Лекція №3 Елементи матетатичної логіки

Логіка як наука міркувань виникла в сиву давнину. Початок науки про закони та форми мислення пов’язують з Арістотелем. Йому належить відкриття формального характеру логічного висновку. Одні речення випливають з інших внаслідок певного зв’язку між їхньою формою та структурою незалежно від конкретного змісту. Міркування, застосовані в різних галузях науки, техніки і повсякденного життя, можуть мати одну і ту ж форму і структуру. Формальна логіка вивчає форми міркування, не беручи до уваги їх конкретного змісту.

Минуло два тисячоліття перш ніж німецький математик і логік Лейбніц запропонував запровадити у формальну логіку математичну символіку і використати її для загальних логічних побудов. Цю ідею послідовно реалізував у минулому столітті Дж. Буль, заклавши підвалини математичної (символічної) логіки. У працях Буля та шотландського математика де Моргана формальну логіку офрмлено у математичну, і вона стала являти собою своєрідну алгебру – алгебру логіки. Головна мета застосування в логіці математичної символіки полягає в тому, щоб операції з логічними висновками замінити формальними діями із символами. Об’єктами дослідження математичної логіки є будь-які дискретні скінченні системи, а її головне завдання структурне моделювання таких систем.

Логіка висловлювань.

Усі види математичної логіки базуються на найпростішому розділі – логіці висловлювань.

Висловлюваннями вважають розповідні речення, котрі стверджують той чи інший факт. Такі реченя називають простими висловлюваннями.

Основною ознакою, за якою досліджується будь-яке висловлювання у алгебрі логіки, є його властивість бути істиним чи хибним. Спонукальні та питальні речення не є висловлюваними з точки зору алгебри логіки.

Отже кожне висловлювання може бути істинним або хибним (закон виключення третього), але не може бути одночасно істинним і хибним (закон суперечності). Запровадження закону виключення третього дає змогу повністю використовувати в логіці висловлювань апарат двозначної логіки. Значення “істина” і “хибність” у логіці висловлювань позначають літерами “І” “Х”, або в двійковій логіці – символами “1” або “0”.

Оскільки логіка висловлювань не розглядає конкретного змісту простих висловлювань, то кожне з них можна позначити, наприклад, великими латинськими літерами А, В, С без індексів або з індексами А1, А2, ..., . Літери, що ними позначено висловлювання, називають пропозиційними, і вони можуть набувати істиних значень – відповідно І або Х, 1 або 0. У звичайній мові з простих речень утворюють складні за допомогою сентиційних зв̉язків “не”, “і”, “або”, “якщо... то” і “якщо і тільки якщо”. Формальна логіка цим зв̉язком ставить у відповідність символи логічних операцій ר, &, V, , ~, які називаються пропозиційними знаками (логічними зв̉язками).

Таким чином, кожне складне речення, яке складається з простих висловлювань, зв̉язаних пропозиційними знакамиможна зобразити в символічній формі. В наслідок цього отримуютьвисловлювану формулу.

Сентенційні зв̉язки в розмовній мові передбачають різні варіанти. На кожному наборі значень істинності літер (простих висловлювань) формула набуває певного значення (істинного чи хибного), отже, кожну формулу логіки висловлювань можна вважати істинністною функцією, яку зручно зображувати таблицею істинності (таблицею відповідності).