1.7. Аксиоматическое определение вероятности

Аксиоматический подход основывается на основных свойствах вероятности, подмеченных на примерах классического определения и частоты.

Пусть Е - пространство элементарных событий, а  класс событий (набор подмножеств множества E). Будем считать, что в результате любых введенных выше операций над событиями, вновь получаются события этого же класса.

Пример 1.23. Опыт состоит из подбрасывания игральной кости один раз. Здесь . Выпишем все события, которые образуют. Тогда.

Замечание. Число подмножеств множества из N элементов с учетом Е и равно. Например, в рассмотренном выше примере число таких подмножеств равно.

Определение 1.24. Числовая функция Р, определяемая на классе собы-тий , называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

1. ;

2. ;

3. Если несовместные события, то

.

Из этого определения следуют свойства:

1. .

Действительно, так как и, с учетом аксиом2 и , получаем .

2. .

Действительно, так как , то с учетом свойства1 и аксиомы 2, получаем .

3. Если образуют полную группу событий, т.е., то.

Это следует из аксиом 23.

4. .

Это следует из свойства 3 и аксиомы 1.

2. Основные теоремы теории вероятностей

2.1. Теорема умножения вероятностей

Определение 2.1. Условной вероятностью события B при условии, что событие A произошло, называется вероятность, определяемая формулой

. (2.1)

Это можно легко показать для случая классического определения веро-ятности. Будем считать, что формула справедлива в общем случае и про-иллюстрируем её на примере.

Пример 2.1. В урне 3 белых и 3 синих шара. Из урны вынут один шар, затем второй. Рассмотрим два события: A – первым вынут белый шар, В – вторым вынут синий, тогда АВ – вынуты по очереди белый и синий шары. Найдем вероятности:. Подста-вив эти вероятности в формулу (2.1), убеждаемся, что она справедлива.

Определение 2.2. Если и, то такие события называютсянезависимыми.

Теорема 2.1. Для любых событий А и В справедлива формула

(2.2)

Это следует из формулы (2.1).

Следствие 1. Для независимых событий .

Следствие 2. Если обозначить и, то вероят-ность появленияхотя бы одного из событий, независимых в совокуп-ности, равна

. (2.3)

Рассмотрим событие , состоящее в том, что ни одного из событийне наступило. Тогда по следствию1 из определения веро-ятности 1.24 получим

.

Пример 2.2. Студент в сессию сдает четыре экзамена с вероятностью успеха 0,8, 0,7, 0,9 и 0,75соответственно. Найти вероятность того,что студент: а) сдаст все четыре экзамена; б) сдаст хотя бы один экзамен.

а) Если обозначить через событие – студент сдаетi-й экзамен, то событие (студент сдаст все 4 экзамена) можно выразить следующим образом а искомая вероятность будет равна

б) Здесь мы воспользуемся формулой (2.3), вычислив вероятность про-тивоположного события (студент не сдаст ни одного экза-мена). Тогда искомая вероятность