Статистика

Аналітичні групування – це групування, які визначають взаємозв'язок між різними ознаками одиниць статистичної сукупності. За допомогою такого групування можна виявити певні взаємозв'язки між факторними і результативними ознаками. Наприклад, залежність між рівнем кваліфікації працівника та його заробітною працею. Аналітичні групування є дуже складними і для того, щоб зрозуміти, як вони будуються, необхідно чітко виділити факторні і результативні ознаки в досліджуваному явищі.

Можливі змішання цих типів групування.

Групування можуть бути прості і комбіновані.

Прості групування – це такі групування, які здійснені на підставі однієї ознаки. Комбіновані групування – це групування, які здійснені за двома і більше ознаками. Комбінаційні групування дають можливість комплексного характеризування досліджуваного

явища чи процесу.

Для того, щоб зробити групування за кількісною ознакою, необхідно визначитися з кількістю груп та з інтервалом групування.

Кількість груп визначається математичними методами. Вона має біти ні занадто малою, ні занадто великою, вони мають не заважати проаналізувати кінцевий результат.

Величина інтервалу i	xmax xmin	, де xmax – максимальне значення, xmin – мінімальне
	n

значення, n – кількість груп сукупності.

Формула Стеджерса (?)

Інтервали можуть бути відкриті і закриті, рівні і нерівні.

Рівні інтервали – інтервали з однаковою різницею між верхньою і нижньою границями кожного проміжку.

Нерівні інтервали – інтервали з різними різницями між верхньою і нижньою границями в різних проміжках.

Відкритий інтервал – інтервал з відсутньою однією із границь (наприклад, більше 100, менше 1).

Закриті інтервали – інтервали, в яких присутні всі границі.

Зведення і групування (продовження).

Особливим видом групування є класифікація.

Класифікацією називається систематизований розподіл явищ і процесів (об'єктів) на

визначені групи, класи, розряди на підставі їх подібності і розбіжності.

Класифікації відрізняються від групувань тим, що групувальною основою класифікації є якісна ознака, вони більш стійкі, сталі і стандартні.

Ряд розподілу.

Після обробки кількісних значень, їх систематизації, ми дістаємо певний цифровий ряд, який називається статистичний ряд. Він має дві форми: ряд розподілу і динамічний ряд.

Ряд розподілу – це впорядкований розподіл сукупності на групи за певною

варіюючою ознакою, розташованою в певному порядку (зростання, спадання тощо). Виділяють атрибутивні і варіаційні ряди розподілу.

Ряд розподілу одиниць сукупності, в основу якого покладено якісні ознаки називається атрибутивним. Прикладом атрибутивного ряду розподілу може бути розподіл населення на міське і сільське.

Ряд розподілу одиниць сукупності за ознакою, що має кількісне вираження, називається варіаційним.

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 11 із 42

Варіаційний ряд розподілу має свої особливості. Він складається з двох елементів: варіантів і частот.

Варіантами називають числові значення розмірів кількісної ознаки. Числа, які відповідають цим варіантам, називаються частотами. Частоти можуть виражатися як в абсолютних, так і у відносних одиницях (напр. відсотках).

Відповідно до варіації ознаки, варіаційні ряди розподілу можуть бути дискретними і

інтервальними. В дискретному ряді розподілу кількісна ознака приймає тільки цілі значення. Коли значення варіантів ряду виражено у вигляді інтервалу, такий ряд розподілу називається інтервальним.

Групи сімей - варіант	Кількість сімей - частота	Акумулятивна частка
1	80	80
2	20	100
3	350	450
4	45	495
5	5	500

Накопичення часток по мірі зростання (спадання) ознаки називається акумулятивна частка.

За характером розподілу варіаційні ряди можуть бути симетричні і асиметричні.

Ряд розподілу, де частоти спочатку наростають, а потім спадають, називається симетричним. Ряд розподілу, в якому частоти розташовані несиметрично від середини,

називається асиметричним або скошеним.

Графічно ряди розподілу зображаються у вигляді гістограми або полігону (де ось OY

– результативна ознака, ось OX – факторна ознака):

20
15	Полігон
10
5
0

Статистичні таблиці.

