3.12. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

Мішаним добутком трьох векторів називаєтьсячисло, яке дорів-

нює

векторному

r

r

помноженому скалярно

на

векторc:

добутку a

´b ,

r

r

r

(a ´b)× c.

Основна алгебраїчна властивість мішаного добутку

r

r

r

r

r r

r r

r

r

r r

r

r

r

r r

r

(a

´b)× c

= (b ´c)× a

= (c ´a)×b = -(b ´ a)×c = -(c

´b)× a = -(a ´c)×b. (3.29)

Геометричні властивості мішаного добутку

1. Об’єм паралелепіпеда:

Мішаний

добуток

некомпла-

V =

r

r

r

.

(3.30)

(a ´ b )× c

r

r

r

нарних векторів a,

b,

c дорівнює

об’єму паралелепіпеда, побудова-

ного на цих векторах, взятому зі

знаком плюс, якщо трійка векто-

r

r

r

і зі знаком мі-

рів a,

b,

c права,

нус, якщо трійка ліва (рис. 3.18):

r	r
a	´ b = ± V.

Рис. 3.18

2. Об’єм чотирикутної піраміди:

		1			r	r	r
	V =				(a	´ b )× c			.	(3.31)
		3

r c

r b

r a

Рис. 3.19.

Чотирикутна піраміда

3. Об’єм трикутної піраміди:

		1		r	r	r
	V =			(a	´ b )× c			.	(3.32)
		6

r c

r b

r a

Рис. 3.20.

Трикутна піраміда

4.	Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:
	r	r	r	r	r	r			(3.33)
	(a	´ b )× c		= 0 Û вектори a,	b,	c компланарні.
5.	r	r	r			r	r	r	(3.34)
	Якщо (a	´ b )× c		> 0 - трійка векторів a,			b,	c права;
	r	r	r			r	r	r
	(a	´ b )× c		< 0 - трійка векторів a,			b,	c ліва.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

62

	Мішаний добуток в ортонормованому базисі
У	r r	r	мішаний							r	, ay , az ),
	базисі i , j ,	k					добуток векторівa = (ax
r	r	, cy	, cz ) дорівнює визначнику:
b = (bx , by , bz ), c = (cx
		r	r	r		ax	a y	az
						bx	by	bz		.	(3.35)
		(a	´ b )× c =
						cx	c y	cz

Необхідна й достатня умова компланарності трьох векторів:

r

r

r

ax

a y

az

=

bx

by

bz

= 0.

(3.36)

(a ´ b )× c

cx

c y

cz

Приклад 3.14.

Чи

є

компланарними

r

- 1, 4),

векториa = (1,

r

r

= (3,

- 4, 2)?

b = (-2, 3, 2),

с

► Три вектори компланарні, якщо їх мішаний добуток дорівнює

нулю:

r

1

- 1

4

ì

ü

1 - 1

4

r

r

- 2

3

2

ï

ï

=

0 1

10

= 0

(a ´ b ) × c =

= íe2

+ 2e1 ý

3

- 4 2

ïe

3

- 3e

ï

0 - 1 - 10

î

1

þ

- вектори компланарні. <

Приклад 3.15. З’ясувати, праву чи ліву трійку утворюють вектори

r	= (2, 1, 4),			r						r
a				b = (4, –1, 2), с = (3, –1, 4) і знайти об’єм паралелепіпеда,
побудованого на цих векторах.
	► За формулою (3.35) обчислимо мішаний добуток векторів:
		r				2	1	4		ì		ü			2	1	4			6	6
	r		r	=		4	-1	2		ï	+ e1	ï	=		6	0	6		=1× (-1)1 + 2			= -18.
	(a	´ b )× c								= íe2		ý								5	8
						3	-1	4		ïe + e		ï			5	0	8
										î 3	1	þ										r
																				r			r
	Оскільки мішаний добуток від’ємний - трійка векторів a, b,																						с ліва.
	Об’єм паралелепіпеда обчислюємо за формулою (3.30):

V =		r	r	r		=| -18 | = 18 (од.3).	<
		(a	´ b )× c
Приклад 3.16. Дано			вершини пірамідиA(1,				2, 3), B(0, –1, 1),

C(2, 5, 24), D(3, 0, –2). Знайти довжину висоти, опущеної з вершини D.

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

63

	► Введемо вектори:																				r
r								- 3, - 2),																																							r																	- 2, - 5).
a = AB = (-1,																					b = AC = (1, 3, -																			1), c = AD = (2,
	За формулою (3.35) обчислимо мішаний добуток векторів:
r	r	r				-1 - 3 - 2															ì e + e											ü						0 0 - 3																				0						- 3
						1		3				-1						ï							1					2	ï							1		3						-1							= -												= 24.
(a	´ b )× c =																	= í														ý =																										- 8						- 3
						2 - 2 - 5												ï													ï							0 - 8 - 3
																					îe3 - 2e2 þ
	За формулою (3.32) обчислимо об’єм трикутної піраміди:
												1						r					r		r						1															3
										V =						(a ´ b )× c												=					| 24 | =								4 (од.										).
												6																			6
	Знайдемо площу основи піраміди– трикутника ABC, яка дорів-
нює половині модуля векторного добутку векторів AB і AC :
AB ´ AC =				i						j	k		= i							- 3 - 2									- j						-1			- 2					+ k						-1 - 3												= 9i - 3 j + 0k ,
				-1 - 3 - 2
																																																															r		r	r
				1				3			-1									3					-1										1			-1											1				3
							1														1																															=			3								(од.2).
																																															90												10
	SDABC =									AB ´ AC				=										92 + (-3)2 + 02																=
		2															2																													2											2
	Об’єм трикутної піраміди:
		V =						1		SDABC × h							Þ								h =						3V							=		3 × 4											=			2							. <
																													SDABC
								3																																10 / 2													10
																																						3

3.13.ВЕКТОРИ В n-ВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

3.13.1.Поняття про n-вимірний векторний простір

Множина впорядкованих сукупностей п чисел (х1, х2, …, хп) називається п-вимірним координатним простором Ап. Кожну таку сукупність називають точкою простору і позначають M(х1, х2, …, хп). Точку

О(0, 0, ..., 0) називають початком координат в Ап.

Вектор OM = (x1, x2 , ..., xn )	називають радіусом-вектором					точ-
ки M, тобто n-вимірний вектор - впорядкована			сукупністьп		чисел
r
(компонент вектора). Вектор 0 = (0, 0, ..., 0) називають нульовим.
r	r		вважають рівними,
Вектори x = (x1, x2 , ..., xn ) і	y = ( y1, y2 , ..., yn )
	r	r
якщо рівні їх відповідні компоненти, тобто x		= y Û xi = yi (i =1, n).

ДВНЗ “Українська академія банківської справи НБУ”

64