Вышмат. Часть 1. Первый семестр. БрГТУ

		x	2		y	2
	160. Даны гиперболы						1
		25			144

b; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) ректрис.

		x	2		y	2
	и						1. Найти: а) полуоси a и
		225			64

уравнения асимптот; д) уравнения ди-

161. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой принадлежат оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, если:

а) 2c 10; 2b 8					;
б) 2a 16;		5		;
	4
в) 2c 12;	6			;
	5

г) ее фокусы лежат на оси Оу, расстояние между ними равно 20, а действительная ось равна 16;

д) уравнение

равно 12,8.

162. Установить,

	асимптот	y	3	x , расстояние между директрисами
			4

какие кривые задаются следующими уравнениями:

а) 16x	2	25y		2		32x 100y 84 0	;	б) 5x	2	9y			2	30x 18y 9	0	;
в) x	9 2		y		2	4y 8 ;		г) y 3			x	2		1.

163. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

а) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ox, и еѐ параметр p 3 ;

б) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку A(4; 8).

в) она симметрична относительно оси Ох и проходит через точку

А(6; –2).

164. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в точке A(1; 2) , если парабола расположена:

а) симметрично относительно прямой

B(2;0);

б) симметрично относительно прямой

x 1 0 y 2 0

ипроходит через точку

ипроходит через точку

B(2;0)

.

165. Установить, какая линия определяется уравнением, и изобразить эти линии на чертеже:

а)

в)

д)

y	2	10x

2x2 5y

x 4

2y 0

;

28x 10y 17 0 ;

3y 5 ;

б) y 61 x2 2x 7 ;

г) x2 8x 2y 18 0;

е) y 7 32 x2 6x 13 ;

41

ж)

и)

x y

5	3	y	2	4y
	4

1	4	6x x	2
	3

12

;

;

з)

к)

y x

5

2

3x 5

6

21	;
y y		2

.

Задания для индивидуальной работы

166. Найти уравнение находятся в точках A

окружности, если концы одного из ее диаметров

3;9 , B 7;3 .

167. Найти уравнения касательных, проведенных из точки

M(0;3)

,

к

окружности x2 y 2 6x 4y 12 0 .

Ответ:

168. Записать уравнение окружности, если:

y 3; y

15 x

8

3

.

а) она проходит через правый фокус гиперболы

57x	2	64y	2	3648

и

ее центр в точке А(2; 8);

б) она проходит через левый фокус эллипса	13x	2	49y	2	837	и ее

центр в точке А(1; 8); в) она проходит через точку В(3; 4) и ее центр в вершине параболы

y

2

1

x 7 ;

4

г) она проходит через фокусы гиперболы 4x

2

5y

2

20 и ее центр в

точке А(0; –6).

169. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

а) малая ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10;

б) расстояние между фокусами равно 6, эксцентриситет равен

3

;

5

в) расстояние между директрисами равно 32, эксцентриситет равен

0,5;

г) малая полуось равна 7 и

один из фокусов

находится

в точке

F (13; 0);

40

д) эллипс проходит через точки

A 3; 0

, B 1;

;

3

е) эллипс проходит через точку

A 0;

11 и

5

;

6

ж) большая ось равна 30 и 1517 .

170. Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси ординат, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

а) его полуоси равны, соответственно, 7 и 2; б) его малая ось равна 16, а эксцентриситет равен 0,6;

42

	в) расстояние между его директрисами равно 10								2	, а эксцентриситет
									3
	равен 0,6.
	171. Составить уравнение прямой,							проходящей через левый фокус и
		x	2		y	2
	нижнюю вершину эллипса						1.
		25			16
	172. Составить уравнение эллипса,							если известны его эксцентриситет
	0,5, фокус F(3;0) и уравнение соответствующей директрисы:
	x y 1 0.

173. На эллипсе найти точку, расстояние до которой от правого фокуса в четыре раза меньше расстояния до левого фокуса, если уравнение эл-

липса 16x	2	25y	2	400.

174. Составить каноническое уравнение гиперболы, а) действительная полуось a 4, эксцентриситет

если:

1,25

;

б) ее асимптоты заданы уравнениями

	y	x
		2

и расстояние между фо-

кусами равно 10.

в) расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10;

г) действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между фокусом и центром пополам;

д) действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку

A 9; 4 ;
е) точки P 5;2 и Q 2	5;1	принадлежат гиперболе.

ж) мнимая полуось равна 4 и один из фокусов находится в точке

F (–11; 0);

з) уравнения асимптот гиперболы y

и) гипербола проходит через точки A

	x			2		и
			3
	32						и B
				; 1
	3

15

	3
	8;

; 0

;

	к) уравнения асимптот гиперболы y x	17		и 2c 18 ;
		8

175. Составить уравнение гиперболы, зная, что:

а) расстояние между вершинами равно 24, а фокусы находятся в точ-

	ках F ( 10;2)	и F (16;2) ;
	1	2
	б) эксцентриситет равен		5	, один из фокусов находится в точке F(5;0)
			4

и уравнение соответствующей директрисы 5x 16 0.

43

176.

ке

Точка M (1; 2)		лежит на гиперболе, фокус которой находится в точ-
	1
F( 2;2)	, а	соответствующая директриса дана уравнением

2x y

1

0

. Составить уравнение этой гиперболы.

177. Дан эллипс

	x	2		y	2
	15			6

1. Найти уравнение гиперболы, вершины ко-

торой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса. 178. Составить каноническое уравнение параболы, если:

а)

F 0;2

– фокус,

O 0;0

– вершина параболы;

O

б) она

0;0 и

симметрична относительно оси

M 1; 4 ;

Ox

и проходит через точки

в) она симметрична относительно оси

O 0;0 и N 6; 2 ;

Oy

и проходит через точки

г) уравнение директрисы параболы x 13; д) уравнение директрисы параболы y 4;

е) уравнение директрисы параболы y 3

;

ж) она симметрична относительно оси Оу и проходит через точку

А(4; –10).

179.Струя воды фонтана, имеющая форму параболы, достигает наибольшей высоты 4м на расстоянии 0,5м от вертикали, проходящей через точку О выхода струи. Найти высоту струи над горизонталью Ox на расстоянии 0,75м от точки О.

180.Составить уравнение параболы, если еѐ вершина в точке A(2;1) и

уравнение директрисы

2x y

2

0

.

181.Осевое сечение зеркала-прожектора имеет форму параболы. Определить положение фокуса, если диаметр зеркала 80 см, а глубина

40см.

182.Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить их на чертеже.

а) в)

д)

ж)

и)

л)

x	2	y	2	4x 6y 4	0	;

x2 6y 2 12x 36y 48 0;

	2
y 1					x2 4x 5 ;
	3
		2
y 7						x2 6x 16 ;
	5

y3 4x 1; x 5 y ;

б) г)

е)

з)

к)

м)

2x	2	5y	2	8x 10y			17
x2 8x 2y 18 0;
x 9 2				y	2	4y 8	;

x 5 32 8 2y y 2 ; x 2 6 2y ;

y 52 x2 25 .

0

;

183. Составить уравнение линии, каждая точка которой:

а) отстоит от прямой x 7 на расстоянии в три раза меньшем, чем от точки А(3; 1);

44

б) отстоит от прямой	x 2 на расстоянии в пять раз большем, чем от
точки А(4; –3);
в) отстоит от прямой	x 1 на расстоянии в четыре раза большем,
чем от точки А(1; 5).

г) отношение расстояний от точки М до точек А(3; –5) и В(4; 1) равно

0,25.

Ответы. 155. а) x 3					2		y 1	2	5	;
156. а) x 2	2	y 4	2								7		2
				36 ;						б) x
											3

										2								2											x						y
					x 1									y 2																		2						2
158.						12									16				1.						159. а)				25							9			1;
в)	x2					y 2					1;						г)		x2	y 2			1;					д)			x2							y 2				1;
																													16							16 3
	169						25												5		1
			x		2						y	2											x	2		y	2										x		2			y	2
ж)															1.			161.			а)							1;				б)												1;
	41 16								41 25														9			16										64						36
		x		2			y	2									x		2		y	2
г)											1; д)													1.
		36					64									16 25					9 25

б)

б)

е)

в)

x	2

x2

25
x	2
20
x		2
25

y		2
3	2

y 2

16

y 2

15

y 2

11

4 . 25 .

