С о д е р ж а н и е

1. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Предмет теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . 3

Пространство элементарных событий . . . . . . . . . . . . 4

Операции над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Статистический подход к понятию вероятности . . . . . . . . 6

Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . 9

Аксиоматическое определение вероятности . . . . . . . . . . 12

2. Основные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . 13

Теорема умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 13

Теорема сложения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 14

Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Формула Бейеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Повторение испытаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Независимые испытания. Формула Бернулли . . . . . . . . . 18

Локальная теорема Муавра-Лапласа . . . . . . . . . . . . . 20

Интегральная теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Теорема Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Вероятность отклонения частоты от постоянной вероятности

в независимых испытаниях . . . . . . . . . . . . . . . 24

4. Случайные величины и функции распределения . . . . . . . . . 26

Случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Функция распределения вероятностей для дискретной СВ . . . . 27

Функция распределения вероятностей для непрерывной СВ . . . 28

Функция плотности распределения

вероятностей для непрерывной СВ . . . . . . . . . . . 29

5. Числовые характеристики СВ . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Математическое ожидание СВ . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение СВ . . . . . . 32

Моменты и другие числовые характеристики СВ . . . . . . . . 34

6. Основные законы распределения СВ . . . . . . . . . . . . . . 36

Дискретные законы распределения . . . . . . . . . . . . . . 36

Биномиальное распределение . . . . . . . . . . . . . 36

Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . 36

Геометрическое распределение . . . . . . . . . . . . 37

Непрерывные законы распределения . . . . . . . . . . . . . . 38

Равномерное распределение . . . . . . . . . . . . . . 38

Показательное распределение . . . . . . . . . . . . . 39

Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . 41

7. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Неравенства Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8. Многомерные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . 46

Многомерные СВ и их функции распределения . . . . . . . . 46

Вероятность попадания двумерной СВ

в полуполосу и прямоугольник . . . . . . . . . . . . 49

Числовые характеристики двумерной СВ . . . . . . . . . . . . 50

Математическая статистика

Введение. Предмет математической статистики . . . . . . . . . 52

1. Статистические законы распределения выборки . . . . . . . . . 54

Вариационный ряд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Полигон и гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Эмпирическая функция распределения . . . . . . . . . . . . 56

2. Статистические оценки параметров распределения . . . . . . . . 57

Точечные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Оценка вероятности появления события через его частоту . . . 60

3. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Статистические гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Критерии проверки гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Критерий согласия Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Нормальное распределение . . . . . . . . . . . . . . 64

Распределение Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . 65

Критерий согласия Романовского . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Элементы теории корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Статистические зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Линейная регрессия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Корреляционная таблица . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Выборочный коэффициент корреляции. . . . . . . . . . . . . 71

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

80