Найчастіше всі зведення і групування оформлюються у вигляді статистичних таблиць.

Статистична таблиця – це форма найбільш раціонального, наочного і систематизованого викладу числових результатів зведення і обробки статистичних матеріалів

Статистичну таблицю можна порівняти з реченням: вона складається з підмета і присудка.

Підметом статистичної таблиці називається статистична сукупність або ї частина, яка характеризується числовими показниками.

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 12 із 42

Присудком називається та частина, що вміщає показники, що характеризують досліджувану сукупність та її частини (тобто підмет)

Статистична таблиця має три заголовка: один зовнішній і два внутрішніх:

Групування банків України за величиною статутного фонду на 1 березня 1999 року.

	Присудок	Кількість	Питома вага	Інші ознаки
Підмет
5,0	– 7,5	8	45
7,5	– 10,0	7	35
10,0 – 12,5		3	20
12,5 – 15,0		2	10
		20	100

В

цілому

Зовнішній заголовок розташований вверху таблиці і містить місце, час, мету досліджуваної

ознаки.

В підсумковій стрічні вказується підсумок по конкретній групі.

При оформленні курсової слід пам'ятати, що при поданні таблиць в правому кутку пишемо: "Таблиця …(номер)…", по центру – заголовок таблиці. Посилання на таблицю в тексті позначається словом "табл." + номер таблиці. При існування великої кількості розділів, при формуванні номеру таблиці вказуємо номер таблиці, потім через крапку – номер розділу, напр.

"Таблиця 1.1"

Таблиці можуть бути простими, груповими і комбінаційними.

Простими називаються такі таблиці, в підметі яких міститься перелік об'єктів, адміністративних і територіальних одиниць або ряд періодів, дат, охарактеризованих числовими показниками. Прості таблиці є найбільш поширеними.

Групові таблиці – це таблиці, підмет яких містить одиниці досліджуваного об'єкту, згрупованих за певною суттєвою ознакою.

Комбінаційні таблиці – це таблиці, в яких підмет побудований за двома і більше ознаками.

Приклад комбінаційної таблиці.

Групування банків України за величиною статутного фонду на 1 березня 1999 року.

Розмір статутного	Прибутковість	Кількість	Питома вага	Інші ознаки
фонду	ативів
5,0 – 7,5	1,5 – 2,0	2	11
	2,0 – 2,5	1	23
	2,5 – 3,0	5	11
		8	45
Разом
7,5 – 10,0	1,5 – 2,0	7	10
	2,0 – 2,5	2	25
	2,5 – 3,0	3	20
Разом		12	55

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 13 із 42

20

100

В

цілому по сукупності

Правила складання таблиць:

1)Таблиця повинна бути компактною і мати тільки ті вихідні дані, які безпосередньо відображають досліджуване явище.

2)Заголовок таблиці, назви граф і строчок повинні бути зрозумілими, чіткими, лаконічними і закінченими.

3)В графах допускаються скорочення тільки при необхідності.

4)Таблиця повинна бути замкнута і мати підсумкову строку. Ця підсумкова строка може знаходитись на початку таблиці.

5)Показники, що характеризують один одного, повинні міститися поруч.

6)Графи нумерують арабськими цифрами, підмет – латинськими літерами.

7)Якщо явище повністю відсутнє, то в клітинки, де має бути його кількісне значення ставиться тире. Якщо дослідник не може знайти відомості про певне явище, то в клітинку ставиться три крапки, або "н.в." – немає відомостей. Якщо дана клітинка не заповнюється, то в неї ставиться хрестик чи зірочка.

За видами групування таблиці можуть бути типологічні, структурні і аналітичні (див. минулу лекцію щодо видів групування).

Абсолютні і відносні величини

План.

1.Поняття, види і одиниці виміру абсолютних величин.

2.Поняття і одиниці виміру відносних величин.

3.Ціль, призначення і види відносних величин.

4.Способи розрахунку відносних величин.

Абсолютні величини (або абсолютні статистичні величини) виражають обсяги, розміри та рівні процесів і явищ.

Вони поділяються на індивідуальні та сумарні. Індивідуальні виражають розміри кількісних ознак окремих одиниць сукупності, а сумарні характеризують величину тієї чи іншої ознаки усіх одиниць сукупності або окремих її груп, і отримуються в результаті підсумування індивідуальних значень.

