Вища математика1 / metod_matem_1

знаходиться з умови перпендикулярності L1 та L2

k

k

2

= -1, - 2 k

2

= -1, k

2

= 3.

1

3

2

M1

L2

M0

L1

M2

Рис. 6

Так як координати точки M

1

задовольняють рівняння L

2

, то 2 = 3

× 4 + b

2

2

і отже b

2

= −4 . Знайшовши

k

2

та

b

2

, записуємо рівняння

y =

3 x - 4

2

прямої L2 . Точка M0 лежить на L1 і на L2 , тому її координати задовольняють рівняння обох цих прямих одночасно. Маємо

ì2x + 3y =1,				ì2x + 9 x -12 =1,				ì	13 x =13,
ï	3			ï	2			ï	2
í		x	- 4,	í		3		í		3
ïy =	2			ï	y =		x - 4,	ïy =			x - 4,
î						2				2
				î				î

ì x = 2,

íîy = -1.

Одержана точка M0 (2,−1) є серединою відрізка M1M2 , тобто ділить його у відношенні λ =1. Звідси випливає, що якщо x, y – шуканої точки M2 , то

4 +2 x = 2, 2 +2 y = -1, x = 0, y = -4.

Відповідь. M2 (0,− 4).

- 31 -

7. Обчислення віддалі від точки до площини та прямої

Розглянемо точку M0 (x0 , y0 ,z0 ) та площину Ax + By + Cz + D = 0 ,

що має вектор нормалі N = (A,B,C) і проходить через точку

M1(x1, y1,z1). Поставимо задачу знайти віддаль d від M0 до даної площини (Рис. 7).

N M0

d

M1

Рис. 7

Враховуючи, що

M1M0 = (x0 - x1, y0 - y1,z0 - z1), D = -Ax1 - By1 - Cz1, одержуємо

=

×

M1M0

=

A(x0 - x1 ) + B(y0 - y1) +

C(z0 - z1 )

,

d =

Пр

N

M

M

N

1

0

N

A2 + B2 + C2

d =

Ax

0

+ By0 + Cz0 + D

.

A2 + B2 + C2

Як бачимо, для обчислення віддалі від точки до площини досить обчислити модуль лівої частини нормованого рівняння цієї площини в даній точці.

Аналогічно обчислюється віддаль d від прямої на площині, що має рівняння Ax + By + C = 0, до точки M0 (x0 , y0 )

- 32 -

d =	Ax	0 + By0		+ C		.
			A2 + B2

Розглянемо ще задачу обчислення віддалі d від точки M0 (x0 , y0 ,z0 )

до прямої L в просторі з напрямним вектором a = (l,m,n) , яка проходить

через точку M1(x1, y1,z1) та має канонічні рівняння

x − x1	=	y − y1	=	z − z1	.
l		m
				n

Вцьому випадку віддаль d буде висотою паралелограма,

побудованого на векторах a, M1M0 як на сторонах (Рис. 8).

M0

d

L

M1 a

Рис. 8

Враховуючи геометричний зміст модуля векторного добутку двох векторів, маємо наступну формулу для обчислення d

d = a × M1M0 . a

Приклад 1. Обчислити віддаль між двома паралельними площинами

2x − y − 2z = −1, 4x − 2y − 4z = 25.

Беремо довільну точку M0 , що лежить на першій площині, тобто щоб її координати задовольняли перше рівняння. Нехай це буде точка M0 (0,1,0) , тоді згідно з відомою формулою

- 33 -

d =

4 × 0 - 2 ×1- 4 × 0 - 25

= 27

= 9 .

42 + (−2)2 + (−4)2

6

2

Приклад 2. Обчислити віддаль від точки M0 (−2,1, 0) до прямої

x +1

=

y − 2

=

z + 2

.

- 2

3

6

Тут точка M1(−1, 2, − 2) лежить на даній прямій, a = (−2,3, 6) , тому

i

j

k

= (−1, −1, 2), a ×

=

− 2

3

6

= (12, − 2,5),

M1M0

M1M0

-1

-1

2

122 + (-2)2 + 52

=

.

