Из уравнения связи выразим переменную x = 4 − 2 y и подставим

в выражение для функции. Получим функцию одной переменной y.

z = −(4 − 2 y)2 − y2 + 4(4 − 2 y) − 4 y + 7,

z( y) = 4 y −5 y2 + 7.

Находим ее первую производную, приравниваем ее к нулю, получим точку, в которой возможен экстремум:

′		= 4 − 2 0, 4 = 3, 2.
z ( y) = 4 −10 y, 10 y = 4, y = 0, 4; x
Так как	′′	M (3, 2; 0, 4) - точка условного
	z ( y) = −10 < 0, то точка
максимума и zmax = z(3, 2; 0, 4) = 7,8.
	Занятие 7. Неопределенный интеграл.

1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной. Теоретические сведения.

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной от функции f (x) на данном промежутке (a,b), если F′(x) = f (x) на

этом промежутке.

Если у данной функции существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Две различные первообразные от одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f (x) на некотором промежутке (a,b) называется множество всех

первообразных этой функции на этом промежутке и обозначается ∫ f (x)dx, то есть

∫ f (x)dx = F(x) +C, где C - произвольная постоянная.

Нахождение неопределенного интеграла от функции f(x) называется интегрированием данной функции. Эта операция является обратной дифференцированию.

Простейшие методы интегрирования включают в себя нахождение неопределенных интегралов с помощью основных правил интегрирования и таблицы интегралов, интегрирование путем внесения производной под знак дифференциала.

39

Основные правила интегрирования.

1. ∫af (x)dx =a∫ f (x)dx, a = const.

2.∫( f (x) ± g(x))dx = ∫ f (x)dx ± ∫g(x)dx.

3.Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при замене переменной интегрирования на любую

дифференцируемую

функцию

от

нее,

то есть

если

∫ f (x)dx = F(x) +C,

и

u =u(x)

- дифференцируемая функция, то

∫ f (u)du = F(u) +C.

Таблица интегралов.

1

∫xndx =

xn+1

+C, n ≠ −1.

2.

∫dx = ln x +C.

n +1

x

3.

∫a

x

dx

=

ax

+C .

4

∫exdx = ex +C .

ln a

5.

∫sin xdx = −cos x +C .

6.

∫cos xdx =sin x +C.

7.

∫

dx

=tgx +C.

8

∫

dx

= −ctgx +C.

2

x

2

x

cos

sin

9

∫

dx

=

1 arctg

x

+C.

10.

∫

dx

= arctgx +C.

a

2

2

a

1

+ x

2

+ x

a

11.

∫

dx

= arcsin

x

+C.

12.

∫

dx

= arcsin x +C.

a2 − x2

a

1 − x2

13.

∫

dx

=

1

ln | a + x | +C .

14.

∫

dx

= ln | x + x2

± a2 | .

a

2

2

− x

2a

a − x

x2 ± a2

Из третьего основного правила интегрирования вытекает, что все интегральные формулы 1 - 14 остаются справедливыми, если в них вместо переменной x подставить некоторую дифференцируемую функцию от x. При этом для сведения рассматриваемого интеграла к табличному интегралу иногда достаточно представить дифференциал dx по одной из формул операция «поднесение под знак дифференциала):

1.dx =d(x + a),	2.dx =	1 d(ax),	3.dx =	1 d(ax +b).
		a		a

Примеры. Найти неопределенные интегралы:

40

1.∫(4x

3

3

2

2

поправилам1, 2и

3

2

− 2

x

+

+1) = табличномуинтегралу1

=4∫x

dx − 2∫x3 dx +

x3

+2∫x−3dx + ∫dx

= 4

x4

−

2

3 x53

+ 2

x−2

+ x + c = x4 −

6 3 x5

−

1

+ x + c.

−2

2

4

5

5

x

2.∫

dx

=

∫

dx

=

1 ∫

d(4x)

= 1 ln | 4x + 16x2 +9 | +C.

16x2 +9

(4x)2 +32

(4x)2 +32

4

4

3.∫

dx

= ∫(2x −1)−5 dx =

1

∫(2x −1)−5 d(2x −1) =

1

(2x −1)−4 +C =

(2x −1)

5

2

−8

= −

1

+C.

8(2x −1)4

4.∫

dx

=

1

∫

d(6x)

= −

1 ctg6x +C.

2

6

2

sin

6x

sin

6x

6

5.∫cos(x4 + x)(4x3 +1)dx =∫cos(x4 + x)d(x4 + x) = sin(x4 + x) +C .

