Раздел 2. Приложение математического анализа функций многих переменных к задачам экономики и управления

2.1. Производственная функция Кобба—Дугласа.

В 1927 г. экономист Пол Дуглас, анализируя динамику изменения индексов реального объема производства, реальных капитальных затрат и реальных затрат труда в промышленности США в период 1899—1922 гг., обнаружил, что временная зависимость логарифмов этих величин характеризуется интересной закономерностью: расстояние от точек графика показателей выпуска (Q) до точек графиков показателей затрат труда (K) и капитала (L) составляет постоянную пропорцию. Математик Чарльз Кобб предложил математическую формулу, описывающую такую зависимость:

Q = AK^L^1 . (2.1)

По оценкам Ч. Кобба и П. Дугласа, величина  = 1/4 (современный расчет по исходным данным, использованным Ч. Коббом и П. Дугласом, методом наименьших квадратов, дает именно это значение  = 0,25 и, соответственно, 1 = 0,75; если использовать более общую аппроксимирующую формулу Q = AK^L^, то получаем близкие значения  = 0,23 и  = 0,81).

Функцию (2.1) Q = AK^L^1 можно рассматривать как функцию двух переменных K и L, к которой применима теория функций многих переменных. Ниже будут рассмотрены основные экономические понятия, связанные с этой теорией.

2.2. Основные экономические понятия, связанные с производственной функцией.

В общем случае производственная функция описывает зависимость объема выпускаемой продукции от затрачиваемых или используемых ресурсов, и может быть функцией не двух, а большего числа переменных. Так, в рамках действующего предприятия в качестве затрачиваемых или используемых ресурсов могут фигурировать затраты рабочего времени, сырья, комлектующих изделий, энергии, основного капитала, т.е. пять переменных. Если производственная функция описывает экономику региона, то в качестве ресурсов можно рассматривать основной капитал, живой труд и природные ресурсы, а значением функции является совокупный продукт региона.

Для простоты рассмотрим общий вид производственной функции двух переменных Q = f(K, L), описывающей зависимость выпуска продукции от вложенного капитала K и затраченного труда L. График производственной функции двух переменных — поверхность в трехмерном пространстве. Линия уровня производственной функции, т.е. линия, в каждой точке которой объем выпуска при разных значениях и один и тот же, называется изоквантой или кривой безразличия производства. Уравнение изокванты имеет вид f(K, L) = const.

Изокванты не пересекаются; большему объему производства отвечают изокванты, более удаленные от начала координат; касательные к изоквантам имеют отрицательный угловой коэффициент.

При исследовании свойств производственной функции используют т.н. предельные величины, математически являющиеся частными производными.

Предельным продуктом капитала называют предел отношения приращения количества произведенной продукции к вызвавшему это приращение приросту вложенного капитала, т.е. частная производная производственной функции Q = f(K, L) по переменной K. В отличии от математического понятия частной производной, предельный продукт капитала является размерной величиной:

=. (2.2)

Аналогично, предельным продуктом труда называют предел отношения приращения количества произведенной продукции к вызвавшему это приращение приросту вложенного труда, т.е. частная производная производственной функции Q = f(K, L) по переменной L. Предельный продукт труда также является размерной величиной:

=. (2.3)

При одновременном изменении вложенного труда и капитала приращение выпуска можно приближенно вычислить по формуле, аналогичной (1.4):

. (2.4)

Величина , вычисленная в точках изокванты, называетсякоэффициентом заменяемости ресурсов. Он показывает, на сколько единиц нужно увеличить вложение капитала при уменьшении на единицу вложенного труда с тем, чтобы выпуск не изменился. Геометрический смысл коэффициента заменяемости ресурсов — угловой коэффициент касательной к изокванте. Используя теорему для производной неявной функции Q(K, L) = const, можно получить рабочую формулу для вычисления коэффициента заменяемости ресурсов:

=. (2.5)

Пример 3. Построить двумерный график производственной функции Q = K^1/4L^3/4, представив его в виде семейства изоквант в области изменения переменных K = {1, 3}и L = {1, 4}. Рассчитать предельные продукты труда и капитала, а также коэффициент заменяемости ресурсов в точке K = 2, L = 3.

Решение. Так как производственная функция Q = K^1/4L^3/4 монотонно возрастает в области ее определения, то ее наибольшее и наименьшее значения отвечают величинам

Q_мин = (K_мин)^1/4 (L_мин)^3/4 = 1^1/41^3/4 = 1;

Q_макс = (K_макс)^1/4 (L_макс)^3/4 = 3^1/44^3/4 = 1,3162,828 = 3,72,

т.е. область изменения функции Q = {1; 3,72}, поэтому достаточно построить графики двух изоквант Q = 2 и Q = 3.

Из уравнений изоквант K^1/4L^3/4 = 2 и K^1/4L^3/4 = 3 получаем соответственно взаимосвязь между переменными K и L при постоянном выпуске:

K = 16/L³ ; K = 81/L³.

На рис. 2.1 представлен график производственной функции Q = K^1/4L^3/4 в виде семейства изоквант (дополнительно построены также изокванты K^1/4L^3/4 = 1,5; K^1/4L^3/4 = 2,5; K^1/4L^3/4 = 3,5).

Рис. 2.1. Линии уровня производственной функции Q = K^1/4L^3/4, построенные средствами программы Mathcad 7.0 (переменная L — горизонтальная ось, переменная К — вертикальная ось)

Из наклона изоквант к горизонтальной (затраты капитала) и вертикальной (затраты труда) осям можно заключить, что более сильное влияние на выпуск продукции оказывают затраты труда. В точке с координатами (2, 3) выпуск продукции примерно равен 2,7 единиц (определено визуально по графику). Более точный расчет дает подстановка этих значений в формулу: Q(2, 3) = 2^1/43^3/4 = 1,1892,279 = 2,71.

Для расчета предельных продуктов труда и капитала используем формулу производной степенной функции .

Предельный продукт труда ===3/4. ПодставляяK = 2, L = 3, получаем: (2, 3) = 3/42^1/4/3^1/4 = 0,751,189/1,316 = 0,68 ед. продукции на ед. труда.

Предельный продукт капитала ===1/4. ПодставляяK = 2, L = 3, получаем: (2, 3) = [(1/4)/2^3/4]3^3/4= (0,25/1,682)2,279= 0,34 ед. продукции на ед. капитала.

Полученные результаты интерпретируются так: производство продукции Q, характеризующееся величинами капитала K = 2 и труда L = 3, при увеличении труда L на одну ед. увеличивается на 0,68 ед., а при увеличении капитала K на одну ед. увеличивается на 0,34 ед. Таким образом, увеличение труда является более эффективным.

Коэффициент заменяемости ресурсов определяется по формуле (2.5). Запишем ее с учетом обозначений =и=. Тогда получаем:

==.

Подставляя найденные значения предельных продуктов труда и капитала в точке K = 2, L = 3, получаем: R(2, 3) = = 0,68/0,34 = 2. Это означает, что для того, чтобы выпуск продукции не изменился, надо при уменьшении на единицу вложенного труда увеличить вложение капитала на две единицы.