Вища математика1 / metod_matem_1
.pdf
|
ì a |
11 |
x |
+ a |
12 |
x |
2 |
+K+ a |
1n |
x |
n |
= b , |
|
|
|
|
||||
|
ï |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
ïa |
21x1 + a22x2 +K+ a2n xn = b2 , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
í |
KKKKKKKKKKKK |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ï |
|
|
|
|
+ an2 x2 +K+ ann xn |
= bn . |
|
|
|
|
|||||||||
|
îan1x1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Тут aij ,b j (i, j =1,2,K,n) |
|
– сталі дійсні числа, |
|
x j (j =1,2,K,n) – невідомі. |
||||||||||||||||
Введемо позначення |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
éa |
|
|
a |
|
|
K a |
ù |
|
éb1 |
ù |
éx1 |
ù |
|
|||||||
ê |
11 |
|
|
12 |
|
|
|
|
1n ú |
|
|
|||||||||
êa21 a22 K a2n ú |
|
êb |
|
ú |
êx |
|
ú |
, |
||||||||||||
A = êKKKKKKKKú, B = |
ê |
|
2 |
ú |
, X = ê |
|
2 |
ú |
||||||||||||
êa |
|
|
a |
|
|
K a |
ú |
|
ê |
M |
ú |
ê |
M |
ú |
|
|||||
|
|
|
|
|
ê |
|
|
ú |
ê |
|
|
ú |
|
|||||||
ê |
n1 |
|
|
n2 |
|
|
|
|
ú |
|
ëbn |
û |
ëxn |
û |
|
|||||
ê |
|
|
|
|
|
|
nn ú |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з допомогою яких дана система записується у вигляді AX = B. Матриця А називається основною матрицею системи, В таХ містять її вільні члени та невідомі. Нехай D = det(A) ¹ 0 , тоді існує обернена матриця A−1 і
розв’язок системи у матричному виді дається формулою X = A−1B. Це – матричний метод розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. З нього випливають формули Крамера
x1 = D1 , x2 = D2 ,K,xn = Dn ,
що дають розв’язок даної системи у скалярному вигляді. В цих формулах j (j =1,2,Kn) – визначники, що одержуються з шляхом заміни його j-
того стовбця на матрицю вільних членів В.
Нарешті розглянемо систему m рівнянь з n невідомими
ì a11x1 + a12x2 +K+ a1n xn = b1, |
|
ï |
21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2 , |
ï a |
|
í |
KKKKKKKKKKKK |
ï |
|
ï |
|
îam1x1 + am2 x2 +K+ amn xn = bm . |
Випишемо основну матрицю цієї системи
- 11 -
é a11 |
a12 |
K a1n |
ù |
|||
ê |
|
a22 |
K a2n |
ú |
||
ê a21 |
ú |
|||||
A = ê KKKKKKKK ú , |
||||||
êa |
m1 |
a |
m2 |
K a |
|
ú |
ê |
|
|
mn ú |
|||
ê |
|
|
|
|
|
ú |
ë |
|
|
|
|
|
û |
до якої допишемо справа стовбець вільних членів. Одержимо наступну матрицю, яку назвемо розширеною матрицею даної системи
é |
a |
11 |
a |
12 |
K a |
1n |
b |
|
ù |
||
ê |
|
|
|
|
|
1 |
ú |
||||
ê |
a21 a22 |
K a2n b2 |
ú |
||||||||
A* = ê |
|
KKKKKKKKK |
ú . |
||||||||
êa |
m1 |
a |
m2 |
K a |
mn |
b |
|
ú |
|||
ê |
|
|
|
|
m ú |
||||||
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ú |
ë |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
û |
Будемо виконувати елементарні перетворення цієї матриці, але лише ті, що стосуються її рядків. При необхідності стовбці можна лише міняти місцями в межах основної матриці, перепозначаючи відповідним чином невідомі. Очевидно, цим перетворенням відповідають еквівалентні перетворення даної системи. З допомогою таких перетворень матрицю
A* завжди можна привести до вигляду
|
|
é |
c |
c |
L c |
L c |
d |
1 |
ù |
|
|
|
ê |
11 |
12 |
1k |
1n |
|
ú |
|
|
|
|
ê |
0 |
c22 L c2k L c2n |
d2 |
ú |
= C* , |
|||
|
|
A* = ê |
LLLLLLLLLLLLLL |
ú |
||||||
|
|
ê |
0 0 L ckk |
L ckn |
dk |
ú |
|
|||
|
|
ê |
0 0 L 0 |
|
|
|
ú |
|
||
|
|
ê |
L 0 dk+1 ú |
|
||||||
|
|
ë |
|
|
|
|
|
|
û |
|
де c |
ii |
¹ 0 (i =1,2,K,k), k = rang(A). |
Останній |
|
рядок матриці C* |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
відповідає рівнянню 0 = dk+1 , звідки робимо висновок
1)якщо dk+1 ¹ 0, то дана система не має розв’язку, тобто несумісна.
