5. Содержание дисциплины (модуля) «Математика».

5.1. Содержание разделов дисциплины (модуля) «Математика»:

Раздел 1. Матрицы. Определители:

Тема 1. Матрицы. Операции над матрицами.Понятие матрицы, виды матриц. Действия над матрицами и их свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую степень, транспонирование.Элементарные преобразования матриц, эквивалентные матрицы.

Тема 2. Определители и их свойства.Основные понятия. Вычисление определителей 2-3 порядка, правило Сарруса. Свойства определителей. Дополнительный минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителей по элементам некоторого ряда.

Тема 4.Использование алгебры матриц на практике.

Система линейных уравнений, стремящихся к неизвестным х,у,z.Решение ее по правилу Крамера.

Раздел 2. Системы линейных уравнений:

Тема 5. Системы линейных уравнений.Совместная, несовместная, определенная, неопределенная СЛУ. Матричный способ решения СЛУ. Формулы Крамера.

Тема 6. Матричная форма системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Метод Гаусса, метод Крамера, матричный способ решения систем линейных уравнений. Задачи с экономическим содержанием на составление систем линейных уравнений.

Раздел 3. Векторы:

Тема 7.Векторы. Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами. Скалярное произведение векторов. Длина вектора. Угол между векторами

Тема 8. Линейная зависимость векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и ранг системы векторов. Представление векторов в произвольном базисе. Разложение вектора в ортогональном базисе.

Раздел 4. Элементы аналитической геометрии:

Тема 9.Элементы аналитической геометрии на плоскости. Прямые и плоскости в аффинном пространстве. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка.

Тема 10. Линии второго порядка. Общее уравнение линии второго порядка.

Раздел 5. Числовые последовательности:

Тема 11.Понятие числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями. Ограниченные и неограниченные последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Тема 12.Сходящиеся последовательности. Понятие сходящейся последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Предел числовой последовательности. Типы неопределенностей. Раскрытие неопределенностей Монотонные последовательности. Число е. Использование пределов последовательностей в экономике: финансовые задачи и задачи демографии.

Тема 13.Функций одной переменной. Понятие функции одной переменной. Область определения функции. Таблицы и графики функции. Кривые спроса и предложения. Паутинная модель рынка.

Тема 14. Предел функции. Предел функции в точке. Левый и правый пределы. Теоремы о пределах. Первый и второй замечательные пределы. Использование второго замечательного предела в финансовых вычислениях. Методы вычисления пределов функции

Раздел 6. Функции. Основные элементарные функции:

Тема 15.Непрерывность функций. Определение непрерывности функции. Арифметические действия над непрерывными функциями. Непрерывность рациональных функций. Точки разрыва функции и их классификация.

Тема 16.Функции нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных. Некоторые виды функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывные функции нескольких переменных

Тема 17.Функции нескольких переменных в задачах экономики. Экстремум функции нескольких переменных. Прибыль от производства разных видов товара. Оптимальное распределение ресурсов. Максимизации прибыли производства двух товаров. Оптимизация спроса.

Тема 18.Исследование и построение графиков экономических функций. Исследование и построение графиков экономических функций: функции полезности, описывающей поведение «богатого» покупателя, «бедного» покупателя . Построение графика функции, описывающей динамику изменения цены. Построение графика функции, описывающей закон убывающей эффективности производства.

Раздел 7. Основы дифференциального исчисления:

Тема 19.Основы дифференциального исчисления. Понятие производной. Геометрически, физический, экономический смысл производной. Понятие дифференцируемости функции. Правила дифференцирования. Таблица производных. Производная сложной функции. Правило Лопиталя.

Тема 20. Применение производных в исследовании функций. Производные высших порядков. Признак монотонности функции. Точки локального экстремума. Выпуклость и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Схема исследования графика функции. Построение графиков функции.

Тема 21.Частные производные функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков. Определение и необходимые условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума. Максимальное и минимальное значение функции в замкнутой области. Понятие о выпуклых множествах.

