Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ

где матрица A называется присоединенной или союзной матрицей. A состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной

матрицы А. Например, если

для	A	1	будет иметь вид:

		a		a	a
			11	12	13
	A		a	a	a
			21	22	23
			a	a	a
			31	32	33

и

det A

0

, то формула

								A	A	A
					1			11	21	31
	A	1						A	A	A		.
				det A				12	22	32
								A	A	A
								13	23	33
													2		1	1
	Пример 3. Найти матрицу, обратную матрице										A			3	1	2			.
														1	0	1
	Решение. Так как определитель матрицы det A 2 0																(проверьте
	самостоятельно), то матрица				A	1	существует и единственна. Используя

формулу (1), найдем матрицу

A

1

.

A		1 1 1 2					1;	A 1 1 2	3 2		5;			A				1 3 3
		1															1
11			0		1			12	1	1					13				1
A 1 2 1 1 1 1;								A 1 2 2 2 1 3;						A			1 2 3 2
21			0			1		22	1	1					23				1
A		1 3 1 1				1 1;		A 1 3 2 2		1 1;				A			1 3 3 2
31			1			2		32	3	2					33				3
																	1	1	1
	Обратная матрица A 1							будет иметь вид:			A 1		1				5	3
																			1
													2
																	1	1
																			1
											1	A		1		A E .
	Выполним проверку. По определению A A
	Найдем		A	1		A

	1
	0
	1
	0
	1
	1

.

1; 1;

1.

						1	1			1		2		1	1						2		0	0			1		0	0
A	1	A	1			5		3					3	1	2				1			0	2	0				0	1	0		E.
										1
			2																2
						1		1					1	0	1							0	0	2				0	0	1
										1
Аналогично можно показать, что															A A		1	E .
										1 1				1
				1			1			5
	Ответ.		A								3			1 .
							2
										1		1
														1

Элементарными преобразованиями матрицы являются: 1. транспонирование матрицы;

11

2.перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

3.умножение всех элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на число, отличное от нуля;

4.сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца) умноженными на некоторое число.

Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора.

Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы.

Задания для аудиторной работы

27. Найти матрицы, обратные данным:

			2				1	3	4
а)		1		;	б)		3	5	6		;
	3		0
							2	2	10

28. Решить матричные уравнения:

в)

	3		1
		2	1
		3	1

	1
	2
	1

.

а)

в)

10

1

2

0

1			2
	X			1
1
2	3
3				X
	1
2	1

	0		;
	3
	7
		0			;
		7

	1		1	2		0
б)	X	0			1	3		;
			1

	1 2		3		2		11		8
г)	3 4		X	5	4			41	36	.

29. Найти ранг матриц методом окаймляющих миноров и указать один из базисных миноров:

3		1	2
	4	3	3		;
а)
	1	3	0

30. Найти ранг матриц:

		1		2	4	3
	а)		3	5	6	4		;
			3	8	2	19

б)

	3
		4
		1

б)

		1
		3
		3
	3
		5
		1
		7

	2
	3
	2
	1
	3
	3
	5

.

3	2
2	3
5	0
1	4

	5
	4
	7
	1

.

Задания для индивидуальной работы

31.Найти матрицы, обратные данным:

32.Решить матричные уравнения:

а)

12
	3

1
5

;

1	2	5
	3
б) 1		3	.
	1	2
1

12

1			2			3		4					1
а)	3		4		X	1			;		б)
								5					3
33. Решить матричное уравнение													XA
		1	0		0		1			3	2
A		2	9		0 ; B			1		2	0	.
		3	4		1			3		1 4

34. Найти ранг матриц:

2
4
2B

E

3		2			11
	5	4				41

, если

8
36

.