Абсолютні величини можуть бути виражені в натуральному вигляді (тони, кілометри, кілометри), в умовно-натуральному (в перерахунку на якусь умовну одиницю: умовне паливо, тощо), трудові (людино-години, людино-дні), комплексні (тоно-кілометри4) і вартісний (в грошових одиницях)

Абсолютні статистичні показники можуть бути моментні і інтервальні. Моментні показники неадитивні5, а інтервальні – адитивні.

Відносні величини – це статистичні показники, які виражають кількісне співвідношення між явищами суспільного життя. Це – узагальнюючий показник, який дає

4Скільки тон перевезено на 1 кілометр.

5Адитивність – підсумування.

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 14 із 42

міру співвідношення двох порівнювальних абсолютних величин, одна з яких береться з базового рівняння (називається базовою величиною), а ту, яку порівнюють з базовою – порівнювальна.

Якщо абсолютна величина показує, на скільки певне явище більше, то відносна величина показує в скільки разів це явище більше.

Відносна величина може бути виражена коефіцієнтом, або може бути виражена в процентах, промілях і децепромілях.

Коефіцієнт: k = а1/а2 (в скільки разів явище а1 більше/менше явища а2) Темп зростання Тзр. = k * 100% (у відсотках)6

Темп приросту Тпр. = Тзр. – 1(або 100%)

До відносних величин відносяться: відносна величина планового завдання, відносна величина динаміки, відносна величина структури, відносна величина координації, інтенсивності розвитку і порівняння.

Промілі використовуюся переважно в демографічній статистиці. Вони розраховуються так, як і відсотки але на 1000 одиниць сукупності. Позначаються: 1000 0/00

Відносна величина планового завдання характеризує відношення величини показника, встановленої на плановий період, до величини показника, досягнутої до планового періоду або до якоїсь норми, стандарту, еталону.

	yпл.з.	yпл.
		y0(норма,еталон,сандарт)

Відносна величина виконання плану – це така відносна величина, Яка характеризує виконання плану за певний період.

yв.пл. y1 yпл.

Відносна величина динаміки – це відносна величина, яка показує відношення досягнутого рівня розвитку явища до рівня, який існував до того, або відносно еталона, норми, стандарту. Характеризує розвиток явища в часі і просторі.

	yд	y1
		y0

Між відносними величинами планового завдання, виконання плану і динаміки існує співзалежність:

yпл.з. yв.пл. yд

yпл y1 y1

y0 yпл. y0

Відносними величинами структури називають такі величини, які характеризують відношення частки до цілого.

yстр. fifi

Відносні величини координації характеризують співвідношення між складовими частинами цілого.

6 Отже, в принципі темп зростання схожий на коефіцієнт, різниця лише в тому, що темп зростання виражений в процентах (хоча можна і так, як і k).

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 15 із 42

		y		fi	;	( j i)
			коор.	f j
	Відносна величина інтенсивності розвитку7 – характеризує ступінь поширення
	явища в певному середовищі.

Наприклад, коефіцієнт смертності: kсм. Померло 1000000

П

де П -середньостатистична кількість померлих.

	Коефіцієнт народжуваності:	k	нар.	Народжено 10000	00
				Н

Відносна величина порівняння – показує співвідношення одноіменних величин, що стосується різних об'єктів, різних територій, але за той же самий період.

Наприклад, населення м.Києва 3,5 млн. чол., населення Москви – 10,5 млн. чол. Отже населення Москви в 3 рази більше за населення Києва.

Середні величини.

Середня величина – це узагальнюючі показник, які характеризують рівень варіруючої ознаки в якісно однорідній сукупності.

Сукупність, яку ми збираємося характеризувати середньою величиною повинна бути:

1)якісно однорідною, однотипною;

2)складатися з багатьох одиниць.

Середні величини можуть бути абсолютними або відносними залежно від вихідної бази.

Середні можуть бути прості і зважені.

Найбільш простим видом середніх величин є середньоарифметична проста:

xар. nx ,

де n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.

