- •Числовые ряды Лекция № 44. Тема 1 : Числовой ряд. Необходимый признак сходимости
- •1.2. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд
- •Лекция № 45
- •2.2. Признак Даламбера
- •2.3. Радикальный признак Коши
- •2.4. Интегральный признак Коши
- •Тема 3 : Знакопеременные ряды
- •3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
- •3.2. Абсолютная и условная сходимость
- •Список литературы
- •С о д е р ж а н и е
Лекция № 45
2.2. Признак Даламбера
Теорема 1. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:
1. Если ряд сходится;
2. Если ряд расходится;
3. Если ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.
Вначале докажем пункт 1. Из определения предела следует: выполняетсяили. Если , то можно указать такое, для которого выполняетсяи тогда. Таким образом, выполняются равенства:
. (1)
Из формул (1) следует, что ряд сходится. Тогда по признаку сравнения сходится и ряд.
Аналогично доказывается и случай 2. Здесь имеем , и выполняется неравенство, т.е. нарушается необходимый признак сходимости, следовательно, ряд расходится.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда .
Вычислим предел
Пример 2. Исследовать сходимость ряда .
Вычислим предел
т.е. ряд расходится.
2.3. Радикальный признак Коши
Аналогично можно доказать следующую теорему.
Теорема 2. Пусть для ряда с положительными членами сущест-вует конечный или бесконечный предел, тогда:
1. Если ряд сходится;
2. Если ряд расходится;
3. Если ответа на вопрос о сходимости теорема не даёт. В этом случае требуются дополнительные исследования.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда .
Вычислим предел
Пример 4. Исследовать сходимость ряда .
Вычислим предел
2.4. Интегральный признак Коши
Пусть дан ряд с положительными членами .
Заменим в общем члене ряда натуральную переменнуюп вещественной переменной х. Получим функцию , для которой. Исходя из геометрического смысла определённого интеграла, можно доказать следующую теорему.
Теорема 3. Если функция непрерывная и невозрастающая на, тогда:
1. Если интеграл сходится, т.е., то ряд сходится;
2. Если интеграл расходится, то ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .
Рассмотрим функцию. Для нее имеем
Таким образом, обобщённый гармонический ряд сходится, если и расходится, если. Легко убедиться,что признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости этого ряда.
Тема 3 : Знакопеременные ряды
3.1. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Определение 1. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеется бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов.
Определение 2. Знакопеременный ряд, члены которого имеют чере-дующиеся знаки, называется знакочередующимся рядом.
Такой ряд имеет вид , где все.
Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде члены ряда удовлетворяют условиям:
1. ;
2. ,
то ряд сходится, и его сумма не превосходит первого члена.
Рассмотрим чётные частичные суммы такого ряда
.
Все члены в скобках положительные, следовательно, ис ростомт.
Теперь запишем эту сумму так .
Тогда , т.е. сумма ограничена сверху и при этом. Тогда по свойству предела она имеет предел, причем.
Покажем теперь, что и . Так как, то переходя к пределу в этом равенстве получим
, ч.т.д.
Замечание 1. Ошибка, совершаемая при замене S на не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е., так как отброшенные члены также образуют знакочередующийся ряд.
Пример 6. Ряд сходится, так как удовлетворяет усло-виям теоремы Лейбница. При этом приближённое вычисление его суммы будет вычисляться с точностью.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда .
Замечаем, что и тогда по теореме Лейбница
1. ; 2., т.е. ряд сходится.