2)якщо dk+1 = 0, то дана система сумісна. Для знаходження її розв’язків виписуємо відповідну C* систему, еквівалентну даній
-12 -
|
|
ì c11x1 + c12x2 +K+ c1k xk + K + c1n xn = d1, |
|||||||||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
c22x2 +K+ c2k xk +K + c2n xn = d2 , |
||||||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
í |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
KKKKKKKKKKK |
|||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ckk xk +K+ ckn xn = dk . |
|||||||
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Аналізуючи одержану систему, бачимо, що |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
a) |
коли |
k = n , |
|
|
то вона має єдиний розв’язок, який послідовно |
||||||||||||||||||
|
знаходимо, починаючи з останнього рівняння і рухаючись до |
||||||||||||||||||||||
|
першого. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
коли |
k < n , |
|
то система має безліч розв’язків, |
тому що невідомі |
||||||||||||||||||
|
xk+1,K,xn можна брати довільними а наступні невідомі, як і в |
||||||||||||||||||||||
|
попередньому випадку, послідовно випажаємо через xk+1,K,xn |
||||||||||||||||||||||
|
|
x = |
|
1 |
|
(d - c |
|
|
x -K- c x ), |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
k |
|
|
ckk |
|
k |
|
kk+1 |
k+1 |
|
|
kn n |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
LLLLLLLLLLLLLLLLL |
|
||||||||||||||||||||
|
|
x = |
|
|
1 |
|
(d - c x -K- c x -K- c x ), |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
c22 |
2 |
23 |
|
3 |
|
2k |
|
k |
|
|
2n |
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x = |
|
|
1 |
(d - c x -K- c x -K- c x ). |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
c11 |
1 |
|
12 |
|
2 |
|
|
1k |
k |
|
|
1n |
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Приклад. Розв’язати систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
ì |
|
2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 = 5, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
4x1 |
- 2x2 |
+ 5x3 + 6x4 |
= 7, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
í |
6x1 |
- 3x2 |
+ 7x3 + 8x4 |
= 9, |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 11. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
î2x1 - 4x2 + 9x3 +10x4 |
|
|
Виписуємо розширену матрицю системи, після чого множимо послідовно всі елементи першого її рядка на − 2, − 3, −1 та додаємо до відповідних елементів другого, третього та четвертого рядків. Викреслюємо третій рядок, що має всі елементи пропорційні відповідним елементам другого. Міняємо всі знаки елементів другого рядка на протилежні і нарешті ділимо всі елементи четвертого рядка на 3 та ставимо
- 13 -
його на місце другого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
é2 −1 |
3 |
4 |
5 ù |
|
é2 −1 3 |
4 |
5 ù |
é2 -1 3 |
4 |
5ù |
||||
ê |
|
|
|
ú |
|
ê |
|
|
ú |
|||||
ê4 |
- 2 |
5 |
6 |
7 ú |
Þ |
ê0 0 -1 |
- 2 |
- 3ú |
Þ ê0 -1 2 |
2 |
2ú. |
|||
ê6 - 3 |
7 |
8 |
9 ú |
|
ê0 0 - 2 - 4 - 6ú |
ê |
0 |
1 |
2 |
ú |
||||
ê |
|
|
|
ú |
|
ê |