			1	3	1	14	22			2			1	3			1					1
											3	1		2			0					0
	а)		2	1	3	3	9		; б										; в)
											1		3	4		2					10
			4	3	11	19	17
											4	3		1			1					2
	35. Найти ранг матрицы при различных значениях																					:
																3		2		1
	Ответы. 27. б) не существует; в)												1		4		6				8		.
													10
																5		0		5

	7	17
	4	10
	18	40
	8	10
1	2	1
3	1	2
2	3	1
1	1	0

	3
	1
			.
	17
	0

	0
	2
			.
	0

28. а)

3
	1

3
3

; б)

2
	1

2
2

; в)

		6
		5
		3

; г)

12
	7

11
5

. 29. а) 2; б) 3.

					5					1						3				1	9
31. а)				1							; б)		1					5		3	8					30. а) 3; б) 3.
			63
													7
						3			12
																		4		1	5
							5			3										9	9					9							10
31. а)				1								; б)				1				1		7				8		. 32. а)		1
			63			1																								10			10
										12				27
																				4		1				5
										9		0 0														61 10			36
		1					1					1 0								X		1						5
33.	A									2									,						28				0		.
							9															9
										19 4 9															75 30				63
35.	r	3			при					1, r 4							при 1.

26
7

.

13

4 Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера. Метод обратной матрицы

Система вида:

a

x

a

x

2

...a

x

n

b ;

11 1

12

1n

1

x

a

x

...a

x

b

;

a

2

n

21 1

22

2n

2

. . . . . . . . . . .

x

a

x

...a

x

b .

a

2

n

m1 1

m2

mn

m

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Чис-

ла	a	, i 1,m, j 1,n	называют коэффициентами системы,
	ij

свободными членами. Рассмотрим систему:

a11x1 a12x2 a13x3 b1;a21x1 a22x2 a23x3 b2;a31x1 a32x2 a33x3 b3.

Систему (2) можно записать в виде матричного уравнения:

	a		a	a			x					b
		11	12	13					1				1
		a	a	a				x					b		или	AX B .
									2
		21	22	23									2
		a	a	a				x					b
									3
		31	32	33									3

числа bi –

(2)

Теорема. Система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных имеет единственное решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы является невырожденной, т.е det A 0 .

Если выполнены условия теоремы, то решение системы (2) можно найти по формулам Крамера:

									2					3
		x		1	; x	2				; x	3				.
		1
где det A;	j , j 1,3	, получены из						заменой j-го столбца столбцом

свободных членов.

Следствие. Если det A 0 , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

Метод обратной матрицы.

Рассмотрим систему (2) как матричное уравнение

A X B .

Если матрица А невырожденная ( det A 0 ), то для нее существует

обратная матрица	A	1	. Умножив обе части уравнения A X B	на мат-

рицу

A	1

слева, получим решение этого уравнения:

A 1 A X A 1 B или A 1 A X A 1 B ,

E X A 1 B

X A 1B .

14

2 Пример 4. Решить методом обратной матрицы систему x

x

Решение. Запишем систему в виде матричного уравнения

2		1	1			x			0
						1
A	1	1	1		,	X x2		, B	3	.
	1	1	0						1
						x3

y

y

AX

yz 0,

z 3,

1.

B , где

Найдем определитель матрицы А.

	2	1	1		1	1		1	1				1
	det A 1	1	1	2			1
					1	0		1	0			1	1
	1	1	0

11

2 1 2 5

0

.

Т.к.

det A

Найдем ее по

0 , то для матрицы формуле (1).

А существует обратная матрица A 1.

A11	1 1		1	1	1;			A12	1 2 1		1	1;				A13	1 3 1
	1		1	0					1	1	0						1	1
A21	1	2 1	1	1		1;		A22	1	2 2 2	1		1;			A23	1	2 3 2
			1	0						1	0							1
A	3 1 1			1	2		;	A	1	3 2 2	1			3	;	A	1	3 3 2
	1
31			1	1				32		1		1				33		1

					1	1
A	1		1		1	1
			5
					2	3

Решение системы найдем по формуле

	2
	3
	1
	X

.