d =

=

144 + 4 + 25

173

7

(−2)2 + 32 + 62

4 + 9 + 36

РОЗДІЛ ІIІ. ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

І. Обчислити визначник

	3		3		2	0				2	8	− 5		1
1.	− 4 1 − 4 7								4.	1	9	0 − 6
	5		0		5	2				0	− 5 −1 2
	0		- 5		2	3				1	0	- 7		6
	8		1		- 5	1				2	1	0		1
2.	0	- 3 0 - 6							5.	1	- 3 9		- 6
	− 5		2	−1 2						0	2	− 5 2
	0		4		- 7	6				1	4	0		6
	3	0		2	0					2	1	− 5		8
3.	2	3		1	4				6.	1	− 3	0		9
	0	4 - 2 3								0	2	-1 - 5
	5	2		0	1					1	4	− 7		0

- 34 -

	2	0		3	1							0			− 3		1					0
7.	1	− 2 1			0						14.	1			− 2 − 2 3
	0	1		−1	3							3			−1		2					−1
	4	− 7		4		− 4						2			3		2					0
	1	2	3	0								2			− 3		0					1
8.	0	1	2	3							15.	2			− 6		1					− 3
	3	2	1	2								3			0		−1					2
	4	0	2	1								2			3		0					1
	0	− 3		1	5							1			2	3	0
9.	1	− 2 − 2 − 3									16.	0			1	2 3
	3	−1		2	0							3			0	1	2
	2	3		2	0							2			3	0	1
	2	− 2		0	1							1			− 2		0					4
10.	2	3		1	0						17.	2			1		0					3
	3	0		−1	2							3			− 4		−1					− 2
	1	3		1		− 2						0			3		2					−1
	0	5		0	2									2	− 2		0					− 3
11.	1	2		3	4						18.			2		3	1					− 6
	− 2	0		3	2									3		4	−1 0
	1	3		5	4									1		0	1					2
	0	0		1	5							1			4	3	0
12.	1	3		− 2			− 3				19.	0			0	2	3
	3	−1		2	0							3			4	1	2
	2	− 7		2			− 8					2			2	0	1
	− 3 − 2			0 1								−1 −1 −1 −1
13.	− 6	3		1 0							20.	−1 0					− 4 − 2
	0	4		−1 2								−1			− 3		− 2					0
	2	3		1 −1								−1 − 4 −1 0

- 35 -

	1	2	3				4						1			2		3	0
21.	-1 0 - 3 - 8											26.	3			4	5 6
	-1	1	0				0						5			6		7	9
	2	3	5				5						3			2		0	0
	1	2	3	4									1			0		2		1
22.	3	6	8	1								27.	1			1		1		2
	7	3	0	2									1			2		3		1
	0	3	5	0									0			-1		1		0
	1	-1	1				1						2			- 4		3		0
23.	1	1	0				2					28.	1			- 2		1		2
	1	2	-1				1						0			1		-1		1
	0	-1 0 -1											4			- 7 4 0
	0	-1	1				1						1			2		- 3		4
24.	1	1	0				2					29.	1			1		-1		2
	3	2	-1				1						3			5		0		1
	1	-1	1				0						1			3		0		0
	1	2	1	1											2	− 1				− 1							0
25.	1	1	0	2								30.			0		1			2							− 1
	1	0	-1	1											3	− 1				2							3
	1	1	1	0											1		1			0							1

ІІ. Знайти матрицю, обернену до даної
	é1	1	- 2ù				é 2	3	- 2ù
1. A =	ê	2	1	ú	2.	A =	ê	1	3	ú
	ê0			ú			ê 0			ú
	ê		0	ú			ê		2	ú
	ë3 4			û			ë-1 0			û

- 36 -

		é4		5	0ù
3.	A =	ê		1		ú
		ê0			1ú
		ê		-1		ú
		ë3			2û
		é	2	2	−1ù
4.	A =	ê	0	1	1		ú
		ê					ú
		ê		2	3		ú
		ë-1					û
		é	3	0		2	ù
5.	A =	ê		1		0	ú
		ê- 2					ú
		ê	4	3			ú
		ë			-1û
		é− 2		1	−1ù
6.	A =	ê	0	2		3	ú
		ê					ú
		ê	1	0		2	ú
		ë					û
		é2		3	− 2ù
7.	A =	ê		1		ú
		ê1			-1ú
		ê		4	1	ú
		ë0				û
		é5		− 3		4	ù
8.	A =	ê		2		0	ú
		ê2					ú
		ê		1			ú
		ë0			-1û
		é2		2	−1ù
9.	A =	ê		3	2	ú
		ê1				ú
		ê		1	1	ú
		ë0				û
		é4		3	1ù
10.	A =	ê		0	ú
		ê2			3ú
		ê		1	ú
		ë0			2û
		é2		− 2		3	ù
11.	A =	ê		1			ú
		ê1			-1ú
		ê		0			ú
		ë3			- 4û