Тема 22.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Определение дифференциального уравнения первого порядка. Существование решения дифференциального уравнения первого порядка. Геометрический смысл уравнения первого порядка

Тема 23.Уравнения с разделяющимися переменными. Уравнения с разделяющимися переменными. Метод разделения переменных. Задача Коши.

Тема 24.Линейные уравнения. Определение линейного уравнения. Однородное линейное уравнение. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка методом вариации произвольной постоянной.

Тема 25.Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Основные понятия. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Три случая комбинации корней. Понятие комплексного числа.

Тема 26.Применение производных в экономике. Средние и предельные издержки, эластичность спроса, оптимизация финансовых накоплений, оптимизация налогообложения, закон убывающей эффективности производства

Раздел 8. Неопределенный и определенный интегралы:

Тема 27.Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Основные неопределенные интегралы. Непосредственное интегрирование.

Тема 28. Основные методы интегрирования: метод подстановки. Замена переменной интегрирования. Формула замены переменной в неопределенном интеграле. Некоторые особенности методы подстановок.

Тема 29.Основные методы интегрирования: интегрирование по частям. Интегрирование по частям. Формула интегрирования по частям. Выбор в подынтегральном выражении сомножителей. Рекуррентные формулы вычисления интегралов.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка.

Тема 30.Определенный интеграл. Условия существования определенного интеграла. Основные свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Приложение определенного интеграла в экономике.

Активные и интерактивные формы обучения:

Наименование темы. Форма и ее описание.

Тема 2. Определители и их свойства:

Круглый стол. Аргументировать свои соображения и излагать мысли о нескольких взаимосвязанных по содержанию списков, состоящих из одинакового количества чисел. Студенты называют, например, данные о выпуске продукции нескольких видов в каждом месяце квартала или нормы затрат ресурсов нескольких видов на производство продукции. Основываясь на этих примерах, приведенных студентами в ходе тематической дискуссии в группе, преподаватель делает вывод о том, что такие числовые данные удобно записывать в виде прямоугольных таблиц, которые называются матрицами, состоящими из m строк и n столбцов. Эти числа таблицы называются элементами матриц. В ходе беседы студенты обосновывают, аргументируют свои соображения о практическом применении квадратной матрицы, введя новое алгебраическое понятие определителя (или детерминанта), которое обозначается как |А|; det А или ∆.

Основываясь на результатах дискуссии студентов за круглым столом, преподаватель делает вывод о том, что определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1) ^n+m, где n-число строк, m-число столбцов определителя. Для закрепления данной темы преподаватель совместно с группой решает следующую задачу:

Предприятие производит продукцию трех видов и использует сырье двух типов. Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого вида заданы матрицей А=). Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей – строкой В= (10 15).Нужно определить общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции первого вида,200 единиц продукции второго вида и 150 единиц продукции третьего вида.

Тема 3.Обратные матрицы:

Проблемностьв изучении данной темы (выделение проблемы, поиск путей ее решения, выявление и разрешение противоречий).

Матрица А^-1называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную матрицу А как справа, так и слева получается единичная матрица Е, т.е. А^-1·А = А·А^-1=Е.

Из определения следует, что только квадратная матрица имеет обратную матрицу А^-1и обратная матрица является квадратной того же порядка. Однако, не каждая квадратная матрица имеет обратную. Почему? Возникла проблема. На основе коллективного обсуждения данной проблемы приходим к выводу: действительно, А^-1=, т.е. необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы является требование, чтобы |А|≠0. Если определитель матрицы |А|≠0, то такая квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если |А|=0, то такая матрица называется вырожденной или особенной. Таким образом, студенты выясняют, что необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы А^-1является то, что исходная матрица А должна быть невырожденной, т.е. |А|≠0. Исходя из полученных выводов, преподаватель формулирует алгоритм вычисления обратной матрицы:

1.Вычисляем определитель исходной матрицы ∆= |А|=det А. Если ∆=|А|=0, то матрица А – вырожденная и обратной матрицы А^-1не существует. Если ∆=|А|≠0, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А^-1существует.