1;

1;

1;

				12 Плоскость
Общее уравнение	плоскости имеет вид				Ax By Cz D 0, где
n (A;B;C) называют нормальным вектором плоскости, причем выпол-
2	2	C	2	0 .
няется условие A B

Существуют различные способы задания плоскости, выпишем соот-

ветствующие им уравнения:
1. A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0	–	уравнение плоскости с извест-
ным нормальным вектором n (A;B;C)		и точкой M0(x0;y0;z0 ), принад-
лежащей плоскости.

	2.	x		y		z	1 – уравнение плоскости в «отрезках»,
		a		b		c
	чины		отрезков, отсекаемых плоскостью на осях
	b 0, c 0.

где а, b, с – вели-

координат,

a 0,

3.

x x			y y			1		z z
		1							1
x	2	x	y	2	y		1	z	z	0
		1						2	1
x	3	x	y	3	y		1	z	z
		1						3	1

– уравнение плоскости, проходящей че-

рез три заданные точки Mi (xi ;yi ;zi ), (i 1,2,3) .

45

Рассмотрим

: A x B y C z
2	2	2

плоскости

D2 0 .

: A x B y C z D 0
1	1	1	1

и

Углом между двумя плоскостями																		и				называется угол
нормальными векторами:
	cos	n	n										A A					B B					C C
		1		2										1			2			1	2				1	2			.
		n	n				A		2		B			2		C			2			A		2	B		2	C	2
		1		2			1						1					1					2			2		2
Условие перпендикулярности плоскостей и																									:
		n1 n2		0 или A1A2											B1B2					C1C2					0 .
Условие параллельности плоскостей																			и			:
						A				B					C				D		.
						1					1						1			1
					A					B					C				D
						2					2					2				2
Расстояние от точки M1(x1;y1;z1)													до плоскости												Ax By Cz
числяется по формуле:
				d		| Ax By										Cz D |								.
								1							1				1
										A		2	B				2	C		2
		Задания для аудиторной работы
184. Построить плоскости, заданные уравнениями:
а)	5x 2y 3z 15 0			;								б)		3x 2y 6 0												;
в)	3x 9 0;											г)		3x z 0.

между их

D 0

вы-

185. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через:

а) точку C(1; 2; 2)	параллельно плоскости xOz;
б) точку M0(3;0;1)	и ось Ox;
в) точку M0(1;2;3) перпендикулярно к плоскостям			x y z 7 0
3x 2y 12z 5 0	;
г) точку M0(1;1;1) параллельно векторам a1 (1;2;0)		, a2	(0;1;3);
д) начало координат и точки M1(1;0;2), M2(0;0;3);

и

е) точки

M1(1;0;1)

,

M2(0;2;3)

,

M3(0;2;1)

.

186.

187.

3x

188.

Найти угол между плоскостями x 2y 2z 3 0 и 3x 4y 5 0 . Вычислить расстояние между параллельными плоскостями

6y 2z 15 0 и 3x 6y 2z 13 0 .

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M 1;0;2 ,

перпендикулярно

3x 6y 3z 5 0

к

двум

плоскостям:

2x y 3z 1 0

и

.

189. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

а) x y 3z 1 0; 2x y 5z 2 0 ;

46

б) 2x y 2z 4 0; 4x 2y 4z 8 0;
190. Найти координаты точки Q , симметричной точке	P 3;1; 9

сительно плоскости 4x 3y z 7 0 .

Задания для индивидуальной работы

отно-

191. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через:

а) точку M	7; 3;5			и параллельна плоскости xOz;
б) точку M	3;1; 2 и ось Oz ;
в) точки M		4;0; 2 , M 5;1;7 и параллельна оси Ox ;
1				2
г) точку M 2;1; 1			и имеет нормальный вектор n 1; 2;3 ;
д) точку M 3;4; 5				и параллельно векторам a 3;1; 1 ,	b 1; 2;1
е) точки M1 3; 1; 4				, M2 5; 2; 6 , M3 2; 3; 3 .

