Математичні моделі нелінійних систем

При математичному описі нелінійних систем несуттєві нелінійності лінеаризують, а суттєві звичайно спрощують, зводячи їх до типових. У цьому разі математична модель нелінійної САК становить структурну схему, що складається з лінійних (лінеаризованих) ланок і ланок з типовими, суттєво нелінійними характеристиками.

Більшість методів дослідження нелінійних САК орієнтовано на структурні схеми, що складаються з однієї безінерційної ланки і лінійної частини з передавальною функцією W_л(р). Зовнішні дії переносяться на вхід нелінійної ланки. Нелінійна ланка зображується функцією u = F(e) або u = F(e, pe) для неоднозначних характеристик. Структурна схема в цьому разі називається найпростішою рис.1.

Рис.1

До найпростішої структурної схеми можна звести структурну схему будь-якої замкненої нелінійної САК з однією нелінійною ланкою. Нехай, наприклад, структурна схема нелінійної САК має вигляд, рис.2, а.

Для зведення її до найпростішого переносимо суматор 1 через ланку W₁(p), вузол 2 – через ланку W₄(p), а ланки W₃(p), W₄(p), W₅(p) замінюємо однією ланкою 4. Тоді дістанемо структурну схему на рис.2,б. Подальші перетворення полягають у заміні послідовно з’єднаних ланок 3 і 4 однією ланкою 7 та паралельно з’єднаних ланок 5 і 6 однією ланкою 8 (рис.2,в). На останньому етапі перетворення переносимо вузол 9 через ланку 8. У результаті дістанемо структурну схему на рис.2,г.

На вході й виході найпростішої структурної схеми (на рис.2,г її обведено штриховою лінією) є лінійні ланки 10 і 11. Проте вони не мають впливу на стійкість та вільні динамічні режими замкнутого контуру, до складу якого входить нелінійна ланка.

Рис.2

До найпростішої можна звести й структурні схеми, що містять кілька безінерційних нелінійних ланок, з’єднаних послідовно, паралельно або у вигляді ланки, охопленої зворотним зв’язком. Для цього треба замінити ці ланки однією.

Методи дослідження нелінійних систем

Вони визначаються специфікою роботи нелінійних САК. Так, у них може виникати автоколивальний режим (автоколивання). Енергію для їх підтримання система одержує від зовнішніх джерел, що живлять регулятор. Період і амплітуда автоколивань визначається параметрами нелінійної САК.

До специфічних властивостей нелінійних САК відносяться:

1. Явища “м’якого” та “жорсткого” режимів збудження автоколивань. При м’якому збудженні амплітуда автоколивань плавно збільшується або зменшується при зміні параметрів системи. Жорстке збудження характеризується стрибкоподібним виникненням автоколивань при досягненні значень параметрів, що відповідають точці збудження. Жорсткому режиму властиве явище затягування автоколивань, характерне тим, що “зрив” автоколивань може здійснюватися при значеннях параметрів САК, які нижче від точки збудження, наприклад, автоколивання зникають при коефіцієнті підсилення менше критичного, не одразу, а при подальшому зменшенні його.

2. У нелінійних САК спостерігаються явища автопараметричного резонансу і “захоплення” або “затягування” частоти. При малих значеннях різниці частот зовнішньої сили й частоти автоколивань коливальний процес вимушено синхронізується із зовнішньою частотою.

3. При подачі на вхід нелінійної системи гармонічного коливання вихідна величина може різко відрізнятися від гармонійних коливань: мати іншу частоту та амплітуду.

Ці властивості визначають необхідність розроблення спеціальних методів досліджень нелінійних систем, щоб пояснити процеси й визначити параметри вільних і вимушених коливань, здійснити аналіз та синтез.

Для дослідження нелінійних систем автоматизованого електропривода найчастіше використовують метод гармонійної лінеаризації (метод гармонійного балансу), частотний метод Попова, метод фазової площини (простору станів).