АиГ2015-2016 / Лекции / Конспект лекций АиГ_ Реутова ИН_ Часть 1

Найдем расстояние

между

этими

прямыми.

m1 ; n1 ; p1 l1 ,

s1

M1 (x1 ; y1 ; z1 ) l1 ,

m2 ; n2 ; p2 l2 , M 2 (x2 ; y2 ; z2 ) l2 . Ис

s2

комое

расстояние

равно

высоте

параллелепипеда

построенного

на

векторах s1 , s2 и M1M 2

(рис.

15.6).

Значит, d

Vnap

. Vnap.

,

Рис. 15.6

s1 s2 M1M 2

So

So

s1 s2

. Отсюда имеем:

d

s1 s2

M1M 2

(15.12)

s1 s2

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая и плоскость в пространстве могут пересекаться или быть параллельными. В первом случае они имеют одну общую точку, а во втором не имеют таковых. Поэтому исследование взаимного расположения прямой и плоскости сводится к нахождению точек пересечения этих геометрических объектов. В случае пересечения прямой с плоскостью, их взаимное расположение может также характеризоваться углом, который образует прямая с плоскостью. Рассмотрим решение этих задач подробнее.

1. Пересечение прямой и плоскости.

	Пусть	задана		прямая	своим	параметрическим	уравнением
	x x0 mt,
l :		nt,	(t R)	и плоскость : ax by cz d 0. Найдем их точки
	y y0
		pt,
	z z0
пересечения.
	Для этого необходимо решить систему уравнений:
				x x0 mt,
					y0 nt,
				y			(15.13)
					z0 pt,
				z

ax by cz d 0.

Подставим в 3-е уравнение выражения для x, y, z . a(x0 mt) b( y0 nt) c(z0 pt) d 0

101

(am bn cp)t d ax0 by0 cz0 .

Если	am bn cp 0,					то (15.13) имеет единственное решение и прямая
пересекает плоскость.
Если am bn cp 0,						d ax0 by0 cz0			0,	то система (15.13) не имеет
решений, а значит, прямая параллельна плоскости.
Если	am bn cp 0,						d ax0 by0 cz0 0,			то система (15.13) имеет
бесконечно много решений, а значит прямая лежит в плоскости.
2. Угол между прямой и плоскостью.
Пусть	задана прямая					l	с	направляющим
вектором			m; n; p				и	плоскость	с
		s
нормальным векторм					a;b; c . Угол между
				n
прямой и плоскостью							определяется углом			Рис. 15.7

между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Пусть – острый угол (рис. 15.7). Тогда

и cos sin . Но cos

n

s

, значит,

2

n

s

sin

n

s

.

(15.14)

n

s

– тупой

Если

угол

(рис.

15.8), то

. В этом случае cos sin

и

2

sin

n

s

.

n

s

Рис.15.8

Обобщая эти два случая, получаем:

sin

n s

am bn cp

.

(15.15)

n

s

a2 b2 c2

m2 n2 p2

102

ЛЕКЦИЯ 16.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями сторой степени относительно текущих координат

Ax2 2Bxy Cy2	2Dx 2Ey F 0,	(16.1)
где A, B, C, D, E, F R и A2 B2	C2 0. Такие линии называют кривыми

второго порядка. Позже мы докажем, что уравнение (16.1) определяет на плоскости эллипс, гиперболу, параболу, пару прямых (параллельных, совпадающих, пересекающихся) или пустое множество. В лекциях 16-17 рассмотрим свойства эллипса, гипеболы и параболы.

Эллипс

Def. Эллипсом называется геометричекое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов), есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).

Обочначим сумму расстояний до фокусов 2a, а расстояние между фокусами (фокальное расстояние) – 2c. Пусть F1 , F2 – фокусы эллипса.