A	1
	B

, т.е.

					1	1	2			0							0 3 2						5				1
	X	1			1	1	3				3			1			0 3 3			1			0				0		.
		5												5						5
					2	3	1				1						0 9 1						10				2
	Ответ. x 1,		y 0 , z 2 .

Задания для аудиторной работы

36. Решить системы по формулам Крамера:

	1	2 ;
	1
	1		3	;
	1
	1	1;
	1

x y 1;	x 3y z 2,			3x y 2z 4,
		y 3z	3,
а)	б) 2x			в) x 2y z 1,
x y 2.
	2x	y 2z	8.	2x 3y 2z 0.

15

37. Решить системы матричным методом:

	3x		x	2	x	3	8;
		1
		2x	x		2x			6;
	а)			2			3		б)
		1
			x		x		2;
	3x			2		3
		1

	x		2x		2	x		3	0;
		1
				x		4x				2;
	3x				2				3
			1
		2x		5x			x			6;
						2			3
			1

Задания для индивидуальной работы

38. Решить системы 1) по формулам Крамера; 2) матричным методом:

2x 4y z 4,

x 2y 4z 12;

6y 2z 4,

2x

2z 2;

3x

б)

а)

4x

y 3z 1.

4x 2y z 9.

2x y z 3;

x 2y 3z 6;

3y

2z 2;

y 4z 9;

в) x

г) 4x

4x

2y

z 9.

5y 2z 10.

3x

3x

5x

2

3x

3

2x

4

2;

x 2y 3z 6;

1

4x

2x

5x

3x

12;

2

3

4

2x

3y

z 4;

1

д)

е)

8x

x

5x

9;

7x

1

2

3

4

3x y 4z 0.

6x

4x

5x

3x

8.

2

3

4

1

Ответы. 36.	а)		3	;	1	; б) (3; 0; –1) в) (0; 2; –3). 37. а) (1; 2; 3);
			2
					2
б) (2; 0; –2). 38.	а) (–2; 3; –4); б) (2; 1; –3); в) (2,4; 0,8; –1); г) (1; 1; 1);
д) (1; 1; 1); е) (1; –1; 0; 2).

5 Системы линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса. Однородные системы

Теорема (Кронекера-Капелли). Для того чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.

Решение системы методом Гаусса (методом последовательных ис-

ключений) состоит из двух этапов: прямой и обратный ход метода Гаусса.

Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк или, используя правило «прямоугольника», расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) из системы уравнений, соответствующей ступенчатой матрице, последовательно, начиная с последнего уравнения, находят (если это возможно) решение системы.

16

 Пример5. Решить систему методом Гаусса



Решение. Составим расширенную матрицу элементарных преобразований строк приведем

x 2y z 3,
2x	z 1,
x 4y 3z 15.

системы и с помощью ее к ступенчатому виду:

		2						1 2						1 2
	1		1	3		1				1	3					1	3			3
	2	0	1	1				0	4	3	5		(2)	0	4	3	5
	1	4	3	15				0	6 2		12			0	3 1		6

1		2	1	3		4		1	2	1	3
		4							4
	0		3	5				0		3	5		.
	0	0	13	39				0	0	1	3

(1): элементы первой строки матрицы (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножим на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки (1 2 2 0, 2 2 0 4, 1 2 1 3 , 3 2 1 5 – получаем вторую строку новой матрицы: 0; –4; 3; 5). Элементы первой строки умножим на (–1) и сложим с соответствующими элементами тре-

тьей строки (1 ( 1) 1 0 , 2 ( 1) 4 6, 1 ( 1) 3 2 , 3 ( 1) 15 12 –

получаем третью строку новой матрицы: 0; 6; 2; 12).

(2): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 2.

