- •Міністерство фінансів України
- •З м і с т
- •Опис навчальної дисципліни «математика для економістів»
- •Інструментальні:
- •Міжособистісні:
- •Системні:
- •Спеціальні:
- •Тематичний план навчальної дисципліни
- •Зміст навчальної дисципліни
- •Змістовий модуль 2. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування в економіці
- •Тема 13. Економічна динаміка та її моделювання: диференціальні та різницеві рівняння
- •Змістовий модуль 5. Ряди та їх застосування. Елементи математичної економіки
- •Тема 14. Ряди та їх застосування
- •Тема 15. Елементи фінансової математики та математичної економіки
- •Тема 1. Емпіричні та логічні основи теорії ймовірностей
- •План вивчення теми
- •Методичні рекомендації до самостійної роботи
- •1. Випадкові події
- •2. Прості та складені випадкові події. Простір елементарних подій
- •3.Операції над подіями
- •Питання для самоконтролю
- •2. Елементи комбінаторики
- •3. Геометрична ймовірність
- •4. Статистична ймовірність
- •5. Умовна ймовірність
- •5.1. Залежні та незалежні випадкові події
- •5.2. Обчислення умовної ймовірності
- •Література
- •3. Локальна теорема
- •4. Інтегральна теорема
- •5. Використання інтегральної теореми
- •6. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій
- •7. Проста течія подій
- •Питання для самоконтролю
- •Функція розподілу ймовірностей
- •Щільність ймовірностей (диференціальна функція) її властивості
- •Питання для самоконтролю
- •Література
- •1.2. Мода та медіана випадкової величини
- •1.3. Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
- •1.4. Початкові та центральні моменти
- •7. Розподіл («хі-квадрат»)
- •8. Розподіл Стьюдента
- •2. Коефіцієнт кореляції
- •2. Закон розподілу та числові характеристики функції дискретного випадкового аргументу
- •2. Марковські випадкові процеси. Ланцюги Маркова
- •3. Процес народження і загибелі
- •4. Елементи теорії масового обслуговування
- •Питання для самоконтролю
- •2. Генеральна та вибіркова сукупності
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •2. Похибки перевірки гіпотез
- •3. Критерії узгодження для перевірки гіпотез
- •4. Критична область
- •Питання для самоконтролю
- •2. Визначення параметрів ,
- •3. Властивості ,
- •4. Множинна регресія
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Питання для самоконтролю
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Задачі для розв’язання
- •Т е с т и
- •Література
- •Література
- •Методичні вказівки до виконання завдань
- •Приклади розв’язків задач для індивідуальної роботи
- •Завдання для індивідуальної роботи
- •Самостійна робота студентів
- •Практичні заняття
- •Модульний контроль
- •Індивідуальна робота
- •Математика для економістів
Задачі для розв’язання
1. 200 однотипних деталей були піддані шліфуванню. Результати вимірювання наведені як дискретний статистичний розподіл:
xi |
3,7 |
3,8 |
3,9 |
4,0 |
4,1 |
4,2 |
4.3 |
4,4 |
ni |
1 |
22 |
40 |
79 |
27 |
26 |
4 |
1 |
Знайти точкові незміщені статистичні оцінки для , .
2. Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,95 невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої ознаки Х генеральної сукупності, якщо генеральне середнє квадратичне відхилення =2, вибіркове середнє=5,4, а обсяг вибіркиn=36.
3. Результати вимірювання хі подані у табл.:
xi |
1,5 |
1,8 |
2,3 |
2,5 |
2,9 |
3,3 |
ni |
2 |
3 |
5 |
8 |
4 |
3 |
З надійністю побудувати довірчий інтервал для.
4. Знайти мінімальний обсяг вибірки, при якому з надійністю 0,95 точність оцінки математичного сподівання а генеральної сукупності по вибірковій середній буде дорівнює , якщо відомо середнє квадратичне відхиленнянормальне розподіленої генеральної сукупності.
5. Якого значення має набувати надійність оцінки , щоб за обсягу вибіркиn=100 похибка її не перевищувала 0,01 при =5.
Т е с т и
Варіант №1
1. По вибірці обсягу n = 41 знайдена зміщена оцінка = 3 генеральної дисперсії. Знайти незміщену оцінку дисперсії генеральне сукупності.
а) 3,075; б) 2,93; в) 1,71 г) 1,75.
2. Знайти мінімальний об'єм вибірки, при якому з надійністю γ=0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності буде дорівнювати 0,2. Відомо середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності σ=1,5.
а) n=179; б) n=216; в) n=298; г) n=380.
Варіант №2
1. Результати вимірювання хі подані у табл.:
|
2.5 |
2.8 |
3.3 |
3.5 |
3.9 |
4.3 |
|
1 |
4 |
6 |
7 |
5 |
3 |
З надійністю γ=0,999 побудувати довірчий інтервал для .
2. Знайти довірчий інтервал з надійністю 0,95 для оцінки невідомого математичного сподівання а нормально розподіленої випадкової величини Х, якщо 2=16, =15,n=25.
а) (1,4; 1,5); б) (3,63; 3,77); в) (-14,2; -13,7); г) (13,43; 16,57).
Література
Обов’язкова: [1]. Додаткова:[1], [4], [7].
Практичне заняття №15
Тема 12. Перевірка статистичних гіпотез
Мета заняття: Закріпити теоретичні знання і набути практичні навички виконання статистичної перевірки статистичних гіпотез в ході розв’язання практичних задач.
Обладнання: 1. Методичні рекомендації і завдання до практичних занять; 2. Мікрокалькулятори.
План заняття
Основні теоретичні відомості з теми заняття.
Розв’язування задач.
Підведення підсумків заняття.
Методичні рекомендації
Статистичними називають гіпотези про вигляд розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.
Для перевірки правильності H0: =a, (=a), де a є певним числом, при заданому рівні значущості α насамперед необхідно вибрати статистичний критерій К.
Найзручнішим критерієм для цього типу задач, якщо відоме значення середнього квадратичного відхилення ознаки генеральної сукупності, є випадкова величинаK=Z, що має нормований нормальний закон розподілу ймовірностей N(0;1), а саме:
.
Значення zкр обчислюємо з рівняння Ф(zкр).
У випадку, коли значення невідоме, його замінюють статистичною оцінкою
.
Тоді за статистичний критерій вибирається випадкова величина K=t, що має розподіл Стьюдента з k=n–1 ступенями свободи, а саме:
.
Критичні точки у цьому разі визначаються за таблицею (додаток 6) заданим рівнем значущості α та числом ступенів свободи k=n–1. При великих обсягах вибірки (n>40) статистичний критерій наближається асимптотично до закону розподілуN(0;1), тому tкр=zкр.
При перевірці непараметричних гіпотез використовується критерій Пірсона. Критерій узгодженості Пірсона є випадковою величиною, що має розподіл , який визначається за формулою:
,
і має k=q–m–1 ступенів свободи, де q – число часткових інтервалів інтервального статистичного розподілу вибірки; m – число параметрів, яким визначається закон розподілу. Наприклад, для закону Пуассона, який характеризується одним параметром λ, m =1, для нормального закону m =2, оскільки цей закон визначається двома параметрами a =іσ.