2. Канонические уравнения движения системы

Из уравнений Лагранжа (рассм.сис-му под действ.потенц.сил)

Следует ,что обобщ.коорд. и скорости образуют полную систему(2s) переменных.

Рационально перейти от (s) уравнений 2-го порядка к (2s) уравнений 1-го порядка. Такое преобразование было вып. Гамильтоном. Оно привело к новой сис-ме ДУ, кот.наз. кононической, а переменные вход. в него кононическими перем.

,- это конон.переменные.

- для потенциальных сил-линейная ф-я от, т.к.

Используем ур.Лагр.2-го рода

Введём ф-ю Гамильтона (*) Т.к. с-ма стационарна , то,

Проварьируем ф.H(рав-во(*))

,

Сравним коэф.при одинаковых вариациях ,m – количество связей. Получим (2s) уравнений 1-го порядка, запис в сим.форме

3. Основы теории пограничного слоя. Уравнения Прандтля

При обтекании тел различных форм область течения можно разбить на 2 подобласти:

1-влияние трения между стенок существенно

2-можно пренебречь влиянием касательных напряжений, т.е. относительным перемещением слоев и течение можно рассматривать как невязкое.

Опр: Пограничным слоем называется тонкий слой вблизи обтекаемого тела. В котором скорость меняется от 0 на поверхности тела, до скорости набегающего потока вне его.

Уравнение пограничного слоя:

Рассмотрим обтекание плоских поверхностей и уравнение получим на основе пластинки.

-скорость набегающего потока. Рассмотрим плоскую задачу: (x,y)

Основное предположение: толщина пограничного слоя -размер пластинки.

Используем уравнения Навье-Стокса в плоском случае:

Граничные условия: при- условие прилипания.

т.к. пластинка тонкая, она не изменяет потока жидкости.

- характерная скорость напр. по оси x, -y , L- характерный размер

Сделаем оценку членов уравнения Навье-Стокса:

; - из интеграла Бернулли;

Из уравнения неразрывности => (*)

=> (1) ;(2) ; отнесем (1) к (2):т.е. 1-м членом можно пренебречь

Инерционные члены имеют одинаковый порядок с вязкими , если =>т.е.

1.2.2а)3.из (*)

4.- давление пограничного слоя постоянно по;;

; ;;

т.е. можно пренебречь

2-ое уравнение: т.е. поперек пограничного слоя давление не меняется

В результате оценок: - система уравнений Прандтля

Гр. условия сохраняют свой вид: припри

Задача Блазиуса:

Стационарное обтекание тонкой пластинки потоком вязкой жидкости со скоростью

на бесконечности.

(вне пограничного слоя)

Оценки теории погр-го слоя: 1) ; 2); 3)4)5)

Задача Блазиуса.

Рассмотрим стационарное обтекание пластинки потоком вязкой жидкости. Движение описывается системой Прандтля и граничными условиями: .

Данная задача решается с помощью введения функции тока и автомодельной переменной;− граница пограничного слоя

Все расчеты будут справедливы только для ламинарного течения (без перемешивания)

Билет 21

1. Элементы теории поля. Поток, дивергенция, ротор в-ра. Т-ма Гаусса-Остроградского. Т-ма Стокса

Дана обл-ть().

Будем говорить, что в обл задано скалярное поле, если тставится в соотв по известному закону число. Еслитставится в соотв по известномузакону некот в-р если, то гов-ят, что в облзадано векторное поле.

Задание векторного поля заданию ф-ции, а задание скалаярного поля

Поле наз диф-мым, если ф-ции идиф в обл.диф скал поле. Тогда в-рназградиентом скалярного поля в т. Обозн

В данном случае скалярное поле порожд векторное поле градиента - вектор, кот по напр-ю и своему значению характеризует скорость возрастания ф-ции.

, где - оператор Гамильтона.

Опр. поле - диф векторное поле, тогда векторназ ротором векторного поляи обозн

Если рассм как поле скоростей при движении тв тел, то с точностью до множителя ротор этого поля дает угловую скорость.

Опр. поле- диф векторное поле, тогда величинаназ дивиргенцией вект полев ти обозн.

При движении несжим жидк при наличии источников (или стоков) дивергенция хар-ет плотность источника (стока). диф вект поле порождает вект поле его ротора и скалярное поле его дивергенции.

;

Св-ва. 1) 2) (- оп-р Лапласа) 3)

Опр. Этот инт-л наз потоком в-рач/з пов-тьв указ направлении.

Теорема Остроградского-Гаусса

Пусть в области Gзаданы функцииP,Q,Rнепрерывные навместе со своими частными производными тогда

Теорема Стокса.

Рассм вект поле некоторой кривой.- проекция в-рана ед в-р касательной

Опр. лин интл в поле вдоль . Еслизамкнута, то инт-л назыв циркуляцией вдоль .

,..

Если в-р - в-р силы, то этот лие интеграл предст собой работу сил поля вдоль кривой.

Теорема Стокса. Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку ротора в-рач/з пов-ть, натянутую на эту кривую

Теорема Стокса (новая). Циркуляция в-ра вдоль по контуру равно потоку вихря этого поля ч/з пов-ть, натянутую на эту кривую