Выберем декартову систему координат так, чтобы (рис. 16.1). В нашем случае F1 F2 2c. Пусть M (x; y)

Рис. 16.1

F1 ( c; 0), F2 (c; 0)

– текущая точка

эллипса. MF1

r1 , MF2

r2 – фокальные радиусы.

r

(x c)2

y2 , r

(x c)2 y2 . Тогда:

1

2

(x c)2 y2

(x c)2 y2 2a

(x c)2 y2 2a

(x c)2 y2

2 2a

2

(x c)2 y2

(x c)2 y2

(x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2

2xc 4a2 2xc 4a (x c)2 y2

a (x c)2 y2 a2 xc

(16.2)

a

2 a2 xc 2

(x c)2 y2

103

O(0; 0)

a2 x2 2xc c2 a2 y2 x2c2 2a2 xc a4 a2 x2 2a2 xc a2c2 a2 y2 x2c2 2a2 xc a4

a2 c2

x2 a2 y2 a2 a2 c2

(16.3)

Заметим, что по определению эллипса

2a 2c , т.е.

a2 c2 0.

Обозначим

a2 c2 b2 .

(16.4)

Тогда (16.3) принимает вид:

b2 x2 a2 y2 a2b2

Разделим обе части полученного уравнения на a2b2 0. Получим:

x2

y2

1

(16.5)

a2

b2

Уравнение (16.5) называют каноническим уравнением эллипса.

Исследуем форму эллипса.

1. Очевидно, что

x2

1

x

a. Аналогично,

y

b. Следовательно. точки

a2

эллипса

лежат

внутри

прямоугольника,

ограниченного

прямыми

x a,

y b.

2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положим y 0. Из

уравнения		(16.5)		получим		x a.		Т.е. точки	A1 (a; 0),	A2 ( a; 0) – точки
пересечения с осью					Ox. Положив в уравнении (16.5) x 0, находим точки
пересечения эллипса с осью Oy :							B1 (0; b), B2 (0; b).
Def.	Точки		A1 (a; 0), A2 ( a; 0),				B1 (0;b), B2 (0; b)		называют		вершинами
эллипса. Отрезки A1 A2 и						B1 B2 ,	а также их длины 2a			и 2b	называются
соответственно				большой		и малой осями. Числа				a, b	называются
соответственно большой и малой полуосями.
3. Если точка (x; y)					принадлежит эллипсу,
то	точки		(x; y), ( x; y), ( x; y)					также
принадлежат эллипсу. Отсюда следует
симметрия			эллипса			относительно
координатных осей и начала отсчета.
Центр симметрии эллипса называют еще
центром		эллипса,			т. е.	для	эллипса,			Рис. 16.2
заданного уравнением (16.5), точка

– центр эллипса.

104

4. Из уравнения (16.5) следует, что если x возрастает от 0 до a, то y будет уменьшаться от b до 0 и наоборот.

Таким образом, эллипс имеет форму, изображенную на рис. 16.2.

Замечание.

1. Если a b, то уравнение (16.5) принимает вид x2 y2 a2 – уравнение окружности с центром в начале отсчета и радиусом a. В этом случае согласно (16.4) c 0. Следовательно, фокусы эллипса совпадают с центром окружности. Таким образом, окружность можно считать частным случаем эллипса.

2. Если фокусы эллипса принадлежат оси Oy, то уравнение эллипса имеет

тот же вид, но a b и a2 b2 c2 . В этом случае 2b – большая ось, а 2a – малая ось.

Def. Величину e , равную отношению половины фокального расстояния к большой полуоси называют эксцентриситетом эллипса.

Т.е. для эллипса с фокусами на оси Ox

e

c

a

Причем, 0 e 1,

т.к. a c.

Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Действительно,

b 2

c

a2 b2

a2 b2

b

e

1

1 e2 .

a

a

a

2

a

a

(16.6)

(16.7)

Из (16.7) следует, что

если e 0, то

b

1.

Если

e 1, то

b

0. Значит,

a

a

чем больше e, тем более «сплющенным»

к оси

Ox будет эллипс. Для

окружности e 0.

Понятно, что для эллипса с фокусами на оси Oy

e

c

(16.7)

b

При выводе канонического уравнения эллипса мы получили следующие

выражения для фокальных радиусов:

r (x c)2 y2 , r (x c)2 y2 .

