Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ

Составим характеристическое уравнение:

8	5	3
	2	6								2						6				8				2	3 4		0.
0					8								1
0	1	1

Решая полученное уравнение, получим

ственные значения матрицы А.

Для каждого из полученных собственных ные векторы матрицы А.

8	,		1,	4	– соб-
1		2	3

значений найдем собствен-

				8 8		5	3				0		5	3
	1) Если 8	, то	A E		0	2 8	6					0	6	6
					0	1	1	8				0	1	7

и матричное уравнение выглядит:

	0		5
		0	6
		0	1

	3 x
				1
	6		x
				2
	7		x
				3

		0
		0
		0

.

Этому уравнению соответствует однородная система линейных урав-

5x

2

3x

3

0;

нений

6x

0;

6x

2

3

x

7x

0.

2

3

Из второго уравнения

x2 x3

, тогда оставшиеся два уравнения будут

иметь вид:

5x

3x

0;

2x

0;

3

3

3

x

0, x

0, x

m, m

, m 0.

2

x

7x

0;

6x

0;

3

1

3

3

3

m

Вектор X

0

, m

, m 0 – собственный вектор матрицы А.

1

0

2) Если

1, то получим однородную систему линейных уравнений

9x

5x

2

3x

3

0;

13

1

9x

5x

3x

0;

x

x

;

2

3

3x2

6x3

0;

1

1

9

3

x

2x

0;

x2

2x3

0;

2

3

2x3;

x2

x

3

9k, x

2

18k, x

13k, k

, k 0.

1

13k

Тогда вектор X2

, k 0 – собственный вектор матрицы А.

18k , k

9k

21

3) Если

4

x1

4 , то получим однородную систему линейных уравнений

5x

2

3x

3

0;

4x

5x

3x

0;

x

3x

;

2

3

2x2

6x3 0;

1

1

3

x

3x

0;

x

3x

;

2

3

2

x

3x

0;

3

2

3

Тогда вектор

					x	3		t, x	2
					3t
X				3t				, t		, t
	3
					t

3t, x		3t, t	, t 0.
	1
0	– собственный вектор матрицы А.

m

Ответ. X1 0 ,

0

		13k			3t
X2							, m 0,k 0, t 0.
		18k , X3			3t , m,k,t
		9k			t

Задания для аудиторной работы

43. Для заданной матрицы А и векторов

X , X		, X	3
1	2

установить, какие из

данных векторов являются собственными векторами матрицы А и найти их собственные значения, если:

а)

б)

A		1	2			,	X				2				,	X				0			, X					1				;
		2	3					1									2								3				3
											2									0
	0		0	1									3									1									1
A		1	0	0			, X						3			, X								,	X						3			.
																						1
									1									2									3
		0	1	0									3																		2
																						1

44. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А:

	1		1
а)	A	2	4		;

б)

		5		2
	A		0	3
			1	2

	21
	0
	1

;

	9	8	0
	10	9	0
в) A				.
	12	12	3

Задания для индивидуальной работы

45. Для заданной матрицы А и векторов

X , X		, X	3
1	2

установить, какие из

данных векторов являются собственными векторами матрицы А и найти их собственные значения, если:

		5	4			1					2					3
а)	A	6	5	, X1			, X2						, X3					;
						1					3					4
		3	2	1			1						2					1
									, X2						, X3
б)	A	2	4	2	, X1		0						2					0	.
		1 2		3			2						0					1

22

46. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А:

а)

г)

A

A



52

03

2		;
8
3	;
8

б)

д)

A

A



 

 

3 7 2 3

4 1

3 2

 

;

;

в)

е)

A

A

 

13

5

12

5	;
13
2	.
5

47. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А:

		11				6		2
а)	A			6		10		4		; б)
				2		4		6
		1			4	3
г)	A		0 2			1		;		д)
			0		0	3

		1
	A		1
			1
			5
	A		1
			1

2 0 3

	2
	3		;
	0
6		3
0		1 ;
2	1

в)

е)

		1
	A		0
			5
			3
	A		4
			4

	1	0
	1	0
	3	2

1

18

;

0

0 .2

					1							2									9, x2		1
Ответы. 46. а)							4, x1						1		, 2								; б)						;
																							2
в) 1 8, x1			1			2	18, x2							1						1 9, x1					1					1, x2
				,														; г)							3	, 2
			1													1
					2													1										2
47. а)	6, x					1 ,			3, x						2				2	, 18, x				3				2			;
1			1					2													3
						2													2									1
		2											0												6
б) 1, x			1	, 3, x						2				1			,				3, x	3			7		.
1	1					2													3
			1											1											5

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

	3
	1

.