		é1		− 2		− 2ù
12.	A =	ê		4		3	ú
		ê0					ú
		ê		3		4	ú
		ë1					û
		é	2	2		3ù
13.	A =	ê	1	-1		ú
		ê				0ú
		ê		2		ú
		ë-1				4û
		é2		0	1ù
14.	A =	ê		3		ú
		ê0			2ú
		ê		1		ú
		ë1			2û
		é2		1	0ù
15.	A =	ê		1		ú
		ê0			1ú
		ê		2		ú
		ë3			4û
		é	1	3		4	ù
16.	A =	ê	2	0		3	ú
		ê					ú
		ê		1			ú
		ë- 2				- 3û
		é0		− 2		1	ù
17.	A =	ê		1			ú
		ê3				- 3ú
		ê		1			ú
		ë2				-1û
		é1		2		− 3ù
18.	A =	ê		-1		4	ú
		ê2					ú
		ê		1			ú
		ë3				-1û
		é1		2		2	ù
19.	A =	ê		1			ú
		ê2				- 2ú
		ê		- 2		1	ú
		ë2					û
		é	2	2		3ù
20.	A =	ê	1	-1		ú
		ê				0ú
		ê		2		ú
		ë-1				1û

- 37 -

é−1

2 − 2ù

é2 1 −1ù

21.

A =

ê

0

2

1

ú

26.

A =

ê

1

3

ú

ê

ú

ê0

ú

ê

3 -1 0

ú

ê

ú

ë

û

ë1 0 2

û

é−1 3 − 2ù

é2

3 − 2ù

22.

A =

ê

0

- 2

3

ú

27.

A =

ê

2

ú

ê

ú

ê1

-1ú

ê

2

ú

ê

3 1

ú

ë-1 0

û

ë0

û

é− 3 2 0ù

é1

− 3 1 ù

23.

A =

ê

0

1

ú

28.

A =

ê

2

0

ú

ê

1ú

ê2

ú

ê

ú

ê

ú

ë

3 -1 2û

ë0 2 -1û

é

1 −1 −1ù

é3 2 −1ù

24.

A =

ê

0

1

1

ú

29.

A =

ê

1

2

ú

ê

ú

ê2

ú

ê

3

ú

ê

ú

ë-1 2

û

ë0 1 1

û

é

1 0 2 ù

é− 2 1 1ù

25.

A =

ê

1

ú

30.

A =

ê

2 0

ú

ê- 2

0 ú

ê

3ú

ê

ú

ê

ú

ë

2 3 -1û

ë

0 1 2û

ІIІ. Розв’язати систему рівнянь методом Гаусса

ì

x1 - x2 + x3 = 3,

ì2x − 4y + 3z = 1

ï

ï

1.

í

2x1 + x2 - x3 = 0,

4.

í x - 2y

+ 4z

= 3

ï3x

+ 3x

+ x

= 1,

ï

+ 5z

= 2

1

2

3

î 3x - y

î

ì2x − y + 4z = 15

ì x + y − 3z = 3

ï

ï

2.

3x - y + z = 8

5. í2x + y - 2z = 1

í

ï

- 2x + y + z = 0

ï x + y + z = -1

î

î

ì3x − 3y + 2z = 2

ì x + 2y − z = 2

ï

ï

3.

4x - 5y + 2z = 1

6.

