Общее решение данного уравнения равно сумме общего

решения y соответствующего однородного уравнения и некоторого частного решения y* неоднородного уравнения.

Составляем и решаем соответствующее однородное уравнение.

y : y′′+ 6 y′ = 0, k2 + 6k = 0, k1 = 0, k2 = −6, y = C1 +C2e−6 x.

Частное решение данного уравнения будем искать методом неопределенных коэффициентов, его вид зависит от правой части уравнения и корней характеристического уравнения.

y : f (x) = (3x2	+ 2x − 4) e0 x , α = 0 = k , ν =1, y = x(ax2		+bx + c) .
*	1	*
Находим первую и вторую производные функции
	y = ax3 +bx2	+ cx,
	*

y*′ = 3ax2 + 2bx + c, y*′′= 6ax + 2b.

Подставляем в уравнение, приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x :

6ax +		2b + 6(3ax2 + 2bx + c) = 3x2 + 2x − 4,				18a	= 3,
18ax2		+ (6a +12b)x + (2b + 6c) = 3x2 + 2x − 4,				6a +12b = 2,
						2d + 6c = −4.
Отсюда получим значения коэффициентов
			1	,
a =			6
	1
b =				,
	12
			25		.
c = −			36

Выписываем частное и общее решение данного уравнения.

y

=

x3

+

x2

−

25x y = C

+C

e−6 x +

x3

+

x2

−

25x ,C ,C

2

R.

*

6

12

36

1

2

6

12

36

1

Занятие 10. Числовые и функциональные ряды.

1. Числовые ряды. Теоретические сведения.

60

Числовым (функциональным) рядом называется бесконечная сумма чисел (функций), образующих последовательность:

		∞
u1 + u2 + ... + un + ... = ∑un - числовой ряд,
		n=1	∞
u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ... = ∑un (x) - функциональный ряд.
			n=1
Ряд считается заданным, если известна формула его общего
члена	как	функция	номера:	un = f (n), n N,	или

un (x) = f (n, x), n N.

Сумма u1 + u2 +... + un = Sn называется n-ой частичной суммой

числового ряда.		называется	конечный	или	бесконечный
Суммой	ряда
lim Sn = S.	Ряд,	имеющий	конечную	сумму,	называется
n→∞

сходящимся; в противном случае – расходящимся.

Эталонные ряды.

1. Рядом бесконечной геометрической прогрессии называется ряд вида

∞

a

,если

q

<1;

a + aq + aq2 + aq3 +... + aqn−1 +... = ∑aqn−1 = 1 − q

.

n=1

если

q

≥1.

∞,

2. Гармоническим рядом называется ряд вида

∞

=1 + 1

+ 1

+... + 1

+... = ∞.

∑1

n=1 n

2

3

n

3. Обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихле)

	называется ряд вида
	∞	1
			сходится, если p >1,
	∑		=
		n p		расходится, если 0	< p ≤1.
	n=1

				∞
Необходимый		признак сходимости.	Если	ряд ∑un
				n=1
сходится,	то его общий член стремится к нулю при			n → ∞, т.е.
lim un = 0.	Причем,	если lim un ≠ 0 , то ряд	∞	расходится;
			∑un -
n→∞		n→∞	n=1

если lim un = 0 , то ряд может сходиться, а может и расходиться.

n→∞

61

	Достаточные		признаки	сходимости					рядов	с
	положительными членами.				un
	1. Признак сравнения. Если			lim			= A (≠ 0 ; ≠ ∞) , то ряды
	∞	∞		n→∞ vn
	∑un и	∑vn ведут себя одинаково, т.е. сходятся или расходятся
	n=1	n=1
	одновременно.							lim un+1 = l , то при
	2. Признак Даламбера. Если существует
		∞						n→∞ un
	l <1 ряд ∑un -сходится; при l >1 – расходится; при l =1 – признак
		n=1
	не дает ответа.
	3. Признак Коши.		Если существует				lim n	un =l ,	то при	l <1
	∞						n→∞
	ряд ∑un -сходится; при l >1 – расходится; при l =1 – признак не
	n=1
	дает ответа.							∞	∞
	4. Интегральный		признак	Коши.			Ряд	∑un = ∑ f (n) и
			∞					n=1	n=1
	несобственный интеграл ∫ f (x) dx			ведут			себя одинаково,			т.е.
			1

сходятся или расходятся одновременно.

2. Знакопеременные ряды.

Знакопеременный числовой ряд содержит как положительные, так и отрицательные члены. Знакопеременный

∞
ряд ∑un называется абсолютно сходящимся, если					сходится
n=1					∞
∞
ряд, составленный из модулей его членов, т.е. ∑		un		.	Ряд ∑un
n=1					n=1

62

∞

называется условно сходящимся, если ряд ∑un сходится, а ряд

n=1

∞

∑ un расходится.

n=1

Ряд, у которого любые два соседних члена имеют разные знаки, называется знакочередующимся.

Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

∞

u1 − u2 + u3 − u4 +... + (−1) n−1 un +... = ∑(−1) n−1 un , un > 0,

n=1

сходится, если:

1) его члены по абсолютной величине убывают u1 > u2 > u3 >... > un >... ;

2) limun = 0 .

n→∞

3. Степенные ряды.