7 Векторы в	2	и	3	. Линейная зависимость и независимость

векторов. Скалярное произведение векторов

Вектором называют направленный отрезок или упорядоченную пару (тройку) чисел. Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на прямой, называются коллинеарными. Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компла-

нарными.

Проекцией вектора AB на ось Ox называется длина отрезка CD этой оси, заключенного между основаниями перпендикуляров, проведенных

из начальной и конечной точек вектора AB , взятая со знаком плюс, если

23

направление отрезка 1), и со знаком минус,

B

A

0 C

D

CD	совпадает с направлением оси проекции (рис.
если эти направления противоположны (рис. 2).
				B
					A
	x				C	x
		0		D

рис. 1

Проекция вектора на

нус угла между вектором

Проекции вектора на

вектора: a (x;y;z); AB

рис. 2 ось равна длине вектора, умноженной на коси- и осью:

прOx AB | AB | cos .

координатные оси называются координатами

(x	x	A	;y	B	y	A	;z	z	).
B							B	A

Линейными операциями над векторами называют сложение и вычи-

тание векторов, умножение вектора на постоянное число.

Если

b (x	;
2

векторы

y2;z2 ),

то

a a

и	b	заданы				своими				координатами a (x1;y1;z1),
b (x		x	;y	1	y		2	;z z		).
	1	2						1	2

Если

,

const

, то

a

a

( x ; y ; z )
1	1	1

, т.е. при умножении

вектора на число все его координаты умножаются на это число.

					Рассмотрим отрезок АВ, A B . Говорят,
А		С		В что точка С делит отрезок АВ в отношении
		рис. 3				, если AC CB (рис. 3).
					Число называют простым отношением

трех точек и обозначают

AB,C

. Координаты точки С, делящей от-

резок АВ в отношении , 1

находят по формулам:

x

x

x

a ; y

y

y

a ; z

z

z

b

c

b

b

a .

c

1

1

c

1

Система векторов a1, a2,...,am

называется линейно зависимой, если

существуют такие постоянные c1, c2, ..., cm одновременно не равные ну-

лю, что имеет место равенство c1a1 c2 a2 ... cmam 0 . В противном

случае система векторов называется линейно независимой.

На плоскости два любых коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два любых неколлинеарных вектора линейно независимы.

В пространстве три любых компланарных вектора являются линейно зависимыми. Три вектора, не лежащие в одной плоскости, будут линейно независимыми.

Базисом в 2 ( 3 ) называют два неколлинеарных (три некомпланарных) вектора, взятых в определенном порядке. В качестве базиса будем рассматривать два (три) взаимно перпендикулярных вектора единичной

24

длины:

i

1; 0

, j

0; 1

i

1; 0; 0

, j

0; 1; 0 , k

0;

0;

1

.

Тогда

a	2	, a (x; y )

можно представить разложением по ортогональному

базису в виде a x i	y j . Аналогично, если	a	3, a (x; y; z), то
a x i y j z k .

Косинусы углов,

которые вектор a (x; y; z) образует с координатны-

ми осями, называются направляющими косинусами этого вектора:

cos

x

, cos

y

, cos

z

,

x2 y 2 z2

x2 y 2 z2

x2 y 2 z2

cos2 cos2 cos2 1.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b | a | | b | cos ;	a b | a | пр b | b | пр a.
	a	b

Отметим, что a b 0

тогда и только тогда, когда векторы перпендику-

лярны или хотя бы один из них нуль-вектор.

