11. 1. 2. Уравнение плоской бегущей волны.

Проанализируем более подробно результат, выраженный формулой (11.). Пусть в некоторой точке профиль образовавшегося возмущения является некоторой функцией от времени . Ясно, что в любой точке поверхности, куда доходит образовавшееся возмущение, величина будет зависеть не только от времени, но также и от пройденного возмущением расстояния. Для простоты предположим, что возмущение сохраняет свою форму вне зависимости от пройденного расстояния. Тогда в любой точке пространства, отстоящей от начальной точки на расстоянии , профиль возмущения будет изменяться во времени с некоторым запаздыванием на величину , т.е. аргументом функции станет величина. Независимость величины возмущения от координаты означает, что . Волны, для которых имеет место последнее равенство называются плоскими. Если в начальной точке возмущение изменяется по гармоническому закону, то такая волна называется синусоидальной или гармонической. Синусоидальная плоская волна записывается в таком виде:

(11.16)

где - так называемое волновое число, величина называетсядлиной волны, -круговая частота и -период колебаний частиц среды в волне, -амплитуда волны, т.е. максимальное смещение частиц среды от положения их равновесия. Вид такой волны показан на рис. 11.2.

	Аргумент синуса в уравнении (1.12) определяет фазу волны . Поверхность, соеди­няющая все точки, фазы которых одинаковы, называется волновой повер­хностью или фронтом волны.
Рисунок 11. 2.

Если волна плоская, то фронтом волны является плоская поверхность. Волна, распространяющаяся во все стороны от точечного источника, называется сферической; очевидно, что для такой волны волновая поверхность представляет собой сферу.

Если на какой-либо поверхности фаза постоянна, т.е. , скорость перемещения координаты, для которой фаза постоянна можно определить дифференцируя условие постоянства фазы:

= 0 ,

(11.17)

откуда

,

(11.18)

т.е. скорость распространения волны совпадает со скоростью распространения постоянной фазы.

11. 2. Энергия волны.

Распространение волны в пространстве сопровождается переносом энергии; в чем легко убедиться, вспомнив о разрушительной силе ударной волны при взрывах. Известно также, что волны морского прибоя способны разрушать крепчайшие каменные набережные.

При изучении колебаний было установлено, что энергия колебательного движения пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому можно считать, что и в любом выбранном малом объеме пространства в области существования волны сосредоточена колебательная энергия, величина которой также пропорциональна квадрату амплитуды колебаний в волне. Для количественной характеристики энергии колебательного движения в волне обычно относят величину этой энергии к единице объема среды, через которую проходит волна. В этом случае принято говорить о плотности колебательной энергии . Найдем плотность колебательной энергииплоской синусоидальной волны. В единице объемасреды заключена массажидкости (или газа). Упорядоченное движение этой жидкости подчиняется уравнению(11.), в котором величина уже считается определенным числом, равным значению координаты выбранного объемав лабораторной системе координат. Следовательно, уравнение колебаний жидкости в выбранном объемеимеет вид:

.

(11.19)

Тогда скорость и кинетическая энергияжидкости в выбранном объеме в данный момент времени равны

.

(11.20)

Основываясь на ранее полученных знаниях при изучении колебаний, можно записать выражение для полной механической энергии жидкости в данном объеме:

.

Тогда плотность энергии колебаний:

или

,

(11.21)

где - амплитудное значение скорости частиц жидкости.

Т.к. волна связана с распространением колебаний в пространстве, причем скорость этого распространения равна скорости распространения волны , то через единичную площадку, перпендикулярную распространению волны, за единицу времениволной переносится энергия:

(11.22)

где - вектор нормали к площадке.

Из(11.22) видно, что величина должна быть вектором, направление которого совпадает с направлением распространения волны, т.е. скорости.Величина вектора равна мгновенной мощности, переносимой волной через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к направлению распространения волны.

Впервые этот вектор был введен профессором Московского Университета Н.А. Умовым, поэтому вектор принято называтьвектором Умова.