1

2

Используя понятие эксцентриситета, можно получить рациональные

выражения для фокальных радиусов. Действительно,

из (16.2)

a (x c)2 y2 a2 xc.

105

						a x	c
	Разделим обе части равенства на a. Получим				(x c)2 y2			, т.е.
							a
			r2 a ex.					(16.8)
	Учитывая, что r1 r2	2a, получаем, что
			r1 a ex.					(16.9)

Гипербола

Def. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная (меньшая чем расстояние между фокусами).

Обозначим расстояние между фокусами (фокальное расстояние) через 2c, а модуль разности расстояний от точек гиперболы до фокусов – 2a.

Пусть F1 , F2

–

фокусы гиперболы.

Выберем

декартову

систему

координат

так,

чтобы

F1 ( c; 0), F2 (c; 0)

(рис.

16.3). В

нашем

случае

F1 F2 2c.

Пусть M (x; y)

–

текущая

точка

гиперболы.

MF1 r1 ,

MF2

r2

– фокальные

радиусы.

r

(x c)2 y2 ,

r

(x c)2

y2 .

Рис. 16.3

1

2

Тогда

r1 r2

2a или

(x c)2 y2

(x c)2 y2

2a

(x c)2 y2

(x c)2 y2 2a

(x c)2 y2

(x c)2 y2 2a

2

2a 2

(x c)2 y2

(x c)2 y2

(x c)2 y2 (x c)2 y2 4a (x c)2 y2 4a2

x2 2xc c2 y2 x2 2xc c2 y2 4a (x c)2 y2 4a2

4a (x c)2 y2 4xc 4a2

a

(x c)2

y2

xc a2

(16.10)

a

2 xc a2 2

(x c)2 y2

a2 x2 2xca2

a2c2

a2 y2

x2c2 2xca2 a4

a2 x2 x2c2 a2 y2 a4 a2c2

a2 x2 x2c2 a2 y2 a2c2 a4

106

x2 (c2 a2 ) a2 y2 a2 (c2

a2 )

(16.11)

Обозначим

c2 a2 b2

(16.12)

Тогда (16.11) принимает вид

x2b2 a2 y2 a2b2

Разделив обе части полученного равенства на a2b2 0,

имеем

x2

y2

1

(16.13)

2

a

b

2

Уравнение (16.13) называется каноническим уравнением гиперболы.

Исследуем форму гиперболы.

1. Из уравнения (16.13) следует, что

x2

1

x

a.

Т.е. точки гиперболы

a2

расположены правее прямой x a (правая ветвь гиперболы) и левее прямой x a (левая ветвь гиперболы).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив в уравнении (16.13) y 0, получим x a. Т.е. точки A1 (a; 0), A2 ( a; 0) –

точки пересечения гиперболы с осью Ox. Положив в уравнении (16.13) x 0, получим y2 b2 . Значит, гипербола не имеет точек пересечения с осью Oy.

Def.	Точки	A1 (a; 0),	A2 ( a; 0) называют вершинами гиперболы. Отрезок
A1 A2	и его	длину	2a	называют действительной осью гиперболы, а
отрезок B1 B2 ,		соединяющий точки B1 (0; b) и B2 (0; b) , и его длину 2b –
мнимой осью. Числа			a, b	называются соответственно действительной и
мнимой полуосями.

Def. Прямоугольник со сторонами 2a и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

3. Если точка (x; y) принадлежит гиперболе, то точки (x; y), ( x; y), ( x; y)

также принадлежат гиперболе. Отсюда следует симметрия гиперболы относительно координатных осей и начала отсчета.

Def. Центр симметрии гиперболы называют еще центром гиперболы. Таким образом, для гиперболы, заданной уравнением (16.13), точка O(0; 0) - центр

гиперболы.

4. В силу симметрии гиперболы исследуем только ту ее часть, которая расположена в І координатной четверти, т.е. при x 0 и y 0.