;

192. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит через: а) точку А(–3; 1; –2) и ось Ох; б) точку А(–3; 1; –2) и ось Оу;

в) начало координат и точки M(2; 1; 2) и N (1; –2; 3);

г) точку M(2; –3; 5) параллельно плоскости 3x y 4z 1 0.

д) точки

2x 7y 5z

M	1;
1
9 0

1; 1

;

и	M
	2

2;3;4

,

перпендикулярно плоскости

е) точку

M 7; 5;1

и отсекает на осях координат равные положитель-

ные отрезки;

ж) точки А(3; –1; 2) и В(2; 1; ) параллельно вектору a 5; 2; 1 .

193. Даны точки M1 3; 0; 4	и M2 5; 6; 9 . Записать уравнение плоскости,
проходящей через точку M	перпендикулярно к вектору M M	2	.
1	1

194.

M1(1;

Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки1; 2) и M2(3;1;1) перпендикулярно плоскости x 2y 3z 5 0 .

195. Составить уравнение плоскости, c 5 и перпендикулярной к вектору n

отсекающей на оси Oz отрезок

( 2;1;3) .

196. Составить уравнение плоскости, походящей через точку N (2; –1; 1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей: 3x y z 1 0

и x y 2z 1 0.

197. Найти косинусы углов между двумя плоскостями:

а) 2x y 2z 6 0	;	2x 2y z 8 0	;
б) 2x 2y z 2 0	;	x y z 5 0;
в) x 2y 2z 3 0; 3x 4y 5 0 .

198. Выяснить, при каком значении k следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости:

47

а) б) в)

3 7 x

x 5y kz 3 0; x 3y 2z 5 0 x 2y z 0; kx y 3z 1 0;

4y z 1 0; 2x ky 10z 3 0 .

;

199. Установить, какие из следующих пар плоскостей пересекаются, параллельны или совпадают:

а) б) в) г) д) е)

3x 2y z 2 0 ; 6x 4y 2z 1 0;

x 3z 2 0; 2x 6z 7 0;

3x y 5z 12 0; 2x 6z 3 0;

2x 3y z 8 0 ; 4x 6y 3z 7 0 ; 5x 2y 3z 5 0; 10x 4y 6z 5

3x 7y z 4 0; 9x 21y 3z 12

0

;

0 .

200.

а) б) в)

Найти расстояние между параллельными плоскостями:

x 2y 2z 7 0 ; 2x 4y 4z 17 0;
6x 2y 4z 15 0 ; 9x 3y 6z 10 0	;
3x 6y 2z 35 0; 3x 6y 2z 7 0 .

201.

4x

Вычислить объем

3y 12z 10 0

и

куба,

4x 3y

две грани

12z 3 0

которого лежат в плоскостях

.

202. Составить уравнения плоскостей, делящих пополам двугранные углы, гранями которых служат плоскости:

а) 3x y 7z 4 0	;	5x 3y 5z 2 0;
б) 2x y 5z 3 0	;	2x 10y 4z 2 0	;
в) 5x 2y 5z 3 0		; 2x y 7z 2 0 .

Ответы. 185. а) y 2					; б) y 0 ; в) 2x 3y z 11 0 ; г) 2x y 2
189. а) пересек.; б) совп. 194. 4x y 2z 9 0												. 195.	2x y 3z 15
197. а) 0; б)		1		. 200. а)	1	; б)		25			.
					2
3		3					2	126

13 Прямая в пространстве. Прямая и плоскость



0 0

.

.

Существуют различные способы задания прямой в пространстве, выпишем соответствующие им уравнения:

1.	A1x B1y C1z D1	0,	– общие уравнения прямой в пространстве:
	A2x B2y C2z D2	0;

прямая в пространстве определяется как линия пересечения двух плоскостей.

2.

x x			y y			z z
	0			0		0
m			n			p

– канонические уравнения прямой в про-

странстве с направляющим вектором s (m,n, p) и точкой (x0,y0,z0 ) , лежащей на прямой.

