5.2.1.5.Гармонический анализ (рис.5.12)

Встолбцах А и В приведены соответственно номера уровней и значения уровней временного ряда.

Встолбцах С иD производится расчет коэффициентов (5.29 и 5.30) для первой гармоники. Для этого в ячейку С4 записывается выражение =B4*COS(2*ПИ()/24*A4), в ячейку D4 - =B4*SIN(2*ПИ()/24*A4). Затем выражения копируются на всю длину ряда. В ячейках С28 и D28 подсчитываются суммы - =СУММ(C4:C27) и =СУММ(D4:D27). В ячейках С29 и D29 подсчитываются коэффициенты первой гармоники - =2*C28/24 и =2*D28/24.

Далее в столбце Е производится аппроксимация временного ряда по первой гармонике. В ячейку Е4 записывается выражение:

=$B$30+$C$29*COS(2*ПИ()/24*A4)+$D$29*SIN(2*ПИ()/24*A4),

которая копируется в блок ячеек Е4:Е27.

В столбце F определяются квадрат отклонений расчетных значений от наблюдаемых. В ячейку F4 записывается выражение =(B4-E4)^2 и копируется на всю длину ряда.

Далее производится проверка значимости первой гармоники. Для этого производятся следующие расчеты:

• в ячейке Е34 - дисперсии отклонения, (5.33), выражение =F28/24;

• в ячейке Е35 - мощность гармоники (5.31), выражение =C29^2+D29^2;

• в ячейке Е36 - F-критерий (5.32), выражение =24*E35/(4*E34);

• в ячейке Е37 - F-критерий табличный, выражение =FРАСПОБР(0.05;2;23).

Т.к. F_P > F_T то первая гармоника является значимой.

Аналогично производятся расчеты для второй гармоники - столбцы G, H, I, J. Как видно из рис.5.13 вторая гармоника считается не значимой. Остановимся на двух гармониках. На рис.5.14 приведены результаты анализа модели временного ряда, в основе построения которой положены первая и вторая гармоники. Здесь же приведены показатели точности модели. Если сравнить с трендовой моделью, то гармоническая модель менее точная.

5.2.1.6.Анализ остатков трендовой модели

Проверку случайности остатков производим с использованием критерия "восходящих" и "нисходящих" серий рис.5.15.

Ряд остаткове приведен в столбце B. В столбцах E, F, G приведен ряд остатков соответственно во второй, в третьей и в четвертой степенях. B столбце С формируется данные согласно условию (5.39). Для этого в ячейку С4 записывается условие =ЕСЛИ(B4>B3;1;-1), которое копируется в блок ячеек С4:С26. В столбце D производится подсчет числа серий. Для этого в ячейку D3 записывается выражение =ЕСЛИ(C3<>C2;1;0), которое копируется в блок ячеек D4:D26. Затем в ячейке В27 подсчитывается число единиц, которое равно числу серий - N = 14. Самая длинная серия L_max = 3. Далее выполняется проверка условий (5.40). В ячейке L4 подсчитывается выражение =ЦЕЛОЕ(0.5*(24+1-1.96*КОРЕНЬ(24-1))), которое меньше числа серий N. Из табл.5.5 получаем, что L_max = 3 < 5. В результате проверки условий (5.40) делается заключение, что в остатках тренда нет, т.е. они случайны рис.5.16.

Для проверки гипотезы о нормальности остатков (5.41, 5.42) выполняется расчет коэффициента асимметрии и показателя эксцесса. В ячейке K9 рассчитывается коэффициент асимметрии по выражению =F27/24/(КОРЕНЬ(E27/24)^3), которое сравнивается с выражением в ячейке M9 =3*КОРЕНЬ(6*24*(24-1)/((24-2)*(24+1)*(24+3))). В ячейке K10 определяется показатель эксцесса - =G27/24/(КОРЕНЬ(E27/24)^4)-3+6/(24+1), значение которого сравнивается с выражением в ячейке M10 - =5*КОРЕНЬ(24*24*(24-2)*(24-3)/((24+1)^2*(24+3)*(24+5))). Условие по коэффициенту асимметрии не выполняется, поэтому гипотеза о нормальном распределении остатков отвергается. Это значит, что границы доверительного интервала прогноза будут не надежны.

Для проверки гипотезы о независимости остатков определяется критерий Дарбина-Уотсона (5.37) - в ячейке M14 выражение =H27/E27. Из табл.5.4 находим граничные значения критерия. В результате сравнения граничных значений критерия с расчетным гипотеза о независимости остатков принимается.

Проверкагипотезы о стационарности остатков (см. п. 5.7.5) в табличном процессоре связана с объемными вычислениями. В столбце A приведены остатки (рис.5.17). В столбце В приведены остатки в квадрате. В столбцах C, D, E, F, G, H, I, J приведены остатки с исключенными первыми k значениями.

Далее определяем значения автокорреляционной функции, представленной в виде матрицы (рис.5.18), строки которой соответствую числу исключенных значений k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, столбцы соответствуют сдвигу (лагу)  = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. В столбце М приведены суммы квадратов остатков без исключенных значений:

• ячейка М4 - =СУММ(B4:B27);

• ячейка М5 - =СУММ(B5:B27);

• ячейка М6 - =СУММ(B6:B27);

• ит.д.

Расчет значений автокорреляционной матрицы выполняем следующим образом. В ячейкуN4 записываем выражение - =СУММПРОИЗВ($A4:$A$26;C4:C$26)/$M4, которую копируем в блок ячеек N4:U11, т.е в блок 88. При записи этого выражения необходимо правильно указать относительные и абсолютные координаты в адресах ячеек.

Определяем значения критерия z_k (5.43), которые также представлены матрицей 88 (рис.5.19). В ячейку N14 записывается выражение =LN((1+N4)/(1-N4)), которое копируется в блок ячеек N14:U26.

В строке 22 определяем среднее значение по каждому столбцу матрицы z_k (5.44). Для этого в ячейку N22 записываем выражение =СРЗНАЧ(N14:N21) и копируем ее в строку N22:U22.

Рассчитываем критерий (5.45). Для этого в ячейку N25 записываем выражение =(N14-N$22)^2/(1/(24-$L4-3)), которую копируем в блок ячеек N25:U32. В каждом столбце полученной матрицы определяем сумму. В ячейку N33 записываем выражение =СУММ(N25:N32), которую копируем в строку ячеек N33:U33. Полученные суммы являются расчетными значениями критерия , которые сравниваются с критическим значением. Критическое значение определяется в ячейке N34 с помощью встроенной функции =ХИ2ОБР(0.05;7).

Т.к. рассчитанные значения меньше критического, то гипотеза об однородности  - групп коэффициентов автокорреляции не отвергается. Если гипотеза об однородности не отвергается для всех групп, то можно принять, что автокорреляционная функция зависит только от разности аргументов , т.е. случайный компонент представляет собой стационарный процесс.