2.Находим матрицу А′, транспонированную к А.

3.Находим алгебраическое дополнение элементов транспонированной матрицы

А′ _ij= А _ij(i=1,2,3…n;j=1,2,3…n) и составляем из них присоединенную матрицу Ã: ãij= А′ij= Ãij(i=1,2,3…nиj=1,2,3…n).

4.Вычисляем обратную матрицу по формуле А^-1=·Ã.

5.Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А^-1, исходя из А^-1·А= А^-1·А=E.

Далее студенты определяют матрицу, обратную к данной матрице A=.

Тема 4. Использование алгебры матриц на практике:

Творческое задание -это учебное задание, которое требует от студента не простого воспроизводства информации (знаний и умений) и содержит несколько подходов решения. Например: Решить систему линейных уравнений

методом Гаусса и правилом Крамера, используя матрицы и

Тема 5. Системы линейных уравнений:

Мозговой штурм, который используется на предприятиях для поиска нетрадиционных решений различных задач, также часто используется при тупиковых и проблемных ситуациях.

Учебной группе предлагается следующая экономическая задача: найти оптимальный план перевозок машин, если с двух заводов поставляются автомобили для двух автохозяйств, потребности которых составляют 200 и 300 машин. Первый завод выпустил 350 машин, а второй - 150 машин. В таблице даны затраты на перевозку машин с завода в каждое автохозяйство:

Завод	Затраты на перевозку в автохозяйство, ден.ед.
	1	2
1		5 20
2	8	25

Студенты предлагают различные методы решения задачи: составление уравнений, выражающих зависимость количества машин, поставляемых с 1 и 2 заводов первому и второму автохозяйству, потребности которых, соответственно равны 200 и 300 машин. Для активизации процесса генерирования идей студентами в ходе «штурма» (определение формул зависимости) преподаватель использует некоторые интересные приемы:

-инверсия (сделай наоборот), т.е. по затратам определить количество выпускаемых машин каждым заводом,

-аналогия (сделай так, как это сделано в таблице), т.е. определить зависимость между затратами на перевозку в автохозяйство и количеством выпускаемых машин каждым заводом (350 и 150) машин и потребностью каждого автохозяйства (200 и 300) машин,

- эмпатия (т.е. считайте себя участником данной задачи: работником 1 и 2 завода и 1 и 2-го автохозяйства и попытайтесь найти оптимальный план перевозок автомашин с заводов на автохозяйства:1 и 2). Далее преподаватель совместно со студентами составляет систему уравнений:

Решая данную систему уравнений методом Гаусса (метод треугольника), находим:

x₁₁=5,x₁₂=300,x₂₁=150,x₂₂=0. Т.к. ранг матрицы = 4, т.е. m =n=4, поэтому система имеет единственное решение.

Тема 6. Матричная форма системы уравнений:

Творческое задание - это выполнение группового творческого проекта, например, использование матричной формы системы уравнений для рассмотрения процесса производства за некоторый период времени (например, год). Для решения данной задачи студенты используют знания по экономике: х_i– общий (валовой) объем продукцииi-ой отрасли (i=1;2;3;…n); х_ij- объем продукции i-ой отрасли,потребляемой j-ой отраслью в процессепроизводства (i,j=1;2;3;...n); y-объем конечного продукта i-ой отрасли для непроизводственного потребления.

В процессе выполнения творческого задания студенты выясняют, что валовой объем продукции любой i-ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, т.е. х_i=х _ij+ у _I , где i=1,2,3,...n.

Преподаватель уточняет, что эти уравнения называются соотношениями баланса. Введем коэффициенты прямых затрат: а_ij=, (где I; j=1,2,…n), которые показывают затраты продукции i-ой отрасли на производство единицы продукции j-ой отрасли. Коэффициенты а_ij

будут постоянными, и это означает, что материальные затраты линейно зависят от объема валового выпуска, т.е. х _ij= а _ij·х (i; j=1,2,..n). Тогда модель межотраслевого баланса примет следующий вид:

х _i=(а _ij·х _j+у _i) , где i=1,2,3,...n.