|
|
ú |
ê0 |
3ú |
|||
- 4 |
9 |
|
|
- 3 6 |
6 |
ë |
|
|
|
û |
||||
ë2 |
10 11û |
|
ë0 |
6 û |
|
|
|
|
|
|||||
Записуємо систему, еквівалентну даній |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ï2x1 - x2 + 3x3 + 4x4 = 5, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
í |
|
- x2 + 2x3 + 2x4 = 2, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ï |
|
x3 + 2x4 = 3. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
Ця система має безліч розв’язків. Вважаючи значення x4 довільним,
маємо, починаючи з останнього зівняння
x3 = 3 − 2x4 , x2 = 2x3 + 2x4 − 2 = 4 − 2x4 , 2x1 = 5 + x2 - 3x3 - 4x4 = 0, x1 = 0.
Відповідь. x1 = 0, x2 = 4 − 2x4 , x3 = 3 − 2x4 , x4 − довільне.
6. Геометричні вектори та прямокутна декартова система координат. Поділ відрізка у даному відношенні
Геометричним вектором називається направлений відрізок у просторі, він позначається символом a . Якщо точки А та В є відповідно початком та кінцем вектора a , то для нього використовують також позначення AB. Довжина вектора a називається його модулем і позначається символом a . Нульовий вектор 0 – це вектор, у якого
початок і кінець співпадають. Два вектори a та b називаються рівними, якщо вони мають однакову довжину і направлені в одну сторону. Два вектори a та b називаються колінеарними, якщо вони розміщені на одній або на паралельних прямих. Три вектори a , b , c називаються компланарними, якщо вони розміщені на одній або на паралельних
- 14 -
площинах. Помістимо початок |
|
вектора a в деяку |
точку A′ на даній |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
a на U. Проекцією a |
числовій осі U і позначимо через B проекцію кінця |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на вісь U називається число |
|
′ |
′ |
, якщо напрямки a та U співпадають, або |
|||||
A B |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
число − |
|
′ ′ |
у протилежному випадку. Проекцію |
a на вісь U будемо |
|||||
A B |
|
позначати символом ПрUa .
Розглянемо три взаємно перпендикулярні одиничні вектори i, j,k
(i = j = k =1) і помістимо їх початки в одну точку О. Через цю точку та вектори i, j,k проведемо числові осі OX, OY, OZ відповідно. Таким чином буде побудована система відліку, що називається прямокутною декартовою системою координат у просторі. Вектори i, j,k утворюють
базис множини всіх векторів у просторі. При цьому довільний вектор a з цієї множини можна записати у вигляді
a = (a x i + a y j + az k) = (ax ;a y ;az ) ,
що називається розкладом вектора a по базису i, j,k . Числа ax ,a y ,az
називаються координатами a в базисі i, j,k , вони є проекціями a на числові осі OX, OY, OZ відповідно. Координати довільної точки М
розглядаються як координати вектора OM . Точка M(x;y;z) ділить відрізок
M1M2 (M1 = M1(x1;y1;z1), M2 = M2 (x2 ;y2 ;z2 ))
у відношенні λ, якщо M1M = λMM2 . При цьому
x = |
x1 + λx2 |
, y = |
y1 + λy2 |
, z = |
z1 + λz2 |
. |
1+ λ |
1+ λ |
|
||||
|
|
|
1+ λ |
Приклад. Знайти точку, що ділить відрізок АВ у відношенні 2:3, якщо
A = A(2;−1;4), B = B(0;1;−2) .