Скалярное произведение векторов обладает свойствами коммутативности a b b a , ассоциативности относительно скалярного множите-

ля	ab a b ab ; дистрибутивности a b c ab ac . Скалярный
квадрат вектора равен квадрату его длины				a a		a		2		.
											a (x1;y1;z1),
	Если векторы a	и b заданы своими	координатами

b (x2;y2;z2 ), то их скалярное произведение равно сумме произведений

одноименных координат: a b x1x2 y1y2 z1z2.

Механический смысл скалярного произведения. Если материаль-

ная точка, на которую действует сила F , совершает перемещение вдоль вектора s , то работа А силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: A F s.

Задания для аудиторной работы

48. Задан правильный шестиугольник ABCDEF,		AB p , AE q . Найти
вектора AC , AD , AF , EF .
49. На векторах OA (5; 10; 15)	и OB (0; 10; 5)	построен треугольник

ОАВ. Точка М делит сторону АВ в отношении 2:3. Найти координаты и длину вектора OM .

25

50.

Даны векторы

a (3; 2; 6)

и

b ( 2; 1; 0). Найти координаты векто-

ров 2a

1

b ;

1

a b ;

2a 3b .

3

2

51.

При каких и

векторы a 2;3; и b ; 6;2

коллинеарны?

52.

Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины оснований AD и BC ко-

торой соответственно равны 4 и 2, а D 45 . Найти проекции векторов

AD , AB

,

BC

, AC

на ось, определяемую вектором CD .

53.

Показать,

что

векторы

x (1; 2; 1; 2) ,

x ( 1; 3; 2; 1),

1

2

x

( 13; 1; 2; 11) линейно зависимы. Найти эту зависимость.

3

54.

Даны

четыре

вектора

a (4; 5; 2), b (3; 0; 1), c ( 1; 4; 2)

и

d (5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b и c

образу-

ют базис, и разложить вектор d

по этому базису.

55.

Даны векторы

a e1 e2 e3, b 2e1 e2, c 3e3 в базисе

e1, e2, e3 .

Показать, что векторы a, b и c

также образуют базис. Найти координаты

вектора d 6e1 56. Векторы a

числить a b , a

	3e2 e3 в базисе a, b			, c .
	и b образуют угол				2	. Зная, что
				3
		a b
			, 3a 2b a 2b .
	2		2

a 3

и b 4 , вы-

57. Даны векторы				a (4; 2;	4)
б)	a	2	; в) 2a 3b b 3a ; г)		a

и b 2

b (6; 3; 2) . Вычислить: а)

.

a

b

;

58. Проверить, могут ли векторы a 7i ребрами куба. Найти третье ребро куба.

6 j

6k

,

b 6i

2 j 9k

быть

	59. Пусть в треугольнике				AOB : OA a , OB b ,		a 2 ,	b	4
	ду векторами a	и b				. Найти угол между медианой OM
				3
	OA .

,угол меж-

истороной

60. Определить работу силы

F

вызывая его перемещение на 4

силы.

,

F 15

Н, которая действует на тело,

	м под углом		к направлению действия
		3

Задания для индивидуальной работы

61. Найти линейную комбинацию 3a1 5a2 a3	векторов a1 (4; 1; 3; 2),
a2 (1; 2; 3; 2) , a3 (16; 9; 1; 3).

26

62.	Вектор a	составляет с координатными осями Ох и Оу углы 60		и
120 . Вычислить координаты вектора, если его длина равна 2.
63.	Отрезок	AB разделен точками M1,M2,M3,M4 на пять равных частей.
Найти координаты точек M			и M , если A 1;8;3 , B 9; 7; 2 .
		1	3

64. Найти координаты концов А и В отрезка, который точками

C 2;0;2

и

D 5; 2;0 разделен на три равные части.
65.	При каком векторы m 1; 3 и n 2; линейно зависимы?
66.	Векторы заданы в ортонормированном базисе	i , j , k : a 1;1;

2

,

e1

	2;2;	1

,

e2

0;4;8

,

e3

1; 1;3

. Показать, что векторы

e , e		, e
1	2	3

образуют базис, найти разложение вектора a

по этому базису.

67. Даны три вектора p, q, r . Найти разложение вектора					a
p, q, r .
а)	p (4; 5; 1) ,	q (3; 4; 1), r (2; 3; 2), a 6;3;4 ;
б)	p ( 1; 4; 3)	, q (3; 2; 4), r ( 2; 7; 1)		, a 6;20; 3 ;
в)	p (5; 7; 2)		, q ( 3; 1; 3), r (1; 4; 6),	a 14;9; 1 ;
г)	p (1; 3; 1),		q ( 2; 4; 3), r (9; 2; 3) ,	a 8; 10;13 .

по

базису

68. Пусть

a

		1;2
	1;			, b

2;

2;1

. Найти

пр	3a b
b

69. Даны векторы

a

	1;2;3		, b

	2;3;	1

. Найти: а) координаты вектора

2a	1	b ; б) угол между векторами a			и b ; в) пр	а .
	3				b
70. Найти координаты вектора			a ,	если известно,
противоположную сторону к вектору					b 5i 4 j	2
вен 5.

что он направлен в 2k , и его модуль ра-

71. Дано разложение вектора

c

по базису

i ,

j , k

:

c 16i

15 j

12k

.

Определить разложение по этому же базису вектора

вектору	c	и противоположного с ним направления,
| d | 75 .

d , параллельного при условии, что

72. Даны точки А(–2; 3; –4), В(3; 2; 5), С(1; –1; 2), D(3; 2; –4). Вычислить

проекцию вектора

AB

на направление вектора CD .

73. Даны три вектора a, b, c . Найти проекцию вектора 3a 2b на направление вектора c , если:

а) a 5i 6 j 4k, b 4i 8 j 7k, c 3 j 4k ;

27

б) a 9i 4k, b 2i		4 j 6k, c 3i	6 j 9k	;
в) a 4i	5 j 4k, b 5i j , c 4k 2 j 3k ;
г) a 3i	j 5k, b 2i	4 j 6k, c i	2 j 3k .

74. Даны вершины треугольника А, В и С. Определить внешний угол при вершине В, если:

а) А(–2; –5; –1), В(–6; –7; 9), С(4; –5; 1); б) А(5; 2; 7), В(7; –6; –9), С(–7; –6; 3); в) А(7; –1; –2), В(1; 7; 8), С(3; 7; 9); г) А(–7; –6; –5), В(5; 1; –3), С(8; –4; 0).

75. Векторы	a и b взаимно перпендикулярны,
ними углы,	равные		. Зная, что	| a | 3, | b
		3

а) 3a 2b b 3c ; б) 3a 2b 3c 2 .

а вектор

| 5, | c |

c

8

образует с

вычислить:

76. При каких значениях

векторы

a b

и

a b

перпендикулярны,

если

a 3

,

b 5 .

77. Для векторов a 4; 2; 4 , b 6; 3;2 найти:	a b ,	a	2	,

a b 2 , 3a 2b a 2b .

78. Найти 2a2 4ab 5b2 , если a 1; 2;2 , b 2; 2; 1 .

b	2

, a b 2 ,

79. Найти работу равнодействующей сил

F1

при перемещении ее точки приложения из

М(2; –1; –1).

i

j

начала

k

и

F2 2i

координат

j 3k

вточку

80. Даны три силы

F1

,

F2

,

F3

, приложенные к одной точке. Вычислить

работу равнодействующей этих сил, совершаемую при перемещении вдоль отрезка M1M2 , если:

а)	F (3; 4; 2)	, F (2; 3; 5),F		( 3; 2; 4)		,M (5; 3; 7)	, M (4; 1; 4);
	1	2	3			1		2
б)	F1 (3; 1; 3), F2 (3; 2; 1) , F3 ( 4; 1; 3) ,					M1( 1; 4; 2)		, M2(2; 3; 1);
в)	F (3; 2; 4)	, F ( 4; 4; 3) ,		F (3; 4; 2)	, M (1; 4; 3)		, M (4; 0; 2);
	1	2		3		1		2
г)	F (7; 3; 4) ,	F (3; 2; 2)	, F	( 5; 4; 3) ,		M ( 5; 0; 4) ,		M (4; 3; 5);
	1	2	3			1		2
д) F (4; 2; 3)		, F ( 2; 5; 6)	,F	(7; 3; 1), M ( 3; 2; 5) ,M (9; 5; 4);
	1	2	3			1		2

81. Известно, что | a | 13, | b | 19, | a b | 24. Вычислить | a b |.

82. Найти значение параметра m, при котором векторы a mi 3 j 2k и b i 2 j mk взаимно перпендикулярны.

28

83. Найти	координаты вектора			b , коллинеарного вектору
при условии, что их скалярное произведение равно 3.
84. Найти	вектор	x ,	зная,	что он перпендикулярен
a (2; 3; 1) , b (1;		2; 3)	и удовлетворяет условию x 2i j

a (2; 1; 1)

векторам

k 6 .

85. Даны три вектора

a 2i

j 3k, b i

3 j 2k, c 3i

2 j

4k

.

Найти вектор x a 5, x b 11, x c 86. Найдите единичный a (4;3;2).

x	,
20 .

вектор,

удовлетворяющий условиям

перпендикулярный к оси Oy и вектору

87. Найдите вектор x , коллинеарный вектору ряющий условию x a 28 .

a (1;2; 3)

и удовлетво-

Ответы. 48.

49. (3; 10; 11).

AC

52.

	3p q
		2
пр			AD
	CD

,

2

AD 2 ;

p q ,	AF	q p	,EF	p q		.
		2		2
пр	AB	2;	пр BC		2;
CD			CD

пр AC 0 . CD

37; –61. 58.

79. 2 ед.раб.

53.

c

86.

	8x1	5x2			x3 0 . 54. (–1; 4; 3). 55. (0; 3; 1/3).
	6i	9 j			2k . 60. 30 Дж. 70.				a	25	i		20	j
										7			7
	e			1	; 0;	2		.
				5		5

8 Векторное произведение векторов

56. –6; 9;

	10	2	k .
	7

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов с общим началом называется правой, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден в направлении, противоположном направлению движения часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой.

Векторным произведением вектора a на вектор b

называется вектор

a b , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на этих векторах | a b | | a | | b | sin , который перпендикулярен плоскости векторов a и b и направлен так, чтобы тройка векторов a, b , a b была правой.

Отметим, что a b 0 тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны или хотя бы один из них нуль-вектор.

Векторное произведение векторов обладает свойствами антикоммута-
тивности	a b b a ; ассоциативности относительно скалярного
	29

множителя		a b a b a b ;						дистрибутивность:
a b c a b a c .
Если векторы	a	и b	заданы своими координатами a (x1;y1;z1),
b (x2;y2;z2 ), то их векторное произведение равно
			i		j		k
			a b x		y	1	z .
				1			1
			x	2	y	2	z
							2

Механический смысл векторного произведения. Пусть некоторое твердое тело неподвижно закреплено в точке А, а в точке В этого тела

приложена сила F . В этом случае возникает вращающий момент, численно равный произведению | AB | | F | sin . В механике его принято

называть моментом силы:

M

AB F

.

Задания для аудиторной работы

88. Векторы a	и b	образуют угол		5	. Зная, что				a 2 и
			6
числить a b ,	2a 3b a 4b .
89. Известно, что векторы a и b			образуют угол						и | a | |
							4
числить площадь		треугольника,	построенного			на		векторах

b 6 , вы-

b | 5 . Вы- a 2b и

3a 2b .
90. Пусть a 3; 1; 2 , b 1;2; 1 . Найти: а) a b ; б) 3a b a 2b ;
в) 2a b b .
91. Найти площадь треугольника с вершинами А(1; 2;	0), В(3; 2; 1)	и
С(–2; 1; 2).
92. Вычислить синус угла, образованного векторами	a (2; 2; 1)	и
b (2; 3; 6) .

93.Даны вершины треугольника А(1; –1; 2), В(5; –6; 2) и С(1; 3; –1). Вычислить длину его высоты BD.

94.Найти координаты вектора x , перпендикулярного оси аппликат и

вектору a (8; 15; 3) . Вектор x образует острый угол с осью абсцисс; x 51.

30