Степенными рядами называются функциональные ряды

вида

∞

∑an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn + ...,

n=0

или

∞

∑an (x − x0 ) n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) 2 + ... + an (x − x0 ) n +...,

n=0

где a0 , a1, ..., an ,... - известные действительные числа –

коэффициенты степенного ряда.

Множество значений x , при которых степенной ряд сходится,

называется областью сходимости.

Примеры. Исследовать на сходимость числовые ряды:

∞

2n

∞

4n2 +1

n

∞

3n2 + 4

1. ∑

; 2. ∑

; 3.

∑

.

3n

2

6

+ 6n +1

n=1

(3n +1) n!

n=1

+ 2n

n=1 n

Решение.

∞

2

n

2

2

2

2

3

2

4

1. ∑

=

+

+

+

+

... . Для исследования

(3n +1) n!

4 1

7 2

10 6

13 24

n=1

ряда на сходимость удобно применить признак Даламбера. Для

63

этого выписываем n-ый член ряда и (n+1)-ый член ряда (вместо n подставляем (n+1)), имеем:

	un =	2n			; un+1 =	2n+1		=	2n+1		,
		(3n +1)	n!			(3(n +1) +1) (n +1)!			(3n + 4) (n +1)!

где

n!

= (эн-факториал) =

1 2 3 ... n ;

(n +1)!= n!(n +1).

вычисляем предел отношения:

lim

u

n+1

= lim

2n+1 (3n +1) n!

= lim

2 (3n +1)

= 0 <1,

n!(n +1) 2n

(3n + 4) (n +

1)

n→∞

un

n→∞ (3n + 4)

n→∞

данный ряд сходится.

∞

4n2 +1

n

17

2

37

3

2.

∑

=1

+

+

+... .

В данном

3n

2

+ 2n

n=1

16

33

Тогда

значит,

случае

4n2 +1 n

применим

признак

Коши.

В

данном случае

un =

.

Вычисляем предел:

3n2 + 2n

lim n un

4n2 +1 n

4n2 +1

4

= lim n

= lim

=

>1,

значит,

данный

n→∞

n→∞

3n2 + 2n

n→∞ 3n2 + 2n

3

ряд расходится.

∞

3n

2

+ 4

3.

∑

.

В данном

случае

применение

признака

6

n=1 n

+ 6n +1

Даламбера ответа не даст, так как lim un+1 =1. Применим признак

n→∞

un

∞

1

сравнения, сравним

его с

рядом ∑

,

который сходится как

4

n=1 n

p = 4 >1.

обобщенный гармонический ряд с показателем степени

Проверим возможность такого сравнения.

Составим отношение

общих членов

этих

рядов.

Так

как

u

n

=

3n2 + 4

,

v =

1

,

то

n6 + 6n +1

n

n4

4

un

(3n2

+ 4) n4

3 +

lim

= lim

= lim

n2

= 3

≠ 0 ≠ ∞.

n6 + 6n +1

6

1

n→∞ v

n→∞

n→∞

n

1 + n5 + n6

Отсюда следует, что оба ряда ведут себя одинаково, т.е.

сходятся.

64

Пример 4. Исследовать знакочередующийся ряд на абсолютную и условную сходимости. Вычислить приближенно

сумму S этого ряда, заменив ее частичной суммой Sn. Оценить
погрешность такой замены.
∞	n−1 4n +1
∑(−1)				, n = 5.
	6		n
n=1

Решение. 1. Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Составим

∞

4n +1

ряд из модулей: ∑

.

И для исследования применим признак

6

n

Даламбера:

n=1

un =

4n +1; un+1

= 4(n +1) +1

= 4n +5

,

6n

6n+1

6n+1

lim

u

n+1 = lim

(4n +5) 6n

=

1

lim

4n +5

=

1

<1,

6

n→∞

un

n→∞ 6n+1(4n +1)

6 n→∞ 4n +1

∞

∞

значит,

ряд

∑un

сходится,

а

ряд ∑(−1) n−1un сходится

n=1

n=1

абсолютно.

Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится и условно. Вычислим его сумму приближенно, заменив сумму ряда частичной суммой первых пяти членов, и оценим допускаемую при этом погрешность. При такой замене ошибка по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов, в данном случае шестого члена.

	∞	4n n+1		5		9		13		174		215		256 + = S,
	| S − S5 |=| r5 |≤ u6 , ∑(−1)n−1		=		−		+		−		+		−
				6		36		216
	n=1	6								6		6		6

u6 = 25 = 0,0005358 < 0,001.

66

Вычисления ведем до четырех знаков после запятой, а

затем округляем результат до тысячных долей.

S ≈ S5 =

5

−

9

+

13

−

17

+

21

= 0,8333 − 0,2500 + 0,0602 − 0,0131 + 0,0003 =

6

36

216

1296

7776

= 0,6307 ≈ 0,631;

S = 0,631 ± 0,001.