Вона застосовується в тому випадку, коли у нас варіруюча арифметична ознака має різні значення, і є незгруповані дані.

Якщо ж ми маємо згруповані дані, або варіруюча ознака зустрічається декілька раз, то застосовується середня арифметична зважена.

				x	x f		,
					f
			де x – варіруюча ознака,
		f – абсолютна кількість повторення варіруючої ознаки.
Середня гармонічна (гармонійна).
	Фірми		Вихідні дані					Розрахункові дані
		Середня зарплата на			Фонд заробітної			Середня кількість
		1 робітника, грн.			плати, тис. грн.			робітників, чол.
1		130			273			2100
7 Відносні величини інтенсивності виражаються переважно в промілях.
Copyright © by Мазуренко В.П.							Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 16 із 42

2	150	330	2200
3	120	288	2400
Разом		891	6700

xзв.

ФЗП

w1

w2

we

w

w1

w2

w3

w

Т

x1

x2

x3

x

де x – середня кількість робітників w – середня заробітна плата.

Середня гармонійна зважена застосовується тоді, коли ми маємо загальний обсяг і індивідуальні значення, але не маємо кількості індивідуальних значень.

Середні величини (продовження).

Приклад №1. Використання середньої гармонічної. Автомобіль проїхав певну відстань

(візьмемо її за 1) зі швидкістю 40 км/год. Назад він повертався зі швидкістю 60 км/год. Яка ж його середня швидкість?

Для розрахунку використаємо середню гармонічну просту:

xгарм.	n		1					1			48(км/ год)
	1		1					1
		x	40					60

Середня гармонічна – це обернена величина до середньої арифметичної, обчислена з обернених величин осереднюваних варіруючих ознак.

n

xгарм. 1

x

Середні поділяються на 2 великі класи: структурні і степеневі (сюди належать середня гармонічна, середня геометрична, середня квадратична, середня прогресивна тощо).

Середня геометрична розраховується за формулою: xгеом.	n 1		yn
			y0

Приклад №2. Використання середньої арифметичної для розрахунку недискретного ряду.

Групування	Кількість	Фонд заробітної
робітників за	робітників	плати
розміром зарплати
До 100	80	7200
100 – 120	250	27500
120 – 140	320	41600
140 – 160	230	34500
Понад 160	120	20400
Разом	1000	131200

Необхідно знайти середню заробітну плату робітників.

Перш за все ми повинні закрити верхні і нижні границі. Оскільки величина інтервалу в подальших групах дорівнює 20 од., перший інтервал записуємо "80 – 100", останній – "160-180". Потім знайдемо середину інтервалу:

	Групування	Кількість	Середини		Фонд заробітної
Copyright © by Мазуренко В.П.				Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 17 із 42

робітників за	робітників	інтервалу	плати
розміром зарплати	(f)
(x)
До 100	80	90	7200
100 – 120	250	110	27500
120 – 140	320	130	41600
140 – 160	230	150	34500
Понад 160	120	170	20400
Разом	1000		131200

	Тоді середня арифметична зважена:
	xар.зв.	xf	90*80 110* 250 130*320 150* 230 170*120					131200	131,2
		f	80	230	320	230	120	1000

Властивості середньої (математичні).

1) Алгебраїчна сума відхилень всіх варіант від середньої дорівнює 0:

(xi x) 0

2) Якщо одну із варіант збільшити або зменшити на певну величину, то і середня зміниться на таку ж величину:

(x k)f

f

x k

3) Якщо кожну варіанту розділити чи помножити на довільне число, то і середня збільшиться або зменшиться на те ж саме число.

(x * k)f

f

x * k

4) Якщо частоти всіх варіант помножити чи поділити на довільне число, то середня не зміниться.

x(f * k)

(f * k)

x

5) Сума квадратів відхилень варіант від середньої менша за будь-яку іншу величину:

(xi x) min

Середні структурні.

До середніх структурних відносяться дві величини, які називаються "мода" і "медіана".

Мода (модальна величина) ряду – це така величина, яка найбільш часто зустрічається в даному розподілі.

