Тема №8

Розділ IV. ДИНАМІКА РІДИНИ.

Основи гідравлічного моделювання

При розв’язанні багатьох інженерних задач поряд із теоретичними залежностями застосовують і експериментальні або у рівняння одержані теоретично, вводять дослідні коефіцієнти. Експериментальні коефіцієнти і формули одержують на основі дослідження споруд у природних умовах або, частіше, на лабораторних моделях.

Складні гідротехнічні та водопровідні споруди не підлягають ручному розрахунку і при проектуванні потрібно проводити дослідження на моделях для якісної та кількісної оцінки явища.

Під час проведення досліджень у лабораторних умовах вивчають такі характеристики споруди, як пропускна здатність, втрати напору, розподіл місцевих швидкостей, напрям лінії течії тощо. Геометричні розміри моделі, як правило, менші ніж подібні розміри натурних споруд, і тому треба встановити відповідні їм значення витрат, швидкостей і глибин потоку на моделі, значення шорсткості русла моделі і, якщо це необхідно, в’язкість рідини, яку використовують для дослідження на моделі. Слід також встановити порядок перенесення одержаних на моделі результатів на умови роботи споруди в натурі. Усі ці питання розглядаються в теорії моделювання гідравлічних явищ.

Можна розглядати моделювання математичне і фізичне. Математичне моделювання передбачає вивчення інших, відмінних від натурних, фізичних явищ, які описуються аналогічними математичними залежностями. При фізичному моделювання відтворюють те саме явище, що і в натурі, але в іншому масштабі. У цій темі розглядаються особливості саме фізичного моделювання.

8.1 Геометрична, кінематична та динамічна подібності

Для того, щоб модель була фізично (механічно) подібною споруді в натурі, треба дотримуватись геометричної, кінематичної та динамічної подібностей.

Геометрична подібність передбачає умову, згідно з якою всі лінійні розміри потоку і споруди в натурі мають належати до відповідних розмірів на моделі у певному масштабі С_l, який будемо називати масштабом геометричної подібності. Це означає, що між довільними подібними розмірами моделі та натури, а також координатами подібних точок зберігається постійне співвідношення

  ,      (8.1)

а відповідні площі та об’єми, в свою чергу, будуть пов’язані співвідношеннями

 .         (8.2)

Кінематична подібність буде, якщо при усталеному русі лінії течії у подібних потоках натури і моделі займатимуть однакове положення, а відношення швидкостей і прискорень у цих точках та співвідношення середніх швидкостей у відповідних перерізах буде сталим:

       (8.3)

де  С_v, C_a – відповідно масштаби швидкості та прискорення.

Між проміжками часу проходження процесів в обох потоках повинна виконуватись умова

,               (8.4)

де  С_t – масштаб часу.

Два потоки, для яких виконуються умови геометричної і кінематичної подібності, будутьдинамічно подібними за умови, що між усіма силами однакової фізичної природи, які діють на подібні частини у відповідні моменти часу, існує постійне співвідношення

,            (8.5)

де С_F – масштаб сил.

Кути, що визначають напрямки дії однойменних сил у подібних точках, в динамічно подібних потоках повинні бути рівними. Отже, наявність динамічної подібності включає в себе умови виконання геометричної та кінематичної подібності.

Таким чином, подібні потоки відрізняються лише масштабами величин, які їх характеризують. Масштабні множники усіх механічних величин пов’язані між собою і однозначно можуть бути виражені через три основні масштаби С_l,С_v,С_F , що характеризують геометричну, кінематичну та динамічну подібність. Співвідношення між масштабними множниками можна одержати з основного закону динамічної подібності, установленого Ньютоном. На основі другого закону Ньютона можна записати

 .

Якщо перейти до масштабних множників, то це рівняння можна записати так:

Беручи до уваги те, що C_v=C_l/C_t, останню рівність можна записати так:

            (8.6)

Цей вираз називають законом подібності Ньютона в масштабних множниках. Цю рівність можна представити як відношення відповідних величин

,

звідки

.         (8.7)

Це співвідношення вперше було отримане Ньютоном і показує зв’язок між діючими силами, з одного боку, і питомою масою, швидкістю і відповідними геометричними розмірами в динамічно подібних системах – з іншого.

Величину Ne називають критерієм динамічної подібності Ньютона.

Таким чином, потоки будуть динамічно подібними, якщо для всіх сил однакової природи зберігається рівність (8.7), або

Ne_м=Ne_н=idem.

8.2 Основні критерії подібності

На рух рідини можуть впливати сили ваги, тиску, в’язкості, а також поверхневого натягу і пружності. Умови динамічної подібності вимагають дотримання рівності (8.7) для усіх діючих сил.

В конкретних умовах руху рідини з числа діючих сил не усі відіграють однакову роль, деякі з них можуть мати неістотне значення. Тому не завжди вимагається і не в усіх випадках можливе збереження повної механічної подібності. У багатьох задачах можна обмежитися наближеною (частковою) динамічною подібністю на основі відношення переважаючих сил. Такі часткові закони подібності називають критеріями подібності.

Розглянемо найбільш важливі з практичної точки зору критерії подібності.

Подібність за силою ваги (гравітаційна подібність). Запишемо відношення сил ваги натури і моделі:

або (8.8)

Прирівнявши (8.6) і (8.8), отримаємо . Після переходу від безрозмірних величин до розмірності запишемо

            (8.9)

Величину Fr називають числом або критерієм Фруда. Зауважимо, що коли натура і модель перебувають в умовах однієї або близьких географічних широт, то g_н=g_м.

Отже, якщо у потоці основною діючою силою є сила ваги, то умовою динамічної подібності буде рівність чисел Фруда для довільної пари відповідних перерізів.

Подібність за силою тертя (в’язкістю). Відповідно до закону Ньютона, сила тертя

                    (8.10)

Враховуючи (8.10), співвідношення між силами тертя, що діють в натурі та моделі, можна записати так:

            (8.11)

Прирівнявши (8.11) і (8.6), будемо мати C_vC_lC_ρ/C_μ=1. Якщо тепер замість масштабних множників ввести відповідні величини, то останнє рівняння набуде вигляду

Або, оскільки μ/ρ=ν,

            (8.12)

Безрозмірний вираз (8.12) називають числом або критерієм Рейнольдса. Рівність Re_н=Re_м є умовою динамічної подібності, коли переважаючими силами є сили внутрішнього тертя (в’язкості).

Подібність за силою тиску. Оскільки сила тиску P=pω, то співвідношення між силами тиску в натурі та моделі . Прирівнявши отриманий вираз до (8.6), знаходимо, що.

Після переходу від відношення  масштабних множників до відповідних величин, отримаємо

Безрозмірне число p/ρu² називають числом або критерієм Ейлера.

Виведені вище критерії подібності включають в себе так звані характерний тиск, швидкість і геометричний розмір l. Що приймати за ці характерні величини – залежить від конкретної задачі. Наприклад, для гідравлічних процесів характерним, звичайно, є не абсолютний тиск, а перепад тисків Δp, характерною швидкістю – середня швидкість потоку V. Для напірних потоків в трубах характерним розміром є внутрішній діаметр труби тощо.

Кожний з виведених критеріїв має фізичний зміст: критерій Фруда характеризує відношення сил інерції до сил ваги; критерій Ейлера – відношення сил тиску до сил інерції; критерій Рейнольдса – відношення сил інерції до сил в’язкого тертя.

Тема №10

Рівняння Бернуллі