ЗЗВ / 07. Електромагнітні коливання

5

41. Електричний коливальний контур. Власні електромагнітні коливання.

Електричний коливальний контур

Коливальним контуром називають електричний ланцюг, який складається з з’єднаних між собою конденсатора і котушки індуктивності. (Рис. 16),

Для спрощення математичних викладок розглядатимемо ідеальний коливальний контур – це контур, у якому не відбувається втрат електромагнітної енергії під час здійснення електричних коливань. У ідеального коливального контуру електричний опір відсутній (R=0).

_{Власні е}лектромагнітні коливання (явище)

1. Знайомство з явищем.

_{Якщо конденсатор коливального} (Рис. 17), контуру зарядити і від’єднати від джерела електричного струму за допомогою перемикача (перемкнути з положення 1 у положення 2) то у контурі виникнуть електричні коливання, які можна спостерігати за допомогою осцилографа.

_{2. Визначення.} Періодичну зміну значень заряду, сили струму і напруги називають електричними коливаннями.

Періодичну зміну електричних і магнітних полів називають електромагнітними коливаннями.

3. Умови виникнення явища. Коливання виникають при умові: а) наявність коливального контуру; б) у початковий момент потрібно надати енергію до коливального контуру, це можна зробити двома способами або на початку зарядити конденсатор коливального контуру, або за допомогою змінного магнітного поля створити ЕРС індукції у котушці коливального контуру.

4. Математичний опис. Диференціальне рівняння власних електромагнітних коливань, що виникають у контурі має вигляд , де

розв’язок, якого можна описати графічно і аналітично. Причому вид графіків і рівнянь залежить від способу збудження коливань. При збудженні коливань зарядкою конденсатора графіки мають наступний вигляд (див. Рис 18), а рівняння коливань такі:

q = Q₀cosωt;

u = U₀cosωt;

i = -I₀sinωt.

У разі збудження коливань створенням ЕРС індукції в котушці коливального контуру графіки мають вигляд (рис. 19), а рівняння коливань такі:

q = Q₀sinωt;

u = U₀sinωt;

i = I₀cosωt.

Де q – миттєве значення заряду; u – миттєве значення напруги; i– миттєве значення сили струму; Q₀ – амплітудне значення заряду U₀ - амплітудне значення напруги; I₀ – амплітудне значення сили струму;  - циклічна частота.

* Миттєві значення фізичних величин (сили струму, напруги, заряду) – це їхні значення в даний момент часу, тобто це змінні з часом величини.

* Амплітудні значення фізичних величин (сили струму, напруги, заряду) – це їхні максимальні значення.

Амплітудні значення фізичних величин незатухаючих електромагнітних коливань не залежать від часу.

5.Пояснення явища на основі закону збереження енергії.

Формула Томсона

1. Період електромагнітних коливань залежить від індуктивності і ємності коливального контуру.

2. Визначення. Період власних електромагнітних коливань – це час одного повного електромагнітного коливання у коливальному контурі.

3. Період власних електромагнітних коливань – це скалярна величина.

4. , де L – індуктивність котушки контуру; С – ємність конденсатора контуру. Ця формула дістала назву формули Томсона, на честь видатного англійського фізика У. Томсона, який отримав її вперше.

5. [T] = с (Секунда).

42. Перетворення енергії у коливальному контурі

Роздивимося малюнки а, б, в, г (Рис.20).

а. В момент часу t = 0 заряджають конденсатор – в середині конденсатора утворюється електричне поле з енергією W_Cmax.

б. Протягом часу від 0 до Т/8 конденсатор розряджається через котушку. У котушці з’являється електричний струм, який створює магнітне поле в котушці. Сила струму в котушці не наростає миттєво, так як йому протидіє ЕРС самоіндукції.

Таким чином енергія електричного поля конденсатора W_C поступово переходить в енергію магнітного поля котушки W_L.

в. В момент часу t = Т/4 конденсатор повністю розряджається. Напруга на ньому відсутня. Але внаслідок явища самоіндукції, через котушку тече максимальний струм І₀. Тобто вся енергія електричного поля конденсатора W_Cmax перетворилася в енергію магнітного поля котушки W_Lmax. Далі сила струму в котушці починає зменшуватися але його миттєвому зменшенню знову таки протидіє ЕРС самоіндукції. Тобто тепер котушка відіграє роль джерела електричного струму, що заряджає конденсатор до початкового заряду; при цьому знак заряду на пластинах конденсатора стає протилежним попередньому.

г. В момент часу t = Т/2 вся енергія магнітного поля котушки перетворилася на енергію електричного поля конденсатора.

Далі процес повторюється.

Таким чином, для електромагнітних коливань виконується закон збереження енергії. W_Cmax = W_L + W_C = W_Lmax;

.

43. Затухаючі електричні коливання. Диференціальне рівняння затухаючих електричних коливань та його розв’язок. Вимушені електричні коливання, їх диференціальне рівняння.

В реальному контурі мають місце такі втрати енергії:

1) теплові втрати, так як R≠0;

2) втрати в діелектрику конденсатора;

3) гістерезисні втрати в осерді котушки;

4) втрати на випромінювання і ін.

Диференціальне рівняння затухаючих електричних коливань має вигляд:

, а його розв’язок .

В даних рівняннях q – заряд конденсатора коливального контуру, Q₀ – амплітуда заряду на початку затухаючих коливань, - коефіцієнт затухання, - циклічна частота затухаючих коливань, φ₀ – початкова фаза коливань..

Вимушені електричні коливання, їх диференціальне рівняння.