Используя матричную форму системы уравнений, можно записать

X=;A=иY=,

где X- вектор валового выпуска,Y-вектор конечного продукта, А-матрица прямых затрат (технологическая и структурная матрица). Поэтому для любого вектора конечного продуктаYможно найти необходимый объем валового выпускаXпо формуле:

X=(Е-А) ^-1·Y, гдеS=(E-A) ^-1 - матрица полных затрат,

где Е=-единичная матрица.

Тема 7. Понятие и основные свойства вектора. Операции над векторами:

Метод проектов - выполнение индивидуального и группового творческого задания по сложению и умножению векторов. Основываясь на школьных знаниях студентов преподаватель делает вывод о том, что вектором называется направленный отрезок, где точка А означает начало вектора, точка В – его конец. В процессе группового обсуждения множества n-мерных векторов определяются основные свойства линейных действий над векторами:

1. Сложение векторов

1) +=+(коммутативность)

2) + (+) = (+)+(ассоциативность)

3) +0 =

2.Умножение вектора на число:

4) λ·ϻ() =λ(ϻ· ) (ассоциативность)

5) λ(+) =λ·+ λ·(дистрибутивность)

6) (λ+ϻ) =λ·+ϻ·(дистрибутивность относительно сложения чисел)

7) 0·=

8) λ·=

9) -=+(-1)·

После группового изучения основных понятий и операций над векторами произведение векторов: ·=||·||·cosφ и ·=||·||·sinφ

где φ-угол меду векторами и .

Индивидуальные творческие задания студентам: установить, компланарны ли векторы ,,, если:

1) ={2;3;-1}; ={1;-1;3}; ={1;9;-1}.

2) ={3;-2;1};={2;1;2}; ={3;-1;-2}.

3) ={2;-1;2};={1;2;-3}; ={3;-4;7}.

Групповое творческое задание студентам: вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2,-1,1), В (4,1,-2), С (4,1,3).

Тема 9. Элементы аналитической геометрии. Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка:

Дискуссия -всестороннее обсуждение(коллективное) данной темы в группе. На основе знаний по математике (средняя школа) преподаватель ставит вопрос пред студентами, как можно представить линию на координатной плоскости. Студенты в ходе дискуссии уточняют, что линию на координатной плоскости можно задать уравнением с 2 переменными, как f (х;у) и множеством решений (х;у) которого является множество координат точек данной линии. Преподаватель дополняет что, иными словами, если точка М (х;у) лежит на линии, то координата любой точки М (х;у) удовлетворяют уравнению f (х;у)=0, а если она не лежит на этой линии, то координаты точки не удовлетворяют данному уравнению. Студенты уточняют, что уравнение прямой линии, проходящей через точку В (0;в) и составляющей угол с осью ох, равный ϕ определяется формулой:. Данное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентомkи начальной ординатой у₀=bпри х=х₀=0. Преподаватель разъясняет, что общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: Ах+Ву+С=0, где А,В,С- действительные числа, при этом А,В одновременно не равны нулю, т.е. А²+В²≠0.

Преподаватель спрашивает, как найти угловой коэффициент (k) прямой, проходящей через 2 данные точки А (х₁; у₁) и В (х₂;у₂), где х₁≠х₂? Коэффициент этой прямой (k) можно найти по формуле:

k=и из общего уравнения прямойk=tgх=. Тогдаk=tgх==.

Далее преподаватель дает задание для самостоятельного определения студентами уравнения прямой на плоскости: в прошлом году средняя цена данного товара была 30 руб., а в настоящем году 36 руб. Найти зависимость цены товара от номера года при условии, что тенденция роста цены сохранится, т.е. цена будет увеличиваться ежегодно на одну и ту же величину. Составить прогноз цены на 5 лет вперед.

Решение: , отсюдаy=30+(х - х)=

Тема11.Понятие числовой последовательности. Операции над числовыми последовательностями:

Методика «Попс-формула», которая позволяет студентами аргументировать свою точку зрения по решению своей точки зрения. Попс-формула состоит из 4-ех элементов

1) П - позиция (в чем заключается сущность вашей точки зрения);

2) О - обоснование (довод в поддержку вашей позиции)

3) П - пример (факты , иллюстрирующие довод);

4) С - следствие (вывод).

Индивидуальное задание студентам, которое нужно выполнить с использованием методики «ПОПС-формула»:

Дана формула общего элемента последовательности x _n=. Вычислить пять первых членов последовательности.

П - позиция (в чем заключается точка зрения)	Я считаю, что для нахождения пяти первых элементов последовательности необходимо поставить последовательно в формулу х значения номеров элемента n=1;2;3;4;5.
О - обоснование (довод в поддержку позиции)	Потому, что каждому числу n из натурального ряда чисел соответствует вещественное число х, определяемое формулой x n=.
П - пример (факты, иллюстрирующие довод)	Действительно, при n=1 значение x 1===; приn=2,; приn=3,; приn=4,; приn=5,.
С - следствие (вывод)	Поэтому ответом данного задания будет: x=;x=; x=;x=; x=.

Тема 12.Сходящиеся последовательности:

Групповое обсуждениепо теме «Сходящиеся последовательности» направлено на нахождение предела последовательности его частичных сумм, т.е. S_n=S.

Например, исследовать путем группового обсуждения сходимость геометрического ряда, т.е. числового ряда, составленного из членов геометрической прогрессии:

b₁+b₁q+b₁q²+…b₁q^n-1+…+=

Используя знания школьного курса алгебры, студенты объясняют, что сумма n-членов геометрической прогрессии, т.е. n-я частичная сумма ряда при q≠1 равна S=

В ходе обсуждения студенты выявляют, что здесь возможно несколько случаев:

1) Если |q|<1, то S_n==, т.к. qⁿ=0;

2) Если |q|>1, то qⁿ=∞,следовательно S_n=∞, тогда последовательность чисел расходится;

3) Если q=1, то S_n==n·b₁и S_n=n·b₁=∞;

4) Если q=-1, то S_n=, при n-четном; и S_n=приn-нечетном.

Таким образом, геометрически ряд сходится к сумме S=при |q|< 1 и расходится при |q|≥1.

Обобщая результаты группового обсуждения студентов, преподаватель делает вывод: если числовая последовательность сходится, то предел его общего члена U_nприn→∞ равен нулю, т.е. U_n=0 (необходимое условие числовой последовательности).

Тема 14.Предел функции. Методы вычисления пределов функций:

Интерактивный подход-фокус-группа -это сообщество студентов, объединенных в группы по определенным критериям , например, по результатам оценок, поученных ими в ЕГЭ в средней школе по математике (1 подгруппа – отличники;2 подгруппа-студенты, получившие на выпускных экзаменах оценки «хорошо»). Например, используя определение, что число А называется пределом функции f (х) в точке х=х₀, если для любого числа ε>0 существует число δ>0 такое, что для всех хX,x≠x₀удовлетворяющих неравенству |x≠x₀|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|< ε.

Используя данное определение, доказать непрерывность и найти предел данных функций:

1-подгруппа (отличники):

Решение: определим значения функций sinх и соs2х при x₀=.

sinx ₀=sin=1 – функция непрерывна.

cos2x₀=cos·2=cosπ=-1 – функция непрерывна.

===1

Значит функция непрерывна, а предел =1

2-подгруппа (оценки 4,5): f(x)=3x²+2x+1 в точкеx=x₀=1.

Решение: (3x²+2x+1)= ++=3·1·1+2·1+1=6 – функцияf(x)- непрерывна и f(x)= (3x²+2x+1)=6.

