III Таблица эквивалентностей

При :

1) ; 2); 3);

3) ; 5); 6);

7) ; 8); 9);

10) ; 11); 12);

13) .

Кроме этих формул используются еще такие:

14) многочлен на эквивалентен старшему члену, а в нулемладшему;

15) при, если толькои;

16) ,при(,);

17) при.

Часть этих формул была получена в §10. Выведем еще несколько других:

5) ;

10) ;

13) ;

15) Пусть , Тогда, т.е.

(в широком смысле).

IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов

Теорема.Пусть, апри. Если, то и.

Доказательство.

.

Практический вывод.При вычислении пределов частных и произведений функций каждую из них можно заменить эквивалентной.

Примеры.

4.

.

Здесь были использованы эквивалентности для синуса, логарифма, арктангенса, степенной функции и выражения типа многочлена (алгебраической суммы степеней переменной с неотрицательными показателями, а не только натуральными, как в обычном многочлене).

5. Вычислим предел . Используя основное логариф-мическое тождество, свойство логарифма степени и непрерывность функции, получим:

.

Выведем нужную здесь формулу эквивалентности при :

.

Итак, .

6. Приведем ряд примеров «подгонки» под табличную форму эквивалент-ности:

при;

при;

при.

Замечание-предостережение.Использовать эквивалентности (в указанной форме) в суммах, разностях функций и под знаками функций, вообще говоря, нельзя. Исключение составляет степенная функция, т.е., если, то,.

Однако, существует другая форма эквивалентностей, которую можно использовать везде. Эту форму рассмотрим в следующей части параграфа.

V Асимптотические формулы

В силу второго определения эквивалентности соотношения равносильноили. Таким образом, таблицу эквивалентностей можно записать в форме т.н. асимптотических формул. Приведем лишь некоторые из них. Все остальные студенты должны уметь выводить самостоятельно.

Итак, при :

,,

,,

,.

Эти асимптотические формулы можно применять в суммах, разностях и под знаками функций. Однако, не всегда они дают ответ на поставленный вопрос.

Примеры.

7.

.

Здесь использован тот факт, что по определению символа имеем:.

8. = – частное бесконечно малых может быть любым. Такая ситуация означает, что соответствующая асимптотическая формула недостаточно точная. В теме «Формулы Тейлора и Маклорена» будут даны уточнения:

,.

Задача.Вычислить пределы:

а) ; б).

Лекция 7

§12. Понятие непрерывности функции

Рассмотрим функцию y=f(x), определенную в точкеx₀и в некоторой ее окрестности.

Определение 1.Функцияf(x)называется непрерывной в точкеx₀, если

. (1)

Так как , то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

,

т.е. для непрерывной функции можно знак предела вносить под знак функции.

Дадим еще одно определение непрерывности равносильное определению 1. Для этого в равенстве (1) перенесем f(x₀) в левую часть и внесем под знак преде-

ла. Так как условия x x₀и (x – x₀)0 равносильны, то получаем:

(2)

Разность x – x₀ называется приращением аргументаxв точкеx₀ и обозначаетсяΔx, а разностьf(x)– f(x₀) – приращением функции и обозначаетсяΔy. В этих обозначениях равенство (2) принимает вид:

. (3)

Это соотношение и есть еще одно определение непрерывности, которое можно сформулировать так:

Определение 2.Функцияf(x)называется непрерывной в точкеx₀, если ее приращениеΔy=o(1)приΔx0.

Пример.Докажем непрерывностьy=sinx в произвольной точкеx₀ .

Полученное выражение есть произведение ограниченной функции на бесконечно малую (в силу леммы 2 §10 приΔx0 ). По одному из свойств б.м. функций получаемΔy=o(1)приΔx0, что и доказывает непрерывностьy=sinx в произвольной точкеx₀ .

Определение 3.Функцияf(x) называется непрерывной в точкеx₀ слева (справа), если

.

Например, функция y=[x]непрерывна справа в любой целой точке, т.к.[k+0]=[k]=k, в то же время слева она не является непрерывной[k–0]=k–1≠[k].

Из общих теорем о пределах функций легко получить такие результаты.

Теорема 1.Функцияf(x) непрерывна в точкеx₀ тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке, как справа, так и слева, т.е.

f(x₀+0)= f(x₀ – 0)= f(x₀)

Теорема 2.Пусть функцииf(x)иg(x)непрерывны в точкеx₀, а функцияF(u)непрерывна в точкеu₀=f(x₀).Тогда и функцииf(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x):g(x) (при условииg(x₀)≠0 ) иF(f(x)) непрерывны в точкеx₀.

Если бы мы могли доказать непрерывность всех основных элементарных функций (как мы это сделали для синуса), то из теоремы 2 мы получили бы еще один важный результат.

Теорема 3.Всякая элементарная функция непрерывна в любой точке ее области определения (входящей в эту область с некоторой окрестностью).

Определение 4.Говорят, что функцияf(x) непрерывна на промежутке, если она непрерывна в любой точке промежутка (в граничных точках промежутка подразумевается одностороння непрерывность).