Задача 2.Определение реакций опор составной конструкции
Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С. Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную (скользящую) опору (рис. 1). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максимальной интенсивностью qтах = 2 кН/м, сила F = 4 кН под углом α = 30o и пара сил с моментом М = 3 кНм. Геометрические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Вес элементов конструкции не учитывать.
Рис. 1 Рис. 2
Решение.Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состоит из силы неизвестного направления и пары, а реакция скользящей опоры перпендикулярна опорной поверхности, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 2.
Здесь равнодействующая распределенной нагрузки
расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD) от точки А; МА — неизвестный момент заделки.
В данной системе сил четыре неизвестных реакции (ХА, YA, MA, RB), и их нельзя определить из трех уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.
Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис.3).
Рис. 3
Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учитывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС:
Отсюда ХС = – 1 кН; УС = 0; RB = 1 кН.
Уравнения для тела АС:
Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разложена на составляющие Fcos α и Fsin α и определена сумма их моментов.
Из последней системы уравнений находим:
ХА = – 1,54 кН; УА = 2 кН; МА = – 10,8 кНм.
Для проверки полученного решения составим уравнение моментов сил для всей конструкции относительно точки D(рис. 2):
Вывод: проверка показала, что модули реакций определены верно. Знак минус у реакций говорит о том, что реально они направлены в противоположные стороны.
Раздел 2. Кинематика это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение.
Скорость — это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета.
При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.
Поступательным движением твердого тела называется такое движе-ние, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается во все время движения тела параллельной своему начальному положению.
Все точки твердого тела. движущегося поступательно описывают одинаковые (совпадающие при наложении) траектории и в каждый момент времени имеют геометрически равные скорости и ускорения.
Вращательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными.
Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью тела.
Числовая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.
Задача 1. Определение кинематических характеристик поступательного и вращательного движений твердого тела
Груз
1
(рис. 1),
опускаясь, согласно уравнению s
= 3
+15,
где s
- расстояние груза от места схода нити
с поверхности вала в сантиметрах; t
- время в
секундах, приводит в движение колесо
2, ременную передачу, колесо 3 и рейку 4.
Рис.1
Пренебрегая
скольжением ремня по ободам колес,
определить для момента времени
=1
с скорость и ускорение рейки 4, угловые
скорости и ускорения колёс 2, 3 и ускорение
точки А, если
=30
см;
=50
см - радиусы ступеней колеса 2;
=40
см;
=60
см - радиусы
ступеней колеса 3.
Дано:
;
=30
см;
=50
см;
=60
см.
Определить:
при
с.
Найдём
,
.
Зная уравнение
движения груза 1, определим его скорость
как функцию времени
=
=
9
.
Груз подвешен на нерастяжимом канате,
поэтому скорость груза 1 такая же, как
скорости точек на ободе колеса 2 радиуса
,
т.е.
.
Найдем
как функцию времени:
. (а)
Так
как колёса 2 и 3 связаны ременной передачей
(ремень нерастяжим), то
,
но
;
.
,
поэтому
. (б)
При
t=1
с из (а) и (б) найдем 
=
0,3 рад/с; 
=0,25
рад/c.
Определим
.
Так как
=
,
то при
=1
с имеем
=10
см/c.Найдем
.
Продифференцируем по времени выражения
(а), (б):
;
.
При
=1с
=0,5
рад/
.
Найдем
.
Рейка 4 движется поступательно, поэтому
все её точки имеют одинаковые ускорения.
ТочкаD
одновременно принадлежит рейке 4 и
ободу колеса 3 радиуса
,
поэтому
;
при
=1с
и
=20
см/
Найдем ускорение точки А, используя формулу
-вращательное
ускорение;
.-центростремительное
ускорение.
При
=1с
и
=30
см/
;
=4,5
см/
;
см/
.
Раздел 3. Динамика раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве в зависимости от действующих на них сил.
Задача 1. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы
Каток для раскатывания асфальта (рис. 1) состоит из кузова массой т1 = 3∙103 кг и двух одинаковых барабанов. Масса барабана m2=103 кг, радиус его r=0,5м, а радиус инерции ρ=0,4м. Коэффициент трения качения барабанов fк=9 см. Определить скорость кузова катка после того, как он проехал расстояние S=2 м, начальная скорость катка была равна 0,2 м/с. К ведущему барабану приложен постоянный момент M=4,6 кНм.
Рис. 1 Рис. 2
Решение. Так как в задаче идет речь о конечном перемещении системы, то следует применить теорему об изменении кинетической энергии в интегральной (конечной) форме:
.
Кинетическая энергия системы (поступательно движущийся кузов и совершающие плоское движение барабаны) имеет вид
,
где v — скорость кузова, vС — скорость центра масс барабана, ω — его угловая скорость, JzC = m2ρ2 = 160 кгм2 — момент инерции барабана относительно его оси (проходящей через центр масс).
Кинематические связи определяются тем, что каждый барабан поворачивается вокруг своего мгновенного центра скоростей (точки Р), а именно: vC = ωr; кроме того, v = vC, т. е. ω = v/r. Тогда кинетическая энергия приводится к виду
,
где тпр= 6280 кг — приведенная к кузову масса системы. Начальная кинетическая энергия системы
Дж.
Вычислим теперь величину работы действующих сил (рис. 2).
Внешние
силы. Силы
тяжести барабанов G2
и кузова G1
работы не совершают, поскольку они
перпендикулярны скоростям (и,
соответственно, перемещениям) точек их
приложения. Также не работают нормальные
реакции Rn
и R’n
и силы трения Frp
и
,
так как всегда равны нулю скорости их
точек приложения — мгновенных центров
скоростей, и, соответственно, постоянно
равны нулю их мощности.
Работу будут совершать моменты сопротивления качению:
и
,
а именно:
,
где
.
Здесь φ — угол поворота барабанов, для которого, интегрируя уравнение кинематической связи ω = v/r с учетом нулевых начальных условий для перемещений s и φ, легко получаем φ = s/r. Тогда
Внутренние силы. Запишем, учитывая, что кузов не вращается, суммарную работу внутренних сил (моментов) М и М’:
.
Тогда сумма работ всех сил запишется в виде
.
Множитель, стоящий в этой формуле перед перемещением s, — это приведенная сила системы
Итак
Дж.
Собирая правую и левую части теоремы, получаем
или Т – 125,6 = 760, откуда
и
Ответ: v = 0,53 м/с.