Значення параметра t у разі введення умовного нуля для непарної кількості рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Умовний період	– 4	– 3	– 2	– 1	0	1	2	3	4

При цьому  t = 0 та  t³ = 0; а система рівнянь набуває вигляду:

Тоді:

,

, .

Для спрощення розрахунків складемо допоміжну таблицю:

Допоміжна таблиця для розрахунку параметрів параболи

№	у	t	t^2	t^4	yt	y t^2
1	12,3	– 4	16	256	– 49,2	196,8
2	12,5	– 3	9	81	– 37,5	112,5
3	12,2	– 2	4	16	– 24,4	48,8
4	12,9	– 1	1	1	– 12,9	12,9
5	13,1	0	0	0	0	0
6	12,8	1	1	1	12,8	12,8
7	13,5	2	4	16	27,0	54,0
8	13,3	3	9	81	39,9	119,7
9	13,9	4	16	256	55,6	222,4
Разом	116,5	0	60	708	11,3	779,9

Використовуючи формули для визначення параметрів параболи та підсумковий рядок таблиці, маємо: b= 11,3 / 60 = 0,188;

с= (9 · 779,9 – 116,5 · 60) / (9 · 708 – 60 · 60) = 0,01;

а= 116,5 / 9 – 0,01 · (60 / 9) = 12,87.

Таким чином, модель квадратичної параболи має вигляд:

у = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t².

Для того, щоб визначити виробництво продукції на кінець року, до одержаної моделі замість t підставляємо відповідне значення. Проте слід ураховувати, що для визначення параметрів параболи були використані умовні періоди. Отже, й значення t має бути визначено з урахуванням цього моменту, тобто маємо підставляти не t = 12, а значення t = 7 (оскільки значенню фактичного періоду 10 відповідає умовний період 5; 11 – 6; 12 – 7), тоді:

y₁₂ = 12,87 + 0,188 t + 0,01 t²= 12,87 + 0,188 · 7 + 0,01 · 49 = 14,676 ≈ 14,7.

Приклад 2

Маємо такі дані про видатки Державного бюджету України на освіту (млн. грн.):

Показник	Рік
	1997	1998	1999	2000	2001
Видатки на освіту	15 665	16 704	17 005	18 333	19 200

Необхідно визначити основну тенденцію динамічного ряду шляхом аналітичного вирівнювання за прямою (методом введення умовного нуля) та екстраполювати суму видатків Державного бюджету України на освіту до 2004 р.

Розв'язання

1. Рівняння прямої має такий вигляд:

ŷ_t = a + bt,

де ŷ_t – вирівняне середнє значення результативної ознаки;

a, b – параметри рівняння;

t – факторна ознака.

Для спрощення обчислень складемо розрахункову таблицю, яка має такий вигляд:

Рік	Видатки на освіту, млн. грн.	t	t^2	yt	ŷ
1997 1998 1999 2000 2001	15665 16704 17005 18333 19200	-2 -1 0 1 2	4 1 0 1 4	-31330 -16704 0 18333 38400	15641,6 16511,5 17381,4 18251,3 19121,2
Всього	86907	0	10	8699	86907,0
2002 2003 2004	прогноз прогноз прогноз	3 4 5	– – –		19991,1 20861,0 21730,9

Для знаходження параметрів а і b, складемо і розв'яжемо систему двох рівнянь із двома невідомими:

Σy = n· a + b Σ t;

Σyt = a Σ t + b Σ t² ,

де п - число рівнів ряду.

За умови, що Σt = 0, способом найменших квадратів знаходимо

Отже, аналітичне рівняння прямої матиме вигляд:

ŷ = 17 381,4 + 869,9 t.

Підставляючи значення t в наведене рівняння, отримуємо вирівняні дані суми видатків Державного бюджету України на освіту (остання графа розрахункової таблиці до прогнозних значень).

2. На основі аналітичного рівняння прямої здійснюємо перспективний прогноз видатків на освіту, за умови, що виявлена тенденція найближчим часом не зміниться (прогнозні значення останньої графи розрахункової таблиці – останні 3 рядки).

Таким чином, якщо виявлена тенденція найближчим часом не зміниться, то видатки на освіту становитимуть у 2004 році 21730,9 млн. грн.