Из (16.13) имеем

107

				x2					b2
	2		2										2		2
y		b					1					x		a
						2			a	2
				a

b

Или y

x2 a2 .

a

b

lim y(x) lim

x2 a2 .

x

x a

Докажем, что прямая

y

b

x

является асимптотой гиперболы. Из курса

a

математического анализа известно, что прямая

y y(x)

является асимптотой

кривой y f (x), если расстояние d

от точки

M кривой до этой прямой

стремится к 0 при неограниченном удалении точки

M вдоль кривой от

начала отсчета.

b

b

b

x

.

У нас d

x

x2 a2

x2 a2

a

a

a

b x

x

b

x

lim

x2 a2

x2 a2

b

a

2

lim

x2 a2

lim

0.

a x

x a

x

x

2

a

2

a x

x

x

2

a

2

b

b

Следовательно,

y

x – асимптота кривой

y

x2 a2 .

a

a

Учитывая симметрию гиперболы, можно утверждать, что ее асимптоты

имеют вид:

y

b

x

(16.14)

a

Таким образом, гипербола, заданная уравнением (16.13) имеет форму,

изображенную на рисунке 16.4.

Замечание.

Если фокусы гиперболы лежат на оси Oy,

то ее уравнение имеет вид:

x2

y2

1,

(16.15)

a2

b2

где

c2 b2

a2

(16.16)

Гипербола, заданная уравнением (16.15), изображена на рис. 16.5. Ее

действительная ось 2b расположена на оси Oy,

а мнимая ось 2a – на оси Ox.

Def. Гиперболы, заданные уравнениями (16.13) и (16.15), называются

сопряженными гиперболами.

Очевидно, что сопряженные гиперболы имеют общие асимптоты.

108

Рис. 16.4

Рис. 16.5

Def. Гипербола, у которой a b, называется равносторонней гиперболой. Ее каноническое уравнение уравнение имеет вид:

x2 y2

a2 .

(16.17)

Асимптоты равносторонней гиперболы – прямые y x.

Можно доказать, что если выполнить поворот декартовой системы

координат на	угол	, то уравнение								равносторонней гиперболы
	4
принимает вид:
					y		k	.		(16.18)
							x
Def. Величину	e , равную отношению половины фокального расстояния к
действительной полуоси называют эксцентриситетом гиперболы.
Т.е. для гиперболы с фокусами на оси Ox
			e	c						(16.19)
				a
Причем, e 1, т.к. c a.

Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно,

c

a2 b2

a2 b2

1

b

2

b

e

e2

1.

(16.20)

2

a

a

a

a

a

Из (16.20) следует, что

если

e 1, то

b

0.

Значит, чем меньше e,

a

тем меньше отношение

b

ее полуосей. А значит,

более вытянут основной

a

прямоугольник вдоль оси Ox .

109

Для равносторонней гиперболы e

2. Действительно,

c

a2 b2

a b

a2 a2

e

2.

a

a

a

Понятно, что для гиперболы с

фокусами на оси Oy, заданной

уравнением (16.15), эксцентриситет равен:

e

c

(16.21)

b

При выводе канонического уравнения гиперболы мы получили

следующие выражения для фокальных радиусов:

r (x c)2 y2 , r (x c)2 y2 .

1

2

Используя понятие эксцентриситета, можно получить рациональные выражения для фокальных радиусов. Действительно, из (16.10)

	a (x c)2 y2 xc a2
						c
	Разделим обе части равенства на a. Получим			(x c)2 y2
						a

т.е.

r2 ex a .

Для правой ветки гиперболы

r2 ex a.

Учитывая, что для правой ветки гиперболы r1 r2 2a, получаем, что

r1 ex a.

Для левой ветки гиперболы

r2 a ex

и r1 r2 2a. Тогда:

r1 ex a .

x a ,

(16.22)

(16.23)

(16.24)

(16.25)

(16.26)

ЛЕКЦИЯ 17.

КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА (продолжение)

Директрисы эллипса и гиперболы

Def. Прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные на

расстоянии a от его центра, называются директрисами эллипса. e

110