(3): элементы первой строки переписываем без изменений, элементы второй строки (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножаем на 3 и складываем с соответствующими элементами третьей строки, умноженными на 4 (( 4) 3 3 4 0 , 3 3 1 4 13 , 5 3 6 4 39 – получаем третью строку новой матрицы: 0; 0; 13; 39).

(4): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 13.

Полученной ступенчатой матрице соответствует система:

Из последнего уравнения второе уравнение: 4y 3 3

	x 2y z 3,
	4y 3z 5,
		z 3.
	z 3	. Подставим найденное значение z во
	5 ,	следовательно y 1. Полученные зна-

чения z и y подставим в первое уравнение:		x 2 1 1 3 3
x 2.
Ответ.	x 2, y 1, z 3 .

Система линейных алгебраических уравнений называется ной, если все свободные члены этой системы равны нулю.

. Отсюда

однород-

17

Теорема. Однородная система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы вырожденная, т.е. det A 0 .

			2x 2y z 0,
Пример 6. Решить систему уравнений 5x 4y 6z 0,
			3x 2y 5z 0.
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы:
2	2	1
5	4	6	2 (4 ( 5) 2 ( 6)) 2 (5 ( 5) 3 ( 6)) 1 (5 2 3 4) 0.
3	2	5

Т.к. определитель равен нулю, то система имеет ненулевое решение. Для решения системы воспользуемся методом Гаусса. Поскольку система однородная, то к ступенчатому виду будем приводить основную матрицу системы:

	2		2	1		2		2
		5	4	6			0	2
		3	2	5			0	2

	1
	7
	7

,

т.к. полученная матрица имеет две одинаковые строки (а, следовательно, соответствующая система имеет два одинаковых уравнения), то ее

можно записать в виде

2		2
	0	2

1
7

.

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений:

2x 2y z 0,
	2y 7z 0.

Система состоит из двух уравнений и содержит три переменные. Выразим переменные x и y через переменную z:

Обозначим z Ответ: x 8t,

y

2t

y	7	z; x	1		(7z z) 4z.
2			2
, тогда y 7t, x 8t, t .
7t, z 2t, t .

Задания для аудиторной работы

39. Выяснить, совместна ли система уравнений, если она совместна, то найти ее решение:

x x			x		1;	x 2y z 3;
1		2		3			4y 3z	2;
а) 2x1 x2 x3 8;						б) 2x
	4x2 2x3 1.						6y 3z	7.
x1						3x

18

в)

д)

x y z 6;
	y 3z 15;
4x
	2y z 4;
3x
	y z 3.
2x

x		x		2	2x			3	2x			4	2;
	1
			2x				x			x			1;
3x						2			3			4
		1
			3x				4x				2x				4;
5x						2				3				4
		1
			4x				7x				5x				7.
7x						2				3				4
		1

г)

е)

x			x			2	x					3	1;
		1
	x		x				2x								1;
						2							3
		1
	2x			2x							4x								2.
									2								3
			1
x				2x				2		3x						3		x			4	8;
		1
		2x			x					4x								3x					1;
								2								3						4
				1
		4x			7x							18x								11x					13;
										2									3					4
				1
					x					x						2x						9.
	3x							2						3							4
				1

40. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

а)

в)

x			7x			2		3x			3		0;
		1
				5x					x				0;
	3x							2			3
			1
				4x					2x					0.
	3x							2					3
			1
x			3x		2			2x		3			0;
		1
	2x			x				3x					0;
					2					3
			1
				5x					4x					5;
3x							2					3
			1
x			17x				2		4x			3		0.
		1

б)

г)

	2x				2x			2	x		3		0;
				1
					4x				6x					0;
		5x						2					3
				1
					2x				5x					0.
		3x						2					3
				1
	x			2x		2	4x			3			3x		4	0;
			1
					5x				6x					4x			0;
	3x						2					3				4
				1
		4x			5x				2x					3x			0;
							2					3				4
				1
	x			8x		2	24x					3		19x			4	0.
			1