1. Якщо розглядати коливальний контур, то для отримання вимушених коливань (рис. 22), потрібно включити послідовно з елементами контуру змінну ЕРС або, розірвавши контур, подати змінну напругу U=U₀cos.

2. Визначення. Вимушені електричні коливання – це електричні коливання, які виникають під дією змінної ЕРС.

3. Умови виникнення: а) існування коливального контуру; б) наявність джерела змінного струму, приєднаного до контуру.

4. Диференціальне рівняння вимушених коливаннь в коливальному контурі має вигляд

, розв’язок цього рівняння має вигляд

В даних рівняннях q – заряд конденсатора коливального контуру, - коефіцієнт затухання, Q₀ – амплітуда заряду вимушених коливань, - циклічна частота вимушених коливань, φ₀ – початкова фаза коливань, U₀ – амплітуда напруги вимушених коливань, L - індуктивність коливального контуру.

5. Пояснення явища. Від джерела змінної ЕРС у коливальний контур безперервно надходить енергія, миттєва потужність якої p=iu. У початковий момент енергія, що надходить у коливальний контур, частково перетвориться в енергію коливань, що виникають у контурі, а частково необоротно перетвориться у тепло що розсіюється в просторі. Миттєва потужність необоротно перетвореної в тепло енергії дорівнює p_q=i²R. В міру збільшення амплітуди електромагнітних коливань збільшується величина сили струму у контурі. Зі збільшенням струму зростає енергія, що надходить у контур і енергія, яка необоротно перетворена в тепло. На малюнку 30 приведені графіки зміни миттєвої потужності енергії, що надходить у контур (р), і потужності необоротно перетвореної енергії (p_q). Так як миттєва потужність енергії, що надходить у контур, пропорційна силі струму, а потужність необоротно перетвореної енергії пропорційна квадрату сили струму, то в деякий момент часу вся енергія, що надходить у контур, буде необоротно перетворюватися в теплоту (точка В на рисунку 23), від тепер амплітуда коливань у контурі збільшуватися не буде. У контурі встановлюється стаціонарні вимушені коливання частота яких дорівнює частоті змінної ЕРС.

44. Резонансні криві коливального контуру. _{Характеристичний (хвилевий) опір контуру.} Добротність коливального контуру

1. Знайомство з явищем. Якщо частота коливань змінної напруги, яку підводять до коливального контуру (Рис. 47), співпадає з власною частотою електричних коливань у контурі, то амплітуда коливань сили струму різко зростає. Це явище використовують у радіо і телевізійних приймачах для настройки каналів.

2. Визначення. Різке зростання амплітуди вимушених коливань струму у коливальному контурі при співпадінні частоти зовнішньої змінної напруги з власною частотою коливального контуру називають резонансом струмів.

_{*Прийнято називати резонанс,} що виникає при послідовному з’єднанні котушки з конденсатором резонансом напруг, а резонанс, що виникає при паралельному з’єднанні котушки з конденсатором резонансом струмів. Ми розглянемо резонанс струмів.

3. Умови виникнення явища: а)наявність коливального контуру; б) існування зовнішньої змінної напруги, яка утворює вимушені коливання у коливальному контурі; в) власна частота коливального контуру ω₀ повинна співпадати з частотою коливань зовнішньої змінної напруги ω.

4. Математичний опис. Резонанс наступає тоді, коли частота змінної напруги ω, що підводять до коливального контуру, співпадає з власною частотою коливань коливального контуру ω₀ .

При електричному резонансі , тому з формули маємо , де L – індуктивність котушки контуру; С – ємність конденсатора, а R – електричний опір контуру.

5. Пояснення явища. При резонансі індуктивний і ємнісний опори коливального контуру стають однаковими і компенсують один одного, тому амплітуда коливань сили струму в контурі І₀ буде залежати тільки від напруги, що подається до коливального контуру U₀ і його активного опору R тобто . Так, як активний опір у коливального контуру може бути малим, то амплітуда сили струму у контурі стає великою.

Графік залежності амплітуди коливань від частоти (рис. 24) називають резонансними кривими.

_*При резонансі коливальна система отримує максимальну енергію від зовнішнього джерела змінного струму.

*Зі збільшенням електричного опору коливальномго контуру амплітуда резонансних коливань сили струму зменшується. Так на малюнку 24 крива 1 відповідає коливальному контуру з мінімальним опором, а крива 3 – з максимальним.

_{Характеристичний (хвилевий) опір контуру ρ}

1. Характеристичне опір ρ є кількісною мірою оцінки енергії, запасеної реактивними елементами контуру - котушкою (енергія магнітного поля W_L) і конденсатором (енергія електричного поля W_С)

2. Визначення. Характеристичним (хвилевим) опором контуру ρ називається величина реактивного опору ємності й індуктивності контуру на резонансній частоті.

3. Це скалярна величина.

4. Характеристичне опір може бути обчислено таким чином: .

5. [ρ] = Ом

Добротність коливального контуру Q

1. Добротність коливального контуру - характеристика, що визначає амплітуду і ширину _{амплітудно-частотних характеристик} резонансу (рис. 25) і показує, у скільки разів запаси енергії в контурі більше, ніж втрати енергії за один період коливань.

2. Визначення. Добротністю називають відношення енергії, запасеної реактивними елементами контуру, до енергії омічних (резистивних) втрат за період коливань.

3. Це скалярна величина.

4. _{де R, L і C - опір, індуктивність і ємність резонансного ланцюга.}

5. [Q] = 1.