Лекції по на черталке / Лекция 7 укр

Кафедра "Прикладна геометрія інформаційні технології проектування" ТДАТУ

Викладач: доц. Щербина В.М.

Конспект лекції № 7

з дисципліни "Нарисна геометрія, інженерна та комп'ютерна графіка"

Тема лекції: Взаємоперетин поверхонь. Спосіб січних площин.

Мета та задачі: Показати, що основним інструментом для визначення лінії перетину двох поверхонь є поверхня – посередник (площина).

Знання та вміння, які студенти повинні отримати:

Студенти повинні:

Вміти: 1.Аналізувати умову задачі.

2.Визначати і знаходити опорні точки лінії перетину.

3.Вибирати площину – посередник.

4.Взначати видимість лінії перетину.

План

7.1. Перетин криволінійної поверхні з граною.

7.2. Приклад побудови лінії перетину криволінійної поверхні з граною.

7.3. Побудова ліній перетину двох криволінійних поверхонь.

7.4. Суть способу поверхонь – посередників.

7.5. Приклад побудови лінії перерізу двох криволінійних поверхонь.

Література

1. С. 85–94.

2. С. 163-174.

3. С. 194-201.

4. С. 78-82.

5. С. 185–209.

6. Діафільми "Пересечение поверхностей".

7. Плакати: Л 9-1 ... Л 9-3.

8. Макети: НГ- 36.

7.1. Перетин криволінійної поверхні з граною.

Загальні відомості.

При перетині криволінійної поверхні з граною утворюється просторова лінія, що складається із плоских ланок, які є лінією перетину граней багатогранника з поверхнею. У точках переходу від однієї ланки до другої порушується гладкість кривої, тому що ланки розташовані в різних площинах. Ці точки звуться точками зламу.

Алгоритм побудови лінії перетину поверхні обертання з багатогранником є аналогічним до побудови лінії перетину цієї поверхні з площиною. Під час аналізу завдання додатково треба виявити, що собою являє кожна ланка лінії перетину та як вона проекцюється на площину проекцій.

7.2. Приклад побудови лінії перетину криволінійної поверхні з граною.

Задача 1. Побудувати лінію перетину прямого кругового конуса з вікном від трьох граної призми.

Розглянемо докладніше рішення задачі 1 (рис.7.1).

1. Проводимо допоміжну площину P₂ через ребро призми i радіусом R відмічаємо на цьому ребрі точку A (A₂,A₁).

Через інші ребра проводимо площину P^/ та знаходимо точки E (E₁, E₂) та 1 (1₁, 1₂). та симетричні їм точки E^/ та 1^/ .

Будуємо профільні проекції точок А,E,1 та ті, що їм симетричні.

2. Для знаходження точки меншої осі еліпса CD відрізок AB ділимо навпіл та через його середину проводимо допоміжну площину P^///.

3. За допомогою площин P^// визначаємо проміжні точки 1,2 та їм симетричні 1^/, 2^/.

4. За допомогою площин P^//// визначаємо частину кола яка находится між точками F та K.

5. Отримані точки з’єднуємо плавною кривою.

7.3. Побудова ліній перетину двох криволінійних поверхонь.

Загальні відомості.

У загальному випадку лінією перетину двох алгебраїчних поверхонь є просторова крива, порядок якої визначається добутком порядків заданих поверхонь. Наприклад, лінією перетину двох поверхонь другого порядку є крива четвертого порядку, яка може розпадатися на дві криві другого порядку, чотири прямі та інші сполучення.

Осі поверхонь обертання, якщо вони паралельні або перетинаються, визначають площину симетрії лінії перетину. При проекцiюваннi кривої на площину симетрії порядок кривої зменшується в стільки разів, скільки її точок знаходиться на проекцiюючому промені. Отже, лінія перетину двох поверхонь другого порядку, які мають загальну площину симетрії, проекцiюються на цю площину, та на площину, їй паралельну, у вигляді кривої другого порядку.

Наприклад, у вигляді параболи – у випадку перерізу сфери з конусом або циліндром, гіперболи – у випадку різноманітних варіантів перетину конусів та циліндрів.

Для визначення точок, що належать до лінії перетину поверхонь, користуються способом допоміжних січних поверхонь (спосіб посередників). До них належать: площини, сфери та інші поверхні.

При виборі посередника слід виходити з того, щоб у перетині з заданими поверхнями утворювалися графічні прості лінії – прямі або кола. Для вирішення кожної задачі необхідно вживати кілька площин – посередників.

Алгоритм побудови лінії перетину двох поверхонь аналогічний алгоритму побудови лінії перетину криволінійної поверхні з площиною, але із значно ретельнішим аналізом заданих поверхонь:

а) порядку заданих поверхонь;

б) положення прямолінійних твірних та кіл на заданих поверхнях;

в) виду кривої, її симетрії та її проекцій;

г) вибору поверхонь – посередників для побудови проміжних точок лінії перетину.

7.4. Суть способу поверхонь – посередників.

Загальним способом побудови точок лінії перетину двох поверхонь є спосіб допоміжних поверхонь.

Допоміжна поверхня мас перетинати дані поверхні за лініями, які проекцiюються у прямі лінії або кола.

У перетині цих ліній з'являються точки, що належать до обох поверхонь, тобто точки їх ліній перетину. Для допоміжних поверхонь звичайно використовують або площини, або сфери.

Із цього i способи побудови лінії перетину поверхонь - спосіб допоміжних січних площин та спосіб допоміжних сфер.

7.5. Приклад побудови лінії перерізу двох криволінійних поверхонь.

Використання методу січних площин розглянемо на прикладі побудови лінії перетину двох поверхонь другого порядку.

Задача 2. Побудувати лінію перетину конуса обертання та сфери.

Аналіз завдання показує, що для рішення мають бути використаними допоміжні горизонтальні площини рівня, що перетинають обидві поверхні за колами. За допомогою таких площин можна побудувати будь–яку кількість довільних точок.

Площина Р (Р//П₂) – спільна площина симетрії даних поверхонь - паралельна до фронтальної площини проекцій.

Площина Р перетинає поверхні за їх головними меридіанами. Точки перетину цих меридіанів є верхньою А та нижньою В точками лінії перетину.

Будь – яка з горизонталь–них площин рівня, що розташована між цими точками, може бути використана для отримання пари точок лінії перетину.

Точки видимості С та Д отримані за допомогою площини Q, екватора сфери, горизонтальна проекція якого збігається з обрисом сфери на площині П₁ (див. рис.7.2).