	Mo x0	i		(f2	f1 )
			(f2	f1 )	(f2 f3 )

x0 – це нижня межа модального інтервалу. i – величина інтервалу.

f2 – частота модального інтервалу,

f1 – частота передмодального інтервалу (того, що передує модальному)

f3 – частота позамодального інтервалу (того, що йде після модального інтервалу)

Розрахуймо моду до прикладу №2.

Copyright © by Мазуренко В.П.

Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 18 із 42

Mo	120	20		(320	250)		120	8,8	128,8
			(320	250)	(320	230)

Медіаною називається така величина, що займає серединне положення у варіаційному ряду, в якому варіанти розташовані в зростаючому або спадаючому порядку.

Для дискретного ряду:	Me	n 1
		2
								f	Sm 1
Для варіаційного ряду (приклад №2):				Me x0	i		2
									fm

x0 – це нижня межа медіального інтервалу. i – величина інтервалу.

Sm-1 – сума накопичених частот до медіанного інтервалу. fm – частота медіанного інтервалу.

Групування	Кількість	Середини	Фонд заробітної	Наростаючий
робітників за	робітників	інтервалу	плати	підсумок частот
розміром зарплати	(f)			(накопичені
(x)				частки)
До 100	80	90	7200	80
100 – 120	250	110	27500	330
120 – 140	320	130	41600	650
140 – 160	230	150	34500	880
Понад 160	120	170	20400	1000
Разом	1000		131200

(синім позначено медіанний інтервал: серединою кількості робітників є 500, і він належить до

	накопиченої частки у третьому ряду)
		1000			330
	Me 120 20		2			120 7,5 127,5
		320

Структурні величини мода і медіана застосовуються для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу, тобто їх структури.

Нормований середній бал.

Нормований середній бал застосовується для ознак рангової шкали.

Рангова шкала визначає не тільки подібність елементів, а і послідовність типу "більше-менше", "краще, ніж" тощо.

Для розрахунку нормованого середнього балу необхідно, спочатку, ранжувати значення ознаки в порядку зростання якості. Тоді:

			x		R
				2
k								,
				x'

де k - нормований середній бал; x - середньозважений ранг;

R – різниця між максимальним і мінімальним значенням рангу. x' – середина шкали рангів.

Приклад №3. Обстеження показало відношення населення району до медичного

обслуговування:
повністю задоволені	15%
Copyright © by Мазуренко В.П.	Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 19 із 42

частково	50%
не задоволені	35%.
Яке ж в середньому ставлення населення до медичного обслуговування?
Проведемо ранжування:	найкраще відношення – 3 бали, частково – 2 бали, не

задоволені – 1 бал.
x			xf		3*15				2*50 1*35							1,78
			f						100
		R = xmax – xmin = 3 – 1 = 2
			x'		xmax					xmin		4			2
					2							2
				x		R			1,78			2
					2							2
	k														0,39
					x'				2

Отже, 39% населення оцінюють медичне обслуговування як задовільне (оскільки за найвищий ранг ми взяли найкраще обслуговування)8.

Статистичне вивчення варіації.

План.

1.Суть варіації. Необхідність її статистичного вивчення.

2.Характеристики або показники варіації.

3.Методи обчислення дисперсії.

4.Види дисперсії. Правила додавання дисперсій.

5.Характеристики форми розподілу.

6.Криві розподілу.

До характеристик варіації відносяться наступні показники: розмах варіації, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилення, середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації.

Задача №1. Нехай маємо дві бригади із такою продуктивністю праці працівників:

1)29, 31, 33, 30, 34;

2)31, 32, 37, 27, 30.

Необхідно порівняти ці дві бригади.

Спочатку знайдемо середню продуктивну працю по кожній бригаді:

x1		x		31 29 33	30	34	31,4
		n		5
x2		x		31 32 37	27	30	31,4
		n		5

Розмах варіації становить різницю між мінімальним і максимальним значенням ознаки: R = xmax – xmin.

В нашому випадку:

R1 = 34 – 29 = 5

8 Якби ми за найвищий ранг ми взяли незадоволення, то отриманий відсоток свідчив би про негативне відношення.

Copyright © by Мазуренко В.П. Produced (p) by Gray Wolf Production Inc.

All rights reserved. Unauthorized copying, printing & publishing are strongly prohibited & punished by law.

Сторінка 20 із 42