- •Министерство образования республики беларусь
- •Оглавление
- •Введение
- •Лабораторная работа 1
- •Решение слау методом Гаусса
- •Метод Гаусса с выбором главного элемента
- •Метод прогонки
- •Итерационные методы решения слау
- •Метод Зейделя
- •Пример решения задачи в MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Указание. Предусмотрите компактное размещение элементов матрицы в памяти эвм.
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 2 аппроксимация и интерполирование функций
- •Постановка задачи
- •Аппроксимация функции методом наименьших квадратов
- •Локальная интерполяция
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 3 численное интегрирование и дифференцирование функций
- •Постановка задачи численного интегрирования и методы её решения
- •Решение задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Постановка задачи численного дифференцирования и методы её решения
- •Аппроксимация производных посредством локальной интерполяции
- •Погрешность численного дифференцирования
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 4 численное решение задачи коши
- •Постановка задачи
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 5 решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
- •Основы метода конечных разностей
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Контрольные вопросы
- •Лабораторная работа 6 решение задач теплопроводности
- •Постановка задачи и метод её решения
- •Варианты индивидуальных заданий
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Пример решения задачи средствами MathCad
- •Контрольные вопросы
- •Список источников
- •Компьютерные методы математического моделирования Лабораторный практикум для студентов специальности 1-40 01 02 Информационные системы и технологии
- •225404 Г. Барановичи, ул. Войкова, 21
Пример решения задачи средствами MathCad
Задача Коши: y’(t) = 2ty, t0 = 0, T = 1,
y(0) = 1.
Исходные данные:
правая часть:
;
начальное значение:
концы отрезка:
шаг сетки:
число узлов сетки:
Функция, реализующая явный метод Эйлера, возвращает вектор решения:
!!!!!
Входные параметры:
f — функция правой части;
y0 — начальное значение;
t0 — начальная точка отрезка;
h — шаг сетки;
N — число узлов сетки.
Вычисление решения по методу Эйлера:
!!!!!
Вычисление решения по методу Рунге-Кутты четвертого порядка точности:
Входные параметры:
y — вектор начальных значений;
t0 — начальная точка отрезка;
T — конечная точка отрезка;
N — число узлов сетки;
f — функция правой части.
Функция rkfixed возвращает матрицу, первый столбец которой содержит узлы сетки, а второй — приближенное решение в этих узлах.
Точное решение:
.
Точное решение в узлах сетки:
.
Решение по методу Эйлера, решение по методу Рунге-Кутты, точное решение:
Графики приближенного и точного решений:
Вычисление погрешности по правилу Рунге:
Вычисление приближенных решений с шагом h / 2:
Вычисление погрешностей:
Значение погрешностей:
Варианты индивидуальных заданий
Задача 1. Напишите программу численного решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
на отрезке с шагома) методом Эйлера; б) методом Рунге-Кутты четвертого порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге. Найдите точное решение задачи. Постройте на одном чертеже графики точного и приближенных решений. Исходные данные для выполнения задания возьмите из таблицы. Для реализации методов используйте среду программирования и сравните полученные результаты с моделированием средствамиMathCad.
Таблица 4.1 — Индивидуальные задания к задаче 1
№ |
f(t,y) |
t0 |
T |
y0 |
№ |
f(t,y) |
t0 |
T |
y0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
16 |
|
1 |
2 |
1 | |
2 |
+1 |
0 |
17 |
|
1 |
2 |
3 | ||
3 |
0 |
1 |
0 |
18 |
|
1 |
2 |
1 | |
4 |
+1 |
0,5 |
19 |
|
1 |
2 |
1 | ||
5 |
–1 |
0 |
1,5 |
20 |
|
1 |
2 | ||
6 |
0 |
1 |
1 |
21 |
|
1 |
2 |
1 | |
7 |
+1 |
1 |
22 |
|
0 |
1 |
3 | ||
8 |
|
+1 |
23 |
|
0 |
1 |
1 |
Окончание табл. 4.1
9 |
1 |
2 |
1 |
24 |
0 |
1 |
1 | ||
10 |
0 |
1 |
25 |
|
0 |
1 |
0,5 | ||
11 |
2 |
3 |
4 |
26 |
|
0 |
1 |
3 | |
12 |
1 |
2 |
27 |
|
0 |
1 |
–0,5 | ||
13 |
1 |
2 |
1 |
28 |
|
1 |
2 |
1 | |
14 |
1 |
2 |
4 |
29 |
|
0 |
1 |
0 | |
15 |
1 |
2 |
– |
30 |
|
0 |
1 |
–1 |
Контрольные вопросы
На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?
В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?
Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?
В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?
Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?
Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?