного уравнения траектории примут вид при:и=>или. Таким образом, чтобы тело, брошенное с высотыпревратилось в ее искусственный спутник,необходимо выполнение условий: 1) угол который составляет начальная скорость с горизонтом равен 0; 2) начальная скорость (т.к.e<1 – эллиптический, e=1 – параболический, e>1 – гиперболический типы траекторий, –1-ая космическая скорость,–2-ая косм. скорость.