- •Раздел дифференциальное исчисление Тема введение в математический анализ
- •§1. Функции одной переменной: основные понятия
- •I Определение
- •II Способы задания функции
- •III Область определения и область значения функции
- •IV График функции
- •V Действия над функциями
- •VI Элементы поведения функции
- •VII Обратная функция
- •§2. Элементарные функции
- •I Основные элементарные функции
- •II Элементарные функции
- •III Примеры неэлементарных функций
- •§3. Последовательности: основные понятия, примеры
- •I Определение
- •II Элементы поведения и операции
- •III Примеры
- •§4. Бесконечно малые последовательности и их свойства
- •I Два определения
- •II Две эталонные б.М.
- •III Основные свойства
- •§5 Предел последовательности
- •I Три определения
- •II Свойства сходящихся последовательностей и их пределов
- •III Примеры вычисления пределов
- •§6. Бесконечно большие последовательности и их свойства
- •I Два определения
- •II Две эталонных б.Б.
- •III Свойства б.Б. Последовательностей
- •§7. Теоремы о пределах последовательностей
- •§8. Монотонные последовательности. Число
- •I о пределе монотонной последовательности
- •II Число е
- •§9. Предел функции
- •I Общее определение
- •II Частные случаи. Важные понятия
- •III Односторонние пределы
- •IV Теоремы о пределах функций
- •§ 10. Замечательные пределы
- •I Первый замечательный предел
- •II Второй замечательный предел
- •§ 11. Эквивалентные б.М. И б.Б. Функции
- •I Сравнение б.М. И б.Б. Функций
- •II Эквивалентные функции: два определения
- •III Таблица эквивалентностей
- •IV Использование эквивалентностей для вычисления пределов
- •V Асимптотические формулы
- •§12. Понятие непрерывности функции
- •§13. Классификация точек разрыва
- •I Определение
- •II Точка устранимого разрыва
- •III Точка разрыва 1го рода
- •IV Точка разрыва 2го рода
- •§14. Основные свойства непрерывных функций
VII Обратная функция
Функцию y=f(x)называютобратимойна промежутке|a,b|, если любое свое значение она принимает не более чем в одной точке этого промежутка; иными словами, если различным значениям аргумента соответствуют различные значения функции.
Пусть обратимая функция y=f(x)задана на промежутке|a,b|и пустьE(y)=|A,B|. Каждомуy|A,B|поставим в соответствие то единственное значениеx[a,b], для которогоf(x)=y. Тем самым на|A,B|будет определена функция, которую называютобратнойпо отношению к функцииy=f(x).
Отметим, что если обратная дляy=f(x), то и функцияy=f(x)является обратной для. Поэтому, эти две функции часто называютвзаимнообратными. Такие функции обладают очевидными свойствами:
.
Графики взаимно обратных функций совпадают. Можно, однако, потребовать, чтобы и аргумент обратной функции обозначался буквой x, т.е. вместорассматривать функцию. Графики такой пары функцийy=f (x)исимметричны относительно прямойy=x.
Можно доказать, что всякая строго монотонная функция имеет обратную, причем с тем же направлением монотонности.
Алгоритм нахождения обратной функции для функции y=f(x)следующий:
1) убедиться, что y=f(x)обратима (например, монотонная);
2) решить уравнение y=f(x)относительноx;
3) в полученном равенстве поменять местами xиy.
Пример. Найдем обратную функцию для функции(т.н. синус гиперболический).
а) Проверим монотонность. Пусть x1>x2. Тогда.
Функция y=ex– возрастающая, поэтому разность в первой скобке положительна, аy=ex– убывающая, поэтому вторая разность – отрицательна. Значит, т.е, т.е.y= shx– возрастающая функция, следовательно, обратимая.
б) Решим уравнение y=shx относительноx:
– не подходит, ибо
Итак, , т.е..
в) Поменяв местами xиy, получим искомую обратную функцию:
.
§2. Элементарные функции
I Основные элементарные функции
Косновным элементарным функциям относят константы, степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические.
1) Константыy = Const.
D(y) = R, E(y)={c}.
не существует, четная.
График – прямая, параллельная оси абсцисс.
2)Степенные .
D(y) иE(y) зависят от, но (0, +) D(y).
Четность-нечетность зависит от .
Обратная для есть.
Для <0 оси координат – асимптоты.
Показательные (0<a1).
D(y) = R, E(y) = (0, +).
Функция общего вида.
Ось абсцисс – асимптота.
Обратная для функции есть логарифмическая функция.
Логарифмическая(0<a1).
D(y) = (0, +), E(y) = R.
Функция общего вида.
Ось ординат – асимптота.
Обратная для логарифмической – показательная функция.
В математическом анализе в основном используют натуральные логарифмы lnx, т.е. логарифмы с основанием a=e=2,7…
5) Тригонометрические
а) .
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Нечетная.
Периодическая, .
б) .
D(y) = R, E(y) = [1, 1].
Четная.
Периодическая, .
в).
D(y) = R \ {, kz},
E(y) = R.
Нечетная.
Периодическая, .
Прямые асимптоты.
г) .
D(y) = R \{k, kz}, E(y) = R
Нечетная.
Периодическая, .
Прямые x = kасимптоты.
6) Обратные тригонометрические
При определении этих функций выбираются следующие участки монотонности: для синуса , для косинуса[0, ], для тангенса, для котангенса(0, ).
Определение, например, арксинуса:
arcsina – это угол такой, что sin=a. Остальные функции определяются аналогично.
а) .
D(y) = [1, 1], E(y) = .
Нечетная.
б).
D(y) = [1, 1], E(y) = [0, ].
arccos(x) = arccosx.
arcsinx + arccosx = .
в) .
D(y) = R, E(y) = .
Нечетная.
Прямые асимптоты.
г).
D(y) = R, E(y) = (0, ).
arcctg(x) = arcctgx.
Прямые y = 0иy = асимптоты.
Замечание. Иногда к основным элементарным функциям относят еще и т.н. гиперболические функции и обратные к ним. Все эти функции достаточно просто выражаются через показательную и логарифмическую функции.
а) синус гиперболический :D(y) = R, E(y) = R, нечетная; обратная функция имеет видy = Arshx =.
б) косинус гиперболический :D(y) = R,E(y) = [1, +), четная; обратная функция имеет видy = Archx =,(у функцииchxберется ветвь).
в) тангенс и котангенс гиперболические определяются так же как и в тригонометрии:
,.
Обратная функция для y = thx– этоy = Arthx = . Графики гиперболических функций: