- •Лекція №1.Означення диференціального рівняння і розв’язку. Задача Коші. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші
- •1.Означення диференціального рівняння і розв’язку.
- •2.Геометрична інтерпретація, диференціального рівняння першого порядку.
- •3. Загальні рішення диференціального рівняння. Задача Коші.
- •Лекція №2. Рівняння з розділеними змінними. Однорідні рівняння
- •1. Рівняння з розділеними змінними.
- •2. Рівняння, що приводяться до рівнянь із розділеними змінними.
- •3.Однорідні рівняння
- •4. Рівняння, що приводяться до однорідних рівнянь.
- •Практичне заняття №1. Рівняння з розділеними змінними
- •Практичне заняття №2. Однорідні рівняння
- •Лекція №3. Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі та Рікатті-Буля
- •1. Лінійні рівняння першого порядку.
- •2. Рівняння Бернуллі.
- •3. Рівняння Рікатті – Буля.
- •4.Рівняння в повних диференціалах.
- •Практичне заняття №3.Лінійні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі
- •Лекція №4.Особливі точки. Особливі рішення. Рівняння Клеро
- •2. Огибаюча сімейства кривих. Рівняння Клеро.
- •Практичне заняття №4. Рівняння Клеро
- •Лекція №5. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Теорема існування та єдиності розв’язку задачі Коші. Рівняння п-го порядку
- •1. Системи диференціальних рівнянь. Теорема існування та єдиності.
- •2. Рівняння n-го порядку.
- •3. Загальні способи зниження порядку рівняння
- •Практичне заняття №5. Рівняння п-го порядка. Способи зниження порядка
- •Лекція №6. Лінійні рівняння n-го порядку. Системи лінійно незалежних функцій
- •1. Лінійні та однорідні рівняння n-го порядку.
- •2. Системи лінійно незалежних функцій.
- •Лекція №7. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •1. Формула Остроградського – Ліувілля та її застосування для розв’язку рівняння другого порядка.
- •Практичне заняття №6. Лінійне однорідне рівняння. Формула Остроградського – Ліувілля. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами
- •Лекція №8. Лінійні неоднорідні рівняння n - го порядку. Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс
- •1. Загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння.
- •2. Метод невизначених коефіцієнтів.
- •3. Знаходження рішення неоднорідного лінійного рівняння з постійними коефіцієнтами для спеціальної правої частини.
- •4.Застосування рівнянь у теорії коливань. Резонанс.
- •Практичне заняття №7. Неоднорідні лінійні рівняння
- •Лекція №9. Системи п звичайних диференційних рівнянь. Лінійні рівняння з частинними похідними першого порядку
- •1. Системи звичайних диференційних рівнянь
- •2. Лінійні рівняння з частинними похідними.
- •3.Загальний випадок лінійного рівняння.
- •Практичне заняття №8. Система диференційних рівнянь. Диференційні рівняння у частинних похідних першого порядку
- •2. Рівняння у частинних похідних першого порядку. Означення. Розв’язок.
- •Лекція №10. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Диференційні рівняння з двома змінними
- •1.Визначення рівняння другого порядку з двома змінними у частинних похідних.
- •2.Класифікація рівнянь.
- •Лекція №11. Рівняння гіперболічного типу. Постановка крайової задачі. Теорема єдиності розв’язку
- •1. Постановка крайової задачі.
- •Лекція №12. Редукція, загальної задачі. Задачі на прямій і напівпрямій. Формула Даламбера, метод продовження
- •1.Редукція, загальної задачі.
- •2. Формула Даламбера.
- •3. Крайова задача для напівпрямої, і метод продовжень.
- •Практичне заняття №9. Типи рівнянь другого порядку у частинних похідних. Рівняння коливання струни. Формула Даламбера
- •Лекція №13. Неоднорідні гіперболічні, рівняння на прямій і піввісі. Метод Фур’є розділення змінних
- •1. Неоднорідні гіперболічні рівняння на прямій і піввісі.
- •2. Метод розділення змінних.
- •Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
- •1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
- •2.Перша крайова задача.
- •Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
- •3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
- •Лекція №15. Рівняння параболічного типу
- •1.Постанова крайових задач.
- •2. Єдиність розв’язку.
- •3. Метод розділення змінних.
- •Лекція №16. Перша крайова задача для рівняння параболічного виду
- •1. Неоднорідна задача з нульовими початковими і граничними умовами.
- •2. Перша крайова задача.
- •3. Задачі на нескінченій та напівнескінечній прямій.
- •Лекція №17. Рівняння еліптичного типу
- •1. Постановка крайових задач.
- •2. Перша крайова задача для круга. Інтеграл Пуассона.
- •3. Частинний розв’язок рівняння Лапласа.