Тема 15. Непрерывность функций. Определение непрерывности функции:

Круглый стол - выработка у студентов знаний о непрерывности функций, умения излагать свои мысли, аргументировать свои соображения, обосновывать предлагаемые решения и отстаивать свои подходы. Преподаватель за круглым столом со студентами доказывает непрерывность функции у=sin х. Для этого определяется разность и предел разности.

Используя понятие «О» малое в итоге получаем,что функция у=Sn=0.Это означает,что функция непрерывна в точке в любой точке х числовой оси.

Тема16.Функции нескольких переменных:

Диалоговое обучение-в ходе которого осуществляется взаимодействие между студентами и преподавателем и между студентами. Студентам рекомендуется привести примеры из области экономики, которым присуща многофакторная зависимость. На основе анализа приведенных примеров преподаватель дает определение понятия функции нескольких переменных: переменная величина z пространственной системе координат называется функцией двух переменных х,у, если каждой совокупности их значений из данной области Д соответствует единственное определенное значение z.

-Как записывается зависимость переменной z от двух переменных х,у?,-задается вопрос студентам.

Обобщая результаты диалоговой беседы, преподаватель записывает соответствующую зависимость в виде как z=f(х,у) или z=z(х,у).Если имеется n переменных величин х,у,…..,z,то функциональная зависимость имеет вид z=f(х,у…….z)/

Вопрос студентам: Что характеризует зависимость направления и величины максимальной скорости изменения функции в данной точке? Обобщая различные ответы студентов, преподаватель делает окончательный вывод о том, что зависимость направления и величины изменения максимальной скорости функции в данной точке характеризует

градиент функции. Градиентом функции z=z(х,у) в данной точке М(х,у) называется вектор с координатами dz / dх и dz /dу,который обозначается как grаd z = (dz / dх; dz /dу).В ходе беседы преподавателя со студентами и беседы между самими студентами определяются основные свойства градиента:

1.Градиент (вектор) перпендикулярен к линии уровня функции.

2.Градиент (вектор) направлен в сторону возрастания функции.

3Длина градиента (величина вектора) равна максимальной величине производной по направлению в данной точке, т.е. производная по направлению принимает максимальное значение в том направлении, куда «смотрит» градиент функции.

Тема 17. Функции нескольких переменных в задачах экономики:

Групповое обсуждение, которое направлено на нахождение истины и оптимального пути решения задачи.

Например: доказать, что в точках экстремума (максимума, минимума) первая производная функции y=f (x) равняется нулю.

Правило проведения группового обсуждения:

-назначить лидера (студента), руководящего ходом группового обсуждения,

- определить алгоритм решения задачи путем группового обсуждения,

- определить экстремальные точки (максимум, минимум) для функций: y=2x²+ 4x+5

и y= -x ²+2x+4 и построить графики функций.

Тема 18. Исследование и построение графиков экономических функций:

Групповое обсуждение, которое направлено на построение графиков экономических функций на основе знаний о графиках основных функций. На основе школьных знаний о функциях студентам предлагается строить графики следующих основных элементарных функций:

1.Степенная функция: у=хⁿ,где n-любое действительное число.

2.Показательная функция:у=а^х

3.Логарифимическая функция:у=log_ах.

4.Тригонометрическая функция: у= Sinх; у=Cosх ; у=tgх ;у=Cotх.

5.Обратные тригонометрические функции:у=аrctgх;у=аrcSinх; у=аrcCosх;у=аrcCtgх.

Основываясь на этих знаниях студентов преподаватель объясняет наиболее часто используемые в экономике функции:

1.Функция полезности (т.е. зависимость результата от эффекта некоторого действия и от уровня интенсивности этого действия).

2.Производственная функция- зависимость результатов производственной деятельности от обусловивших факторов.

3.Функция выпуска-зависимость объема производства от наличия и потребления ресурсов

4.Функция издержек-зависимость издержек производства от объема продукции

5.Функция спроса-зависимость объема спроса на отдельные товары от различных факторов (например, цены, дохода и др.)