48

	x
3.
	y
	z

где s

x	0	mt,

y	0	nt,	– параметрические уравнения прямой в пространстве,
z		pt,
0
(m,n, p) – направляющий вектор, t				– параметр.

4.

x x				y y						z z
		1					1				1
x	2	x		y	2	y		1		z	z
		1								2	1

– уравнения прямой в пространстве, про-

ходящей через две заданные точки M (x ,y ,z ) и M					(x	,y	2	,z	) .
1	1	1	1	2	2			2

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями:

L :

x x1

y y1

z z1

; L :

x x2

y y2

z z2

.

1

m1

n1

p1

2

m2

n2

p2

Тогда величина угла между ними определяется как величина угла между их направляющими векторами и может быть найдена по формуле:

cos cos(s ,s		)	s	s			m m			n n				p p
			1	2				1	2			1	2			1 2
1	2		s	s	m	2	n	2	p		2		m		2	n	2	p	2
			1	2	1		1			1				2		2		1

.

Условие параллельности прямых L1

и

Условие перпендикулярности прямых

			x x
	Угол между прямой	L :	0
			m

L2	:	m					n
			1				1
		m					n
			2				2
L	и L				: m m
1			2				1	2
y y						z z
			0					0
	n						p

	p
	1	.
	p
	2

n1n2 p1p2 0 .

иплоскостью

:

Ax By Cz D 0

определяется по формуле:

sin		| Am Bn Cp |											.
	2	B	2	C	2			2	n	2	p	2
A							m
Условие параллельности прямой L и плоскости :													Am

Условие перпендикулярности прямой L и плоскости :

Bn

mA

Cp

Bn Cp

0

.

.

x x

y y

0

z z

Расстояние от точки

M1

до прямой

L :

0

0

m

n

p

| M M

1

s

|

по формуле: d

0

, где s (m,n, p) .

| s

|

находят

Расстояние

между

скрещивающимися

прямыми

L :

x x1

y y1

z z1

и L :

x x2

y y2

z z2

можно найти по

1

m1

n1

p1

2

m2

n2

p2

M1M2, s1, s2

формуле: d

, где M1 x1,y1,z1 ,M2 x2; y2; z2 .

| s1 s2 |

Рассмотрим в пространстве плоскость : Ax By Cz D 0 и пря-

49

			x x			0	mt;
мую L , заданную параметрическими уравнениями L :							nt;
			y y			0
				z z			pt.
					0
Чтобы определить взаимное расположение плоскости							и прямой L	,
рассмотрим уравнение: A x0 mt B y0 nt C z0			pt D 0 . Отсю-
да:
t Am Bn Cp Ax By	0	Cz D .					(4)
0		0
1) Если Am Bn Cp 0, то уравнение (4)	имеет единственное реше-

ние, а, значит, прямая пересекает плоскость в одной точке. При этом,

	Ax By			0	Cx	D
t	0				0		и	координаты	точки	пересечения
	Am Bn Cp
x	mt; y	0	nt; z pt .
0					0
2) Если			Am Bn Cp 0				и	Ax0 By0 Cz0 D 0, то уравнение (4)

имеет бесконечно много решений, а следовательно, прямая лежит в плоскости.

3) Если Am Bn Cp 0 и Ax0 By0 Cz0 D 0 , то уравнение (4) не имеет решений а, значит, прямая параллельна плоскости.

Задания для аудиторной работы

203. Составить канонические уравнения прямой,

а) точку	M0(2;0;3)	параллельно вектору a (3;
б) точку	A(1;2;3) параллельно оси Ox;
в) точки M1(1;2;3)		и M2(4;4;5) .

проходящей через:

2; 2)

;

204. Привести	к каноническому виду общее уравнение прямой
x 2y 3z 4 0;
	0.
3x 2y 5z 4

205.	Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точ-
	3x y 2z 2 0;
ку M1(2;3; 5) параллельно прямой
	x 3y 2z 3 0.
206.	Установить взаимное расположение двух прямых:

а)

б)

x 2 y z 1 и 4 3 2

2x 3z 2 0;

2y z 6 0; и

x 5 8t;y 4 6t;

z 3 4t;

x 12z 49 0;4y 37z 148 0.

50