- 15 -
В цьому випадку l = 23 і тому згідно з наведеними формулами маємо
x = 2 + 0 |
|
2 |
|
|
|
|
-1+ 2 |
×1 |
|
- 3 + 2 |
= -1 |
|
||||||
= |
|
= |
6 , y = |
|
|
3 |
|
= |
|
|
3 |
, |
||||||
|
|
|
1+ 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
1+ 2 |
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
- 4 |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
4 + 2 |
(-2) |
|
12 |
|
|
|
8 |
|
|
|||||
|
z = |
|
|
3 |
|
|
= |
3 |
|
|
= |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . |
|
|
||||||||
|
|
|
1+ 2 |
|
5 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Отже точка M(65 ;- 15;85) ділить даний відрізок у відношенні 2:3.
7. Скалярний добуток двох векторів
Нехай маємо два вектори a = (a x ;a y ;az ), b = (bx ;by ;bz ) .
Скалярним добутком цих векторів називається число a × b = ab cosa , де α – кут між векторами a і b, a Î[0;p]. В прямокутній декартовій системі координат a × b = a x bx + a yby + azbz .
Застосування скалярного добутку
1) Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох векторів a × b = 0
2) Обчислення кута α між двома векторами a і b cosa = aa×bb , α [0;π]
3) Обчислення проекції вектора a на напрямок b
Прb a = ab× b
Приклад. Точки A(3, 2, − 3), B(5,1, −1),C(1, − 2,1) є вершинами трикутника. Знайти величину його внутрішнього кута при вершині А.
- 16 -
Позначимо шуканий кут, що є кутом між векторами AB = (2, -1, 2) та
AC |
= (-2, - 4, 4), через α. Тоді |
|
|
|
||||||
|
cos a = |
|
|
|
2 × (-2) + (-1) × (-4) + 2 × 4 |
|
= 4 |
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
+ (-1)2 + 22 × (-2)2 + (-4)2 + 42 |
9 |
|
звідки a = arccos 94 .
8. Векторний добуток двох векторів
|
|
Векторним добутком двох векторів називається вектор a ´ |
|
, що має |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
наступні властивості |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
a ´ |
|
|
|
|
|
|
перпендикулярний до кожного з векторів a і |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) |
Якщо помістити початки векторів a , |
|
|
|
, a ´ |
|
в одну точку, то з кінця |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
b |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a ´ |
|
|
|
|
|
поворот від напрямку a |
до |
|
напрямку |
|
|
|
|
видно проти руху |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
годинникової стрілки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
3) |
|
a ´ |
|
|
|
= |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
Якщо |
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
прямокутній |
декартовій |
|
|
|
|
|
системі |
|
координат |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a = (a x ;a y ;az ), |
|
|
|
= (bx ;by ;bz ) , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ´ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
|
k |
= |
|
|
a y |
|
az |
|
- |
|
|
a |
|
|
az |
|
+ |
|
|
|
|
a x |
a y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
i |
j |
|
|
x |
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
|
|
|
by |
|
bz |
|
|
|
|
|
|
bx |
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
by |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bx |
|
by |
|
|
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
або, що те саме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
az |
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a ´ |
b |
= |
ç |
|
|
y |
|
z |
; |
- |
|
|
|
|
; |
|
|
x |
|
|
y |
|
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
by |
bz |
|
|
bx |
|
|
|
bz |
|
|
bx |
by |
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Застосування векторного добутку
1) Необхідна та достатня умова колінеарності двох векторів a ´ b = 0 ,
- 17 -
або, що те саме, a = lb , де λ – деяке дійсне число.
2)Нехай Sa,b – площа паралелограма, побудованого на векторах a , b як на сторонах, при умові, що початки a , b розміщені в одній точці. Тоді
Sa,b = a ´ b .
В частинному випадку, коли А, В, С – вершини трикутника з площею
SABC , то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
= 1 |
|
´ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
AC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ABC |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(1, 2,0), B(3, 0, − 3), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Приклад. Знайти площу трикутника з вершинами |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C(5, 2,6) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Спочатку знаходимо два вектори |
|
= (2, - 2, - 3) та |
|
= (4, 0, 6), а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
потім їх векторний добуток |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
j |
|
k |
|
|
|
|
|
- 2 |
- 3 |
|
|
|
|
2 |
- 3 |
|
|
|
2 - 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
´ |
|
= |
2 - 2 - 3 |
= |
|
|
- |
|
|
+ |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
AB |
AC |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i |
j |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
0 |
6 |
|
|
0 |
|
6 |
|
|
|
|
|
4 |
6 |
|
4 |
0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= -12i - 24j + 8k = (-12, - 24,8) = 4 × (-3, - 6, 2).
Тепер обчислюємо площу SABC даного трикутника
SABC = 12 AB´ AC = 12 × 49 + 36 + 4 = 14 .
9. Мішаний добуток трьох векторів
Нехай маємо три вектори
a = (a x ;a y ;az ), b = (bx ;by ;bz ), c = (cx ;cy ;cz )
в просторі, де введена прямокутна декартова система координат. Їх мішаним добутком називається число
(a, b,c)= (a ´ b)× c ,
- 18 -
що в декартових координатах обчислюється за формулою
|
|
a |
a |
a |
(a, |
b,c)= |
bx |
by |
bz |
|
|
x |
y |
z |
|
|
cx |
cy |
cz |
Застосування мішаного добутку
1) Необхідна та достатня умова компланарності трьох векторів
(a, b,c)= 0
2) Нехай Va,b,c – об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах a , b ,
c як на ребрах, при умові, що початки a Тоді
Va,b,c = (a, b,c
, b , c розміщені в одній точці.
).
В частинному випадку, коли А, В, С, D – вершини трикутної піраміди з об’ємом VABCD , то
VABCD = 16 (AB, AC, AD).
Приклад. Обчислити об’єм VABCD трикутної піраміди з вершинами
A(1,1, 2), B(2,3, −1), C(2,− 2, 4), D(−1,1,3).
Знаходимо вектори, що лежать на ребрах даної піраміди та мають спільний початок в одній із її вершин (наприклад, А)
AB = (1, 2, − 3), AC = (1, − 3, 2), AD = (−2, 0,1).
Тепер обчислюємо їх мішаний добуток
( |
|
|
|
|
|
)= |
|
1 |
|
2 |
|
− 3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− 3 |
2 |
|
|
= −3 − 8 + 0 +18 − 2 + 0 = 5 |
|||||
AB, |
AC, |
AD |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
та шуканий об’єм V |
= |
1 |
|
( |
|
|
|
|
|
) |
= 5 . |
||||||||
|
AB, |
|
AC, |
|
AD |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
ABCD |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 19 -
РОЗДІЛ ІІ. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Всі наступні результати будемо розглядати у просторі, де введена прямокутна декартова система координат.
1. Рівняння площини, що проходить через задану точку перпендикулярно до даного вектора
Під площиною П будемо розуміти геометричне місце точок М у просторі, кожна з яких є кінцем вектора з початком у деякій фіксованій точці M0 і перпендикулярного до даного вектора N (Рис. 1).
N
M0 |
M |
П
Рис. 1
Нехай маємо точку M0 (x0 ;y0 ;z0 ), що є початком деякого ненульового вектора N = (A;B;C). Тоді для довільної точки
M(x;y;z;) П будемо мати N ×M0M = 0,
або у координатній формі
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+ C(z − z0 )= 0.
Це – рівняння площини, що проходить через точку M0 перпендикулярно до N , що називається вектором нормалі. Якщо розкрити дужки в лівій
- 20 -