Пример 5. Найти интервал абсолютной сходимости степенного

∞

3n + 2

ряда ∑

(x + 4)n .

n=1

n +1

65

Решение. Чтобы найти интервал его абсолютной сходимости,

применим к ряду из модулей признак Даламбера

un (x)

=

3n + 2

x + 4

n ,

un+1 (x)

=

3n + 5

x + 4

n+1 ,

(n +1) 7 n

(n + 2) 7 n+1

un+1 (x)

(3n + 5)

x + 4

n+1 (n +1) 7 n

x + 4

lim

= lim

=

×

un (x)

n→∞

n→∞ (n + 2) 7 n+1 (3n + 2)

x + 4

n

7

×lim

(3n + 5)(n +1)

=

x + 4

lim

3n2

=

x + 4

.

(n + 2)(3n + 2)

3n2

7

n→∞

7

n→∞

x + 4

Если

<1

x + 4

< 7 − 7 < x + 4 < 7

−11 < x < 3, то

7

данный ряд сходится абсолютно.

Если

x + 4

>1

x + 4

> 7 т.е.

x + 4 > 7,

x > 3,

x + 4 < −7.

x < −11,

7

т.е. x (−∞;−11) (3; + ∞),

то степенной ряд расходится.

Если

x + 4

=1

x + 4

= 7

x = −4 ± 7,

то

признак Даламбера

7

ответа не дает.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости, т.е. при x = −11 и x = 3 .

3) x = −11:

∞

(3n + 2) (−11 + 4)n

∞

(3n + 2)

7

n

∞

n 3n + 2

∑

= ∑

(−

)

=

∑(−1)

.

(n +1) 7

n

(n +1)

7

n +1

n=1

n=1

n=1

Так как

lim u

= lim

3n + 2

= 3 ≠ 0, то

есть

не

выполняется

n

n +1

n→∞

n→∞

необходимый признак сходимости, то ряд расходится.

		∞	(3n + 2) (3 + 4)n		∞	3n + 2
	4)	x = 3 . ∑		n	= ∑		,	ряд расходится, т.к.
			(n +1) 7			n +1
		n=1			n=1

его общий член не стремится к нулю при n → ∞.

Таким образом, областью сходимости данного степенного ряда является интервал −11 < x < 3.

Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда по

∞	4n	2	−1
степеням x ∑					xn .
	4		+ 3
n=1	n

66

Решение. Составляем ряд из модулей и применяем признак Даламбера

∞

4n

2

−1

∑

x

n ,

4

n=1

n

+ 3

(4 (n +1)2

−1)

x

n+1

(n4 + 3)

lim

un+1

= lim

=

x

lim

4n2

n4

=

x

.

n→∞

un

n→∞ ((n +1)4

+ 3) (4n4

−1)

x

n

n→∞ n4 4n2

x

Если

x

<1 −1 < x <1,

то ряд сходится абсолютно. Если

>1,

т.е.

x (−∞;−1) (1; + ∞), то исходный ряд расходится.

При x = −1 и x =1 нужны дополнительные исследования.

=∑∞ 4n2 −1

1)x 1: n4 +3 . Очевидно, что ряд сходится по признакуn=1

∞

1

сравнения

со

сходящимся

рядом

∑

,

т.к.

n2

4n2

(4n2 −1) n2

n=1

−1

1

lim

:

= lim

= 4.

n→∞ n4

+ 3 n2

n→∞

n4 + 3

∞

n 4n2 −1

. Данный ряд сходится абсолютно.

2) x = −1: ∑(−1)

n

4

+3

n=1

Следовательно, областью сходимости исходного степенного ряда является отрезок x [−1;1].

Аудиторная работа.

Исследовать на сходимость знакоположительные числовые ряды:

∞

n +5

∞

4

n

∞

2n + 7

∞

1

∞

2n

∞

4n

1. ∑

; 2. ∑

; 3.

∑

n

; 4. ∑

; 5. ∑

; 6.∑

.

n

5

9n

4

n!

n=1

n=1

5

n=1

n=1 n

n=1

+1

n=1

Исследовать знакочередующиеся ряды на абсолютную и условную сходимости:

∞		1		∞	n−1
7. ∑(−1)n−1			;	8. ∑	(−1)	.
					n
n=1		2n +1		n=1	3

Найти область сходимости степенных рядов:

∞	xn	∞			(x − 7)n			.
9. ∑	;	10. ∑	5	n	(3n	2	+1)
n=1	n n	n=1

67

Индивидуальные задания.

Найти область сходимости степенных рядов:

Вариант 1

∞

2n +1

∞

(x +

2)

n

1.

∑

xn .

2.

∑

.

n

2

+1

n=1

3

n=1

4n

Вариант 2

∞

4n −1

∞

n +

1

1.

∑

xn .

2.

∑

(x −3)n

n!

3

n=1

n=1

n

Вариант 3

∞

2n +1

∞

5n +

1

1.

∑

xn .

2.

∑

(x + 6)

n

4

n=1

5

n=1

n

Вариант 4

∞

6n −1

n

∞

(x −8)n

1.

∑

x

.

2.

∑

.

n

2

n 2

n

n=1

n=1

68