Задания для индивидуальной работы

41. Выяснить, совместна ли система уравнений, если она совместна, то найти ее решение:

x			2x			2	3x						3	3;								4x 3x										2				2x				3		9;
		1																							1
				6x				10x								0;					б)			2x			5x									3x						4;
а) 2x							2								3																	2								3
			1																						1
3x 12x										2		3x				3	9.					5x					6x					2				2x				3		18.
				1																					1
x			x		2	x			3			1;										x			x			2	x							3	2;
		1																						1
			x			2x							1;								г)					3x								4x							3;
в) x					2						3											2x								2								3
		1																							1
	x		x			3x							2.										4x			11x										10x								5.
					2						3																						2									3
		1																							1
x			x		2	x			3			1 0;										4x					2x				2				3x				3			2x			4	3;
		1																							1
			x			x						2 0;									е)						3x								2x						3x					2;
д) x					2				3													2x									2								3						4
		1																							1
				x			x						7 0.														2x								3x						4x					1.
5x						2					3												3x								2								3						4
			1																						1
2x1 7x2 3x3 x4 5;																						3x1					2x2								x3 4x4 6x5 2;
			3x2 5x3 2x4
x1																				2;							x2					x3 5x4												7x5 10;
ж)		x	5x 9x 8x																	1;	з)	4x1
																						x 9x 3x x x 7.
		1				2							3					4
																						1
5x				18x				2		4x					3	5x			4	12.									2								3						4			5
			1

19

42. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений:

5x

3x

2

4x

3

0;

3x

4x

2

x

3

0;

1

1

а)

2x

x

0;

3x

5x

0;

3x

2

3

б) x

2

3

1

1

x

3x

0.

4x

x

4x

0.

8x

2

3

2

3

1

1

x

x

2

x

3

2x

4

2x

5

0;

x 2x

2x

x

0;

1

2

4

1

5

2x

3x

2x

5x

4x

0;

2

3

4

5

в)

2x

x

x

0;

1

x

2

3

4

г)

1

x

x

x

2x

0;

x 2x

3x

7x

2x

0

1

2

3

5

2

3

4

5

x

1

2x

x

x

2x

0.

2

3

4

5

1

Ответы. 39. а) (3; –1; 1); б) несовместна; в) (1; 2; 3); г) (t; 1 t; 0), t

;

д) (5t 5; 7t 7; t; 0), t

;

е)

2 t m; 3 2t

m;

t; m ,

t, m

;

40. в)

( 11t;

t;

7t ), t

;

г)

( 7t 8m;

6t 5m;t;m),

t, m .

41. а)

(2; 1;

1);

в) несовм.;

г)

1

9 7t

;

1

(1

2t ); t

, t

;

д)

несовм.;

5

5

ж) (6 26t 17m; з) ( 5 8t 14m;

42. а) (0; 0; 0); в)

1 7t 5m; t; m), t, m	;
13 3t 9m; 43 10t 30m; 5t;
( 2a 2b c; a; 3b c; b; c), a, b,

5m), t, m c

.

6 Собственные значения и собственные векторы матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

Anxn

и вектор-столбец

Xn 1

0

.

Вектор X называется собственным вектором матрицы А, если суще-

ствует такое действительное число 0

, что выполняется равенство

AX X .

(3)

Число называется собственным значением или собственным чис-

лом матрицы А.

Для нахождения собственных значений матрицы составляют харак-

теристическое уравнение:

A E

0

.

Подставляя найденные значения в уравнение (3), находят собственные векторы матрицы А.

Пример 7. Найти собственные числа, и собственные векторы матрицы

8 A 0

0

Решение. Запишем матрицу A

5	3
2	6	.
1	1
E .

8		5	3			1 0		0		8		5	3
A E	0	2	6			0	1 0				0	2	6	.
	0	1	1			0	0	1			0	1
													1

20