- •Практичне заняття №11. Параболічні та еліптичні рівняння
- •Література:
Лекція №14. Перша крайова задача для гіперболічного рівняння
1.Неоднорідне рівняння з нульовими граничними умовами.
Розглянемо неоднорідне рівняння
Розв’язок шукають у вигляді .
Підставляючи ряд Фур’є замість ,,отримаємо, щозадовольняє рівнянню
,
при чому , задовольняє початковим умовам
що однозначно визначає .
2.Перша крайова задача.
Знайти розв’зок
Введемо невідому функцію за допомогою рівності, дерозв’язок рівняння,
що задовольняє умовам
Виберемо таким чином, щоб,, тобто.
Тим самим загальна крайова задача для зводиться до задачі для функціїз нульовими граничними умовами (див. п.1).
Приклад. Розв’язати задачу:
.
Оскільки
Маємо , дерозв’язки відповідних задач
Знайдемо .
Відповідне характеристичне рівняння для кожного п є , отже для кожногоп, маємо фундаментальну систему розв’язків ;- розв’язок неоднорідного рівняння пришукаємо у виглядіпідставляючидо рівняння отримаємоотже.
Таким чином , та
і
при
.
Отже маємо
Розв’язок задачі має вигляд .
Практичне заняття №10. Метод Фур’є. Гіперболічні рівняння
Необхідні відомості: 1. Перша крайова задача.
2. Вигляд розв’язку першої крайової задачі з нульовими умовами на границі.
3. Розв’язання першої крайової задачі у загальному випадку.
Задачі.
1.1 Струна закріплена на кінцях , має у початковий момент вигляд параболи. Визначити відхилення точок струни від осі ОХ, якщо початкова швидкість відсутня.
1.2 Визначити форму струни у момент , якщо,,
.
2.1 Розв’язати задачу
2.2
Задачі для самостійної роботи.
1.
.
2. Струна закріплена на кінцях ,. У початковий момент має вигляд ламаної, Знайти форму струни в момент, якщо початкові швидкості відсутні.
3.
4. ,
, .
5. ,
6. ,
7.
8. ,,
9. ,
10. ,
Лекція №15. Рівняння параболічного типу
1.Постанова крайових задач.
Враховуючи, що параболічне рівняння описує процес розповсюдження тепла (дифузії) в стержні, то ми отримаємо наступні задачі.
1. Задача з початковою умовою ( у випадку довгого стержня, коли граничні умови не впливають) :
знайти розв’язок параболічного рівняння на області що задовольняє умові.
2. У випадку, коли ділянка, що цікавить, знаходиться поблизу одного з кінців стержня, то розглядають задачу для напівскінченого стержня:
Знайти розв’язок рівняння теплопровідності на області , що задовольняє умови
3. У випадку, коли момент часу, що цікавить, достатньо віддалений від початкового, тоді початкова умова не впливає і розглядають задачу без початкової умови:
знайти розв’язок параболічного рівняння на області , що задовольняє умови:
Можна розглядати і інші варіанти.
Перша крайова задача:
Знайти розв’язок рівняння, що задовольняє початковій умові, та граничним умовам
де - неперервні і.
По відношенню до кожної з задач виникають запитання:
1) єдиності розв’язку,
2) існування розв’язку.
Ситуація аналогічна випадку з гіперболічним рівнянням.
2. Єдиність розв’язку.
Теорема. Якщо функція , визначена і неперервна в замкнутій областіізадовольняє рівнянню, то максимальні (мінімальні) значеннядосягаються або в початковий момент, або в точках границі.
Зауваження: з фізичної точки зору це природно, оскільки немає джерел тепла.
Доведення. Доведемо від супротивного. Нехай , де max обчислюється при, або при, або при, і припустимо щотака, щоє максимальне значення.
Порівняємо значення ів точці. Так як функціяв точцідосягає свого максимального значення , тоі.
Далі, оскільки досягає максимуму в точці, то.
Розглянемо функцію , де. Очевидноі.
Виберемо так, щоб, тобто, тоді максимальне значенняпри, або при, абоне буде перевищувати.
Однак в силу неперервності вона повинна в деякій точцідосягати свого максимального значення, тобто, що.Враховуючи вище сазане маємо, щоі. По аналогії з вище сказанимі
Звідси .
Тобто функція не задовольняє рівняння в точціщо суперечить умові і доводить теорему. Аналогічно доводиться твердження теореми для мінімального значення.
Теорема (єдиності). Якщо дві функції і, визначені і неперервні на області,, задовольняють рівнянню теплопровідності
і то.
Доведення. Розглянемо функцію , тодінеперервна на області; задовольняє рівняння теплопровідності, а також і нульовим початковому та граничним умовам. Звідси, згідно з попередньою теоремою, тобто теорему доведено.
Використовуючи вище вказаний метод, модифікуючи його під ситуацію, можна показати єдиність розв’язку задачі для нескінченної прямої, дивіться [5].