6.∫

dx

= ∫

d(x +1)

=

1

arctg

x +1

+C.

x

2

+ 2x

+3

(x

+1)

2

+

2

2

2

После выделения полного квадрата в знаменателе и поднесения под дифференциал воспользовались табличным интегралом 9.

В последующих примерах будет применен метод внесения

производной

под

знак дифференциала.

Он

основан

на

использовании

формулы

′

из

которой,

в

ϕ (x)dx = d(ϕ(x)),

частности, следует, что:

1

2 ′

1

2

2

1

3

′

1

3

xdx =

2 (x

) dx =

2 d(x

),

x

dx =

3 (x

) dx = 3 d(x

),

dx

′

′

cos xdx = (sin x) dx = d(sin x),

x = (ln x) dx = d(ln x),

′

′

sin xdx = −(cos x) dx = −d(cos x),

x

x

x

e

dx =

(e

) dx = d(e

),

dx

′

= d(tgx),

dx

′

cos2 x

= (tgx) dx

sin2 x = −(ctgx) dx = −d(ctgx),

41

dx

′

dx

′

1 + x2

1 − x2

= (arctgx) dx = d(arctgx),

= (arcsin x) dx

= d(arcsin x).

Примеры. Найти неопределенные интегралы:

1.∫x

2

3

1

3

1

3

′

1

∫(4

3

1

3

2

3

3

4 + x

2

) dx =

2

d(4

2

dx

=

3 ∫(4

+ x

)

(4

+ x

3

+ x

)

+ x

) = 9 (4

+ x

)

+C

=

=

2

(4 + x3 )3 +C.

9

2.∫

dx

=∫(ln(x +1))′dx =

∫d(ln(x +1)) = ln | ln(x +1) | +C .

(x

+1) ln(x +1)

ln(x +1)

ln(x +1)

dx

′

d(arcsin x)

3.∫

= ∫

(arcsin x) dx

=

∫

= ln | arcsin x |

+C.

arcsin x

1 − x2

arcsin x

arcsin x

Аудиторные задания.

Найти неопределенные интегралы

∫

5

8

4x

3

1

∫

6

15

1.

2

x

−

+

dx,

2.

−

dx, 3.

−5(3x +1)

dx,

x3

x3

5x2

+ 4x)13

∫

+ 4

3x2 − 4

(2

4.∫(2sin(1 −6x) +

4e3+5x )dx, 5.∫4 sin x cos xdx,

6.∫

1 +ln x

dx

,

7.∫

dx

,

x

sin2 (1 −3x)

8.∫

dx

,

9.∫

x3dx

,

10.∫

tg4 x

dx, 11.∫

2x −5

dx,

12.∫

e3x

dx.

2x

2

+ 6x

+ 4

5 + x4

cos

2

x

1 − x2

e

6 x

+ 25

42

Индивидуальные задания.

Вариант 1

Вариант 2

1.∫

9

10

4x4

1.∫

5

1

8

x

2 x

−

6

+

dx,

9 x

−

−

2

dx,

x

x3

2x

x

7

1

3

1

2.∫

−

dx,

2.∫

+

dx,

4x2 + 4

3x

2

+

18

1 − 2x2

2x

2

− 4

∫

1

10

∫

6

9

3.

−(3x + 4)

dx,

3.

+

(5x +

3)

dx,

(2x −1)5

(7x −11)13

4.∫(2sin(1 −8x) + 6e3+4 x )dx,

5.∫sin xcos−2 xdx,

5.∫sin xcos2 xdx,

6.∫

ln4 (x − 2)dx

,

6.∫

dx

,

(x − 2)

dx

x

2

+ 4x + 20

7.∫

.

sin2 (3x + 2)

7.∫

dx

.

cos

2

2)

(3x +

Вариант 3

Вариант 4

1.∫

5

5

7x

1.∫

3

5

2x2

2 x

−

+

dx,

4 x

−

−

dx,

x

4

x3

x

3

x3

3

1

2.∫

2

1

2.∫

−

dx,

−

dx,

2x2 + 4

3x

2

+ 4

4 − x2

3x

2

+

1

2

20

7

10

3.

−(8x +

7)

dx,

3.

+

(4 −

5x)

dx,

(8

+3x)15

(2 +8x)13

∫

∫

4.∫(2sin(4 −5x) +8e3+5x )dx,

4.∫(3sin(4 −6x) +5e7 x+8 )dx,

5.∫

sin x cos xdx,

5.∫cos xdx5

,

6.∫

dx

sin

x

dx

x2 + 4x + 6

6.∫

1 + ln(x + 4)

,

x +

4

7.∫

dx

.

dx

сos2 (3 + 7x)

7.∫sin2 (7 − 4x) .

43