í2x - y + 2z = 3

í

ï

ïx + y - 4z = -2

î5x - 6y + 4z = 3

î

- 38 -

ì 3x − 2y + z = 0 7. ïí5x -14y +15z = 0 ïî x + 2y - 3z = 0

ì 2x + y + z = 2 8. ïí5x + y + 3z = 14 ïî 2x + y + 2z = 5

ì 2x − 3y + z = 0

9. ïí x + y + z = 0

ïî3x - 2y + 2z = 0

ìx + 2y + z = 6

10.ïí 2x - y = -1 ïî3x + y - z = 2

ì2x − y + 3z = 0

11.ïíx + 2y - 5z = 0 ïî3x + y - 2z = 0

ì3x + 2y − z = 0

12.ïí2x - y + 3z = 0

ïî x + y - z = 0

ì2x + 3y + 5z = 2

13.ïí4x + 2y + 7z = -5 ïî 5x + y + 4z = -6

ì3x − 2y − 5z = 8

14.ïí4x - 5y - 2z = 13 ïî x + 3y + 7z = 15

ì2x − 3y + 4z = −6

15.ïí 5x + y + 7z = 5 ïî 4x + 2y + 3z = 9

ì2x + 2y + z = 19

16.ïí x + 2y + 4z = 31 ïî4x + 6y + 9z = -2

ìx + 2y + 3z = 0

17.ïí2x + 4y + 6z = 4

ïî 3x + y - z = 1

	ì	3x + 2y + 4z = 5
18.	ï	2x + 5y + 3z = 4
	í
	ï
	î7x -10y + 8z = 15
	ì	2x + 3y + 4z = 1
19.	ï	4x + 2y + z = 3
	í
	ï
	î2x - 8y -17z = 4
	ì	5x + 7y + 4z = 2
20.	ï
	í3x +10y + 9z = 3
	ï	9x + y - 6z = 0
	î
	ì	2x − 5y + z =1,
21.	ï	x + y - z = 2,
	í
	ï
	îx -13y + 5z = -4.

ì3x − 2y + 5z = 6,

22.ïí9x - 6y + 9z =12, ïî 3x - 2y - z = 2.

ìx − 3y + 2z = −1,

23.ïí x + 9y + 6z = 3, ïî x + 3y + 4z =1.

ìx − y + 2z =1,

24.ïí 2x + y - z = 3, ïî4x - y + 3z = 5.

- 39 -

ì3x + 2y + z = 5,

25.ïí x + y - z = 0, ïî4x - y + 5z = 3.

ì2x + y + 4z =16,

26.ïí3x + 2y + z =10, ïîx + 3y + 3z =16.

ìx + y + z =1,

27.ïíx + y + 2z = 0,

ïî x + y - z = 3.

ì x + y + z = 3,

28. ïí x + y - z =1, ïî2x + y - 2z =1.

ì2x − y + z = 3,

29.ïí x - y + 2z = 5, ïî3x - 6y + 5z = 6.

ìx + 2y + 3z = 14, ïí x + y + z = 6,

ïî 2x + 3y - z = 5.30.

ІV. Знайти кут при вершині С трикутника АВС, якщо дано

координати його вершин
1.	A(0;0;-1), B(1;2;3), C(3;-2;2)	16.	A(5;7;-2), B(3;1;-1), C(9;4;-4)
2.	А(1;0;0), B(0;2;1), C(1;1;1)	17.	A(0;0;2), B(1;0;3), C(3;-2;0)
3.	А(0;1;-1), B(2;3;1), C(1;1;1)	18.	А(1;0;1), B(2;2;1), C(1;3;1)
4.	A(1;1;0), B(0;0;-1), C(2;1;-1)	19.	А(0;1;2), B(2;3;0), C(1;0;1)
5.	А(4;1;0), B(2;2;1), C(6;3;1)	20.	A(1;2;0), B(0;1;-1), C(2;0;-1)
6.	A(-1;-2;0), B(0;1;0), C(5;3;2)	21.	А(2;1;0), B(2;0;1), C(3;3;1)
7.	A(-1;1;1), B(0;1;0), C(2;1;3)	22.	A(-1;0;0), B(0;1;3), C(1;3;2)
8.	А(1;0;2), B(-2;1;1), C(4;3;-1)	23.	A(-1;1;2), B(0;1;1), C(2;1;-1)
9.	A(-2;1;2), B(3;-3;4), C(1;0;9)	24.	А(1;0;-2), B(-2;1;-1), C(4;3;-1)
10.	A(2;0;3), B(0;-3;2), C(1;1;1).	25.	A(-1;1;2), B(0;-3;4), C(1;0;3)
11.	A(-1;2;4),B(3;2;-2), C(3;-2;1)	26.	A(2;0;1), B(0;-1;2), C(1;2;1).
12.	A(1;-1;2), B(2;3;4), C(5;2;6).	27.	A(-1;2;3),B(3;2;2), C(1;-2;1)
13.	A(1;-2;2), B(1;4;0), C(-4;1;1)	28.	A(1;-1;0), B(2;3;1), C(5;2;1).
14.	А(2;2;2), B(4;3;3), C(4;5;4)	29.	A(1;-2;0), B(1;4;1), C(-4;1;3)
15.	A(1;2;3), B(7;3;2), C(-3;0;6)	30.	А(2;0;2), B(4;1;